代数的整数論 II

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代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ]: さぁ、好きなだけ語れ。

シロート厳禁、質問歓迎！

前スレ
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
263 名前：208 [2005/12/08(木) 17:05:58 ]: 命題
環 A 上の階数１の射影加群 P に対して
Hom(P, A) も階数１の射影加群である。

証明
p を A の素イデアルとする。
>>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として A_f と
同型である。P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。
よって、>>223 より Hom(P, A)_f = Hom(P_f, A_f) となる。
Hom(P_f, A_f) は Hom(A_f, A_f) = A_f に同型だから、
>>236 より Hom(P, A) は階数１の射影加群である。
証明終
264 名前：208 [2005/12/08(木) 17:41:06 ]: 補題
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が単射なら、φも単射である。

証明
Ker(φ) = K とおく。
完全列
0 → K → M → N
より、完全列
0 → K_m → M_m → N_m
が得られる。
M_m → N_m は単射だから K_m = 0 となる。
よって、>>224 より K = 0 である。
証明終
265 名前：208 [2005/12/08(木) 17:42:19 ]: 補題
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が全射なら、φも全射である。

証明
>>264 と同様。
266 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 17:46:05 ]: ヴェイユ全集もってないくせに
267 名前：208 [2005/12/08(木) 17:47:56 ]: 補題
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が同型なら、φも同型である。

証明
>>264 と >>265 より。
268 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 17:51:56 ]: ねえねえねえどうしてヴェイユ全集もってないの？
269 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 18:00:27 ]: お金はあったでしょ
270 名前：208 [2005/12/08(木) 18:04:25 ]: 命題
環 A 上の階数１の射影加群 P に対して
Hom(P, A)(x)P は A-加群として A に標準的に同型である。

証明
u ∈ Hom(P, A), x ∈ P に対して u(x) ∈ A を対応させる
ことにより、標準射 φ: Hom(P, A)(x)P → A が得られる。
よって、A_m をテンソル積することにより
φ_m: Hom(P, A)_m(x)P_m → A_m が得られる。

P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。
よって、>>223 より Hom(P, A)_m = Hom(P_m, A_m) となる。
P_m = A_m だから、φ_m は同型である。
よって、>>267 より Hom(P, A)(x)P → A は同型である。
証明終
271 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 18:13:34 ]: 志村先生すき？
272 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 18:34:05 ]: 五郎ちゃんって呼んで
273 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 21:39:14 ]: 208の性格が悪いから、ここまで粘着されるんだろうな。

70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ

72 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 11:07:12
>>70
やだ
274 名前：208 [2005/12/09(金) 11:35:17 ]: 環付空間の射 f:X → Y があるとする。
Y 上の可逆層 L~ に f による引き戻し f^*(L~) を対応させる
ことにより、アーベル群の射 Pic(Y) → Pic(X) が得られる。
これにより、X → Pic(X) は環付空間の圏からアーベル群の圏への
反変関手になる。

このことを、可換環の圏において翻訳しよう。
275 名前：208 [2005/12/09(金) 11:52:17 ]: 命題
A を環、 B を A-代数とする。
P を A 上の階数１の射影加群とすると、P(x)B は
B 上の階数１の射影加群である。

証明
φ: A → B を構造射とする。
>>207 より P(x)B は B-加群として射影的である。
q を B の素イデアルとし、p ∈ Spec(A) を q の逆像 φ^(-1)(q)
とする。
(P(x)B)_q = (P(x)B)(x)B_q = P(x)B_q = (P(x)A_p)(x)B_q
= (P_p)(x)B_q = A_p(x)B_q = B_q
よって、P(x)B は射影加群として階数１である。
証明終
276 名前：208 [2005/12/09(金) 11:56:22 ]: >>275 よりアーベル群の射 Pic(A) → Pic(B) が得られ、
A → Pic(A) が可換環の圏からアーベル群の圏への共変関手になる
ことは明らかだろう。
277 名前：208 [2005/12/09(金) 15:25:51 ]: 可換環のPicard群は、ある程度その環の複雑性を反映している。
例えば、局所環のPicard群は、>>191 より自明である。
同様に以下に示すように半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)の
Picard群も自明である。
まず、環が体の有限個の直和となる場合に、これを示す。
278 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 15:44:33 ]: 示さなくともよろしい
279 名前：208 [2005/12/09(金) 16:10:54 ]: 定義
A を環とする。A が極小イデアルの有限個の直和となるとき A を
(可換な)半単純環と呼ぶ。明らかにこれは、A が環として体の有限個の
直和になることと同値である。
280 名前：208 [2005/12/09(金) 16:30:02 ]: 命題
A を半単純環とし、M を単純 A-加群とする(前スレの253)。
M は A の極小イデアルのひとつに同型である。

証明
A = I_1 + ... I_n を A の極小イデアルの直和とする。
x を M の 0 でない元とする。M の単純性より、M = Ax である。
よって、 M = (I_1)x + ... + (I_n)x となる。
よって、(I_k)x ≠ 0 となる k がある。
M の単純性より、M = (I_k)x である。
A-加群としての射 φ: I_k → M を φ(a) = ax により定義する。
Ker(φ) = I_k では有り得ないから、I_k の極小性より
Ker(φ) = 0 である。よって、M は I_k と同型である。
証明終
281 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 16:32:37 ]: 最近めっぽう寒くなってきたね。

そんな代数幾何。
282 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:40:06 ]: だからウォームアップをしてるんだろう
283 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:43:35 ]: ああヴェイユ先生がみたら嘆くなあ
284 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:44:31 ]: >>281
ニューカレドニアからは何時帰ってきたんだ
285 名前：208 [2005/12/09(金) 17:01:50 ]: 補題
A を環とし、M を A-加群とする。
M が有限個の単純部分加群の和となるとする。
このとき、M はこれらの単純部分加群の一部または全ての直和となる。

証明
M = M_1 + ... + M_n (単なる和)で、各 M_i は単純とする。
各 M_i は相異なると仮定してよい。
M = M_1 ならこの場合は証明が終わるから、M ≠ M_1 と仮定してよい。
M_1 ∩ M_2 ≠ 0 なら M_1 = M_2 だから
M_1 ∩ M_2 = 0 である。よって M_1 + M_2 は直和である。
M = M_1 + M_2 ならこの場合は証明が終わる。
よって、M ≠ M_1 + M_2 と仮定する。
(M_1 + M_2) ∩ M_k ≠ 0 が全ての k > 2 で成立つなら、
M_k ⊂ M_1 + M_2 となり、M = M_1 + M_2 となって仮定に反する。
よって、(M_1 + M_2) ∩ M_k = 0 となる k がある。
k = 3 と仮定してよい。よって M_1 + M_2 + M_3 は直和である。
以下、これを繰り返せばよい。
証明終
286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:28:26 ]: 優拳固にする必要はなかろう
287 名前：208 [2005/12/09(金) 17:32:28 ]: おまえらクズどもが荒らすのをやめるまで、しばらく書き込むのをやめるぞ。
蛆虫どもめ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!
288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:33:40 ]: 政界も財界も官界も数学界も建築界も
どこもかしこも腐りきっている

先祖を大事にしろ？！
やす国の英霊をたてまつれ？！

馬鹿いうんじゃねえ

こんな腐った日本をつくって
それを俺たちに押しつけている連中に
なんの感謝の必要がある？
289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:35:50 ]: >しばらく書き込むのをやめるぞ。

ネタがなくなったのなら正直にいえばいいのに
しばらくどころか金輪際書かなくても
どうせ誰も惜しまない内容だよね
290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:37:14 ]: 優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:53:35 ]: 695 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/09(金) 09:58:35
崩れだとかボスだとか公募だとか関係ないスレまで進出してきてウザイ

ここで引き取って貰えませんか？
292 名前：208 [2005/12/09(金) 18:00:47 ]: 補題
A を環とし、M を A-加群とする。
M が有限個の単純部分加群の直和となるとする。
N を M の任意の部分加群とすると、N は M の直和因子となる。

証明
M = M_1 + ... + M_n (直和)で、各 M_i は単純とする。
M ≠ N と仮定してよい。
各 k で N ∩ M_k ≠ 0 なら N ∩ M_k = M_k 即ち M_k ⊂ N となって
M = N となるから、N ∩ M_k = 0 となる k がある。k_1 はこのような k
の最小値とする。N + M_(k_1) は直和である。M ≠ N + M_(k_1) なら
同様にして、(N + M_(k_1) ∩ M_(k_2) = 0 となる k_2 がある。
よって、N + M_(k_1) + M_(k_2) は直和である。
以下、これを繰り返せばよい。
証明終
293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:06:30 ]: 208復活おめ。
少なくとも俺は、このスレを楽しみにしているよ！
294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:06:45 ]: 優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:07:24 ]: >>1
> 前スレ
> science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231

前スレが見られないのですが、誰か保存していないでしょうか？
296 名前：208 [2005/12/09(金) 18:10:04 ]: >>292 において N は M/(M_(k_1) + M_(k_2) + ...) に同型だから
N も、M_iの１つと同型な単純加群の直和となることが分かる。
297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:12:18 ]: ブルバキの劣化コピーか
298 名前：208 [2005/12/09(金) 18:12:57 ]: >>293

復活もなにも、そもそも >>287 は俺じゃない。
299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:13:55 ]: ブルバキの劣化コピー！
300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:14:53 ]: 前スレのログきぼん
301 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 18:15:13 ]: そうだおれはおれじゃない
じゃあおれはだれだ
302 名前：208 [2005/12/09(金) 18:17:28 ]: 性格が悪いだけじゃないぞ。
303 名前：208 [2005/12/09(金) 18:19:00 ]: 復活して脳内大学で講義する雄姿を見よ。
304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:24:47 ]: サボり龍の入れ墨した森毅が啖呵を決める「どっちでもええんちゃう」
305 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 18:31:36 ]: >>304
それ、どんな龍や、ちゅうねん。ほな、さいなら～～。
306 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 18:44:09 ]: >>298
見苦しいぞ。
そうまでして勝ちたいか！
307 名前：208 [2005/12/09(金) 18:47:44 ]: パプアニューギニアにいるから暑くてかなわん。
308 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:00:18 ]: 劣化コピー烈火の如く怒るブルバキ
309 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:03:58 ]: 月曜までにこのスレがなくなったら驚くな。
310 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:05:30 ]: なぜベストを尽くさないのか！
311 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 20:09:19 ]: 俺は king だ。
king 氏ね。
312 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/09(金) 20:15:23 ]: talk:>>311 お前に何が分かるというのか？
313 名前：208 mailto:sage [2005/12/10(土) 02:54:49 ]: そんな事より、ちょいと聞いてくれよ。問題とあんま関係ないけどさ。
このあいだ、近所の吉野家行ったんです。吉野家。
そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで座れないんです。
で、よく見たらなんか垂れ幕下がってて、１５０円引き、とか書いてあるんです。
もうね、アホかと。馬鹿かと。
お前らな、１５０円引き如きで普段来てない吉野家に来てんじゃねーよ、ボケが。
１５０円だよ、１５０円。
なんか親子連れとかもいるし。一家４人で吉野家か。おめでてーな。
よーしパパ特盛頼んじゃうぞー、とか言ってるの。もう見てらんない。
お前らな、１５０円やるからその席空けろと。
吉野家ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。
Ｕの字テーブルの向かいに座った奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、
刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。女子供は、すっこんでろ。
で、やっと座れたかと思ったら、隣の奴が、大盛つゆだくで、とか言ってるんです。
そこでまたぶち切れですよ。
あのな、つゆだくなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。
得意げな顔して何が、つゆだくで、だ。
お前は本当につゆだくを食いたいのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、つゆだくって言いたいだけちゃうんかと。king 氏ね。
吉野家通の俺から言わせてもらえば今、吉野家通の間での最新流行はやっぱり、
ねぎだく、これだね。
大盛りねぎだくギョク。これが通の頼み方。
ねぎだくってのはねぎが多めに入ってる。そん代わり肉が少なめ。これ。
で、それに大盛りギョク（玉子）。これ最強。
しかしこれを頼むと次から店員にマークされるという危険も伴う、諸刃の剣。
素人にはお薦め出来ない。
まあお前らド素人は、牛鮭定食でも食ってなさいってこった。
314 名前：208 [2005/12/10(土) 03:30:28 ]: >>313
208は下げないぞ！
偽者め！
いい加減に荒らすのをやめろ！
315 名前：208 [2005/12/10(土) 03:59:13 ]: >>313
そうだ！荒らすんじゃない！この偽物め！
316 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 10:06:53 ]: >>295

保存してるけど、どうやって見せたらいい？
メールは悪いけど勘弁して。
317 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 15:20:55 ]: 今日はまだ現われませんか
本物も偽物も
318 名前：208 [2005/12/12(月) 16:09:57 ]: >>313

なつかしいな。特盛り食いたくなったｗ
319 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:11:47 ]: >>316
連投規制にひっかからないように、
この刷れに貼付ければ？
320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/12(月) 16:14:15 ]: >>316
期待しています。
321 名前：208 [2005/12/12(月) 16:20:17 ]: このスレに貼付けるのやめてよ。別スレ立てるとかにして
322 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:26:28 ]: 今日の授業はどう？
323 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:28:01 ]: バカ田大学をなめるなよ。
324 名前：208 [2005/12/12(月) 17:02:38 ]: 命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
m_i は極大イデアルであり、A の極大イデアルは
これら m_1, ..., m_n のみである。

証明
A/m_i は I_i に同型だから、m_i は極大である。
J を A の極大イデアルとする。
I_i が J に含まれないとする。I_i ∩ J ≠ 0 なら
I_i の極小性から I_i ∩ J = I_i となって矛盾。
よって I_i ∩ J = 0 であり、I_i + J は直和である。
J は極大イデアルだから、 A = I_i + J となる。
j ≠ i で I_j が J に含まれないとすると、
同様に A = I_j + J となる。
A = I_j + J の両辺に I_i を掛けると I_i = (I_i)(I_j) + (I_i)J
= 0 + 0 = 0 となって矛盾。
よって、J = m_i となる。
証明終
325 名前：208 [2005/12/12(月) 17:10:34 ]: 命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
>>324 より m_i は極大イデアルであるが、
A_(m_i) は I_i と環として、従って体として同型である。

証明
読者に任す。
326 名前：208 [2005/12/12(月) 17:16:37 ]: A_(m_i) ってなんだっけ？
327 名前：208 [2005/12/12(月) 17:18:55 ]: 命題
A を半単純環(>>279)とする。
任意の有限生成 A-加群 M は射影的である。

証明
M は有限生成だから、A 上の有限生成自由加群 L と全射 φ: L → M
が存在する。Ker(φ) = N とおけば、
0 → N → L → M → 0 は完全である。
>>292 よりこの完全列は分解する。
よって M は自由加群の直和因子となって射影的である(>>186)。
証明終
328 名前：208 [2005/12/12(月) 17:20:42 ]: A_(m_i) の意味を教えてくれ
329 名前：208 [2005/12/12(月) 17:21:37 ]: >>326

A の極大イデアル m_i による局所化。
俺の ID を使うなよ。
330 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 17:24:07 ]: だんだん劣化してきてるなあ
331 名前：208 [2005/12/12(月) 17:26:45 ]: talk:>>329 お前誰だよ？
332 名前：208 [2005/12/12(月) 17:30:44 ]: >>327
>>>292 よりこの完全列は分解する。

M が有限個の単純部分加群の直和となることは >>285 より
明らかだろう。
333 名前：208 [2005/12/12(月) 17:36:29 ]: 命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。
M を有限生成 A-加群とする。
M = e_1M + ... + e_nM (直和)となる。
各 e_iM は e_iM ≠ 0 なら I_i と同型な単純部分加群の直和となる。

証明
読者に任す。
334 名前：208 [2005/12/12(月) 17:41:10 ]: いいかここに書き込むのは208だけだ。
335 名前：208 [2005/12/12(月) 17:42:01 ]: どんどん劣化してきてるなあ
336 名前：208 [2005/12/12(月) 17:43:08 ]: talk:>>335 お前に何が分かるというのか？
337 名前：208 [2005/12/12(月) 17:49:23 ]: ずんずん劣化してきてるなあ
338 名前：208 [2005/12/12(月) 17:50:27 ]: 命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。
M を有限生成 A-加群とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
>>324 より m_i は極大イデアルであり、>>325 より
A_(m_i) は I_i と同型な体である。
M_(m_i) の体 A_(m_i) 上のベクトル空間としての次元を n_i とする。
このとき、e_iM は I_i と同型な単純部分加群の n_i 個の直和と
になる。

証明
>>333 を使う。詳細は読者に任す。
339 名前：208 [2005/12/12(月) 17:53:12 ]: 無意味な繰り返しだなあ
340 名前：208 [2005/12/12(月) 17:57:25 ]: 命題
A を半単純環(>>279)とする。
M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とする。
M は階数 n の自由加群である。

証明
>>338 より明らか。
341 名前：208 [2005/12/12(月) 18:00:24 ]: えー可換なのか
342 名前：208 [2005/12/12(月) 18:01:16 ]: 命題
A を半単純環(>>279)とする。
Pic(A) = 0 である。

証明
>>340 より。
343 名前：208 [2005/12/12(月) 18:04:57 ]: 可換かい。
だるいことやっとるのお。
344 名前：208 [2005/12/12(月) 18:10:30 ]: もっとちゃんとしたこと可換かい。
345 名前：208 mailto:sage2008 [2005/12/12(月) 18:15:56 ]: ほんまやね。
346 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 18:21:09 ]: お前ら、俺にかまってほしいんだろ。
ひょっとして俺に惚れてるとかｗ
気持ち悪いな。
シッシッ、あっちいけよ、寄ってくるな。
347 名前：208 [2005/12/12(月) 18:23:35 ]: こら偽者。
348 名前：208 [2005/12/12(月) 18:25:37 ]: 大文字犬文字太文字
349 名前：208 [2005/12/12(月) 18:26:11 ]: どれだ？
350 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 18:29:53 ]: 文字犬
351 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 19:16:03 ]: >>341
>>343

予備知識として可換代数をやるって前スレでもこのスレでも
何度も言ってるだろ。それに、特に断らなければ環は可換と
仮定するとも。お前らこそ、だるいんだよ。
352 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 20:58:31 ]: 　　　　　/　　　 ,ｨ,.ｲ／ﾘﾉﾉ　l　!
　　　　 'ｨ　　　/__　'　　　　　i iﾉ
　　　　 {　r ､i ‐i￣｀iｰ'r ‐=!'ﾞ
　　　　ヽl i),ﾞ　ﾞｰ─'　iｰ-ｲ!
　　　　　　ヾi_　　' ､＿_ '　/ﾞ
　　　　　　　| ヽ　　 - 　/
　　　　　 ,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､
　_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿

ハッハッハ！　見ろ！
Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ
353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/12(月) 22:47:37 ]: >>316
横レスだがうｐローダ使うとか
354 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 00:49:52 ]: >>352
あらすな、ボケェ！！！！！
355 名前：208 [2005/12/13(火) 09:58:48 ]: 命題
A を環とする。
M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とする。
B を A-代数としたとき、M(x)B も階数 n の射影加群である。

証明
>>207 より M(x)B は B-加群として射影的である。

φ: A → B を構造射とする。
q を B の素イデアルとし、p = φ^(-1)(q) を q の逆像とする。

(M(x)B)(x)B_q = M(x)B_q = (M(x)A_p)(x)B_q = (A_p)^n(x)B_q
= (B_q)^n

よって、rank(M(x)B)_q = n
証明終
356 名前：208 [2005/12/13(火) 10:01:09 ]: M(x)って何？
357 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 10:05:25 ]: 答えてほしけりゃ俺のＩＤを使うな
358 名前：208 [2005/12/13(火) 10:14:15 ]: 命題
A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)とする。
M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とすると、
M は自由である。

証明
A の Jacobson 根基(前スレの238)、つまり A のすべての極大イデアルの
共通集合を I とする。
B = A/I は半単純環(>>279)である。
M(x)B は >>355 より B 上の階数 n の射影加群である。
よって >>340 より M(x)B = M/IM は B 上の階数 n の自由加群である。
M は射影加群だから A-加群として平坦である。
よって、>>182 の証明と同様にすればよい。
証明終
359 名前：208 [2005/12/13(火) 10:15:19 ]: 俺は自由だ
360 名前：208 [2005/12/13(火) 11:25:12 ]: 環 A のPicard群の層を使わない定義をまだしていなかった。

定義
A を環とする。A 上の階数１の射影加群の同型類はテンソル積
によりアーベル群となる(>>262, >>263, >>270)。
これを A の Picard群と呼び Pic(A) と書く。
361 名前：208 [2005/12/13(火) 11:26:01 ]: 命題
半局所環の Picard群は 0 である。

証明
>>358 より明らか。
362 名前：208 [2005/12/13(火) 11:29:15 ]: 定義
A を環とし、A の非零因子全体の集合を S とする。
A の S による局所化 A_S を A の全商環と呼ぶ。
363 名前：208 [2005/12/13(火) 11:39:13 ]: 命題
ネーター環の全商環は半局所環である。

証明
A をネーター環とする。 Ass(A) (前スレの89) に属す素イデアルの
合併は A の非零因子全体の集合と一致する(前スレの201)。
これから明らか。
証明終
364 名前：208 [2005/12/13(火) 11:48:26 ]: 環 A の全商環 B が半局所環となるとする(例えば、A がネーター環なら
>>363よりそうなる)。
M を A 上の階数１の射影加群とする。
>>361 より M(x)B は B-加群として B と同型である。
一方、M は平坦だから
A-加群の完全列
0 → A → B
を完全列
0 → M → M(x)B
に写す。
よって、M は B の A-部分加群と同型になる。
これから、Pic(A) の構造を調べるには B の A-部分加群で階数１の
射影加群となるものを調べればよいことが分かる。
365 名前：208 [2005/12/13(火) 12:18:30 ]: >>364 だから M(x) って何だよ？
366 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 14:22:47 ]: 川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！

川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！

川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！
367 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 14:44:09 ]: >>351
かわゆいね。そしてだるいね。
>>365
それはもっともな疑問だ208が勝手に工夫した記号だから
こんなきごうつかうところをみると208はたんなる素人だが
そのくせえらそうなんだよな
368 名前：208 [2005/12/13(火) 14:46:07 ]: 今日からみんなで208ごっこしよう。
うすらが。
369 名前：208 [2005/12/13(火) 14:47:26 ]: Ass(208)は単鈍環。
370 名前：208 [2005/12/13(火) 14:48:18 ]: Ass(単鈍感)=208
371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 16:52:13 ]: あらすな、ボケェ！！！！！
372 名前：208 [2005/12/13(火) 16:53:35 ]: 今日の授業はどうだった？
373 名前：208 [2005/12/13(火) 16:54:53 ]: どうしてヴェイユ全集もってないの？
374 名前：208 [2005/12/13(火) 16:59:30 ]: 大文字犬文字太文字

どれ？
375 名前：208 mailto:sage [2005/12/13(火) 17:10:29 ]: ゆきやこんこ
あられやこんこ
376 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 17:11:46 ]: お前、例のｷﾁxxだろ。
ﾏｼﾞで病院行け
377 名前：208 [2005/12/13(火) 17:13:58 ]: お前、例のｷﾁxxだろ。
ﾏｼﾞで病院行け
378 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 17:18:41 ]: おまえが行け
阿弥陀が池
379 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 17:19:53 ]: >>376
病室のパソコンから書き込んでいるのだが何か？
380 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 19:13:39 ]: I藤さんやY田さんだけじゃなくて、Y永さんもInventに論文あるよ。
来年はイタリアに行くみたい。
マジでInventも就職厳しいみたいだね。
381 名前：208 [2005/12/13(火) 20:52:20 ]: >>308 king 氏ね
382 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 21:38:39 ]: ・若手の上位層・中堅層の業績レベルは（見かけ上）向上しており、
　それに伴って下位層との格差が（見かけ上）拡大している。
・一方で、本来線を引かれるべき上位層・中堅層内の業績の実質的
　格差は見えにくくなっている。
・そのため下位層と上位層・中堅層との（見かけの）格差の拡大に
　関係者の視線がそらされる分、かえってごまかしが効きやすい。
・また、実際問題として採用の業績ラインはさほど上昇していない
　ので、研究実績以外の要素の占める割合が相対的に増大している。
383 名前：208 [2005/12/13(火) 21:50:25 ]: そろそろ引き際かな。
384 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 22:01:49 ]: まるで業績ある奴が優先して就職できないといけないような言い方だが？
数学者の研究成果に期待する国民はほぼ皆無。しかし、コネがある人間が
ポストに就いて先生達の忠実な後継者になることを、先生は期待している。
期待にこたえるのは良いことだ

で、その業績はあるがコネが無い奴がポストについたら、何か良いことが
あるのか？本当に業績あるといっても、実際のところ何の役にも立たない
んだろう？

有名どころの雑誌に論文を数本載せたからといってポストに就けるなどと
甘い期待は持たないことだ
385 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 09:23:37 ]: 俺を叩くのに俺のＩＤを使うってアフォや基地外の考えることは
わからん(当たり前とも言えるが)。俺が識別出来にくくなったら
叩きにくいだろうが。俺自身が痛いことを言っても、言い訳がきくし。
ひょっとして俺と一体化したいとかｗ
気持ち悪い～。
386 名前： ◆r5LpnmM55A [2005/12/14(水) 10:43:12 ]: トリップというものを使ってみるか
387 名前： ◆SQ2Wyjdi7M [2005/12/14(水) 10:46:35 ]: 数字じゃ駄目なのか？
388 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 10:50:47 ]: トリップってどうやるの？
#名前じゃ駄目なの？
389 名前： ◆r5LpnmM55A [2005/12/14(水) 10:56:06 ]: いいんじゃないか？
390 名前：208 [2005/12/14(水) 10:57:08 ]: 「208 #(適当な文字列)」で良いと思うぞ。
391 名前：208 ◆0nkPxMcORM [2005/12/14(水) 10:58:16 ]: ここで今まで述べたことの整理をしよう。

A を可換環、M を A-加群とする。
ΛM は余代数であり余結合的(>>870)で余単位を持つ(>>871)
ので、Homgr(ΛM, A) は結合的で単位元をもつ代数となる
(>>867 と >>869)。
しかも、歪可換(>>885)で交代的なので、
A-代数としての標準射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
が存在する(>>888)。

θは具体的には次の公式で与えられる(>>891, >>892)。
θ(f_1Λ...Λf_n)(x_1Λ...Λx_n) = (-1)^(n(n-1))/2 det(f_i(x_j))

M が A 上の有限生成の自由加群のとき(これが応用では多い)
θは同型となる(>>892)。
よって、(-1)^(n(n-1))/2 θ(f)(x) を (x, f) で表すと、
(x, f) は (Λ^p)M と Λ^p(Hom(M, A)) の非退化の双一次形式
(Λ^p)M×Λ^p(Hom(M, A)) → A となる。
392 名前：208 # [2005/12/14(水) 10:59:43 ]: どうだ？
393 名前： ◆3wAwF5kjXk [2005/12/14(水) 11:00:30 ]: こうか？
394 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 11:01:32 ]: どうやるの？
誰か教えて。
395 名前：208 ◆0nkPxMcORM [2005/12/14(水) 11:03:21 ]: >>394
だから、名前の後に # と適当な文字列を入力だって。
「208 #aho」みたいにさ。
396 名前：208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/14(水) 11:05:19 ]: どうだ？
397 名前：208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/14(水) 11:06:11 ]: やっと出来た。thanks
398 名前：208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/14(水) 11:16:18 ]: 分かってると思うが >>391 は俺じゃない。
399 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 12:37:42 ]: やればできるじゃん。一つ賢くなったね。
400 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 13:32:57 ]: あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ

あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ

あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
401 名前：208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/14(水) 16:02:01 ]: トリップを付けたら急に荒らしが止まったな。
もしかして、俺にトリップを付けさせるために俺のＩＤを
騙っていたのか？
そういう奴ばかりじゃないだろうが、>>391 なんか臭いな。
402 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 16:16:05 ]: せっかくトリップを付けるのなら、ついでに「208」も
何か適当なものに変更すればよかったのかも。
403 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 16:21:23 ]: 楡岩＝ニレイワ＝208
なんかどうでしょう？
404 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 16:24:42 ]: ・若手の上位層・中堅層の業績レベルは（見かけ上）向上しており、
　それに伴って下位層との格差が（見かけ上）拡大している。
・一方で、本来線を引かれるべき上位層・中堅層内の業績の実質的
　格差は見えにくくなっている。
・そのため下位層と上位層・中堅層との（見かけの）格差の拡大に
　関係者の視線がそらされる分、かえってごまかしが効きやすい。
・また、実際問題として採用の業績ラインはさほど上昇していない
　ので、研究実績以外の要素の占める割合が相対的に増大している。
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 16:26:15 ]: きみには「我を崇めよ」とかそっち系の名前がいいよ
406 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 16:28:35 ]: 建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り

建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り

建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り

わっしょいっ、わっしょいっ！
407 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 17:01:36 ]: ねえねえどうしてヴェイユ全集もってないの？
408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 17:02:55 ]: 買ってないからだろ
手に入らなかったのか知らないが

いい加減消えたら？>>407
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 17:22:04 ]: >>408
おまえだれ？
410 名前：208 ◇lJJjsLsZzw mailto:sage [2005/12/14(水) 17:26:13 ]: 誰？
411 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 17:27:57 ]: >買ってないからだろ
>手に入らなかったのか知らないが

まぬけな答えだね。
412 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 17:54:47 ]: 674 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 00:06:34
>>669
建部崩れは、ポス助手の駒場ゴミだけでも二人いる

675 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 00:07:22
>>669
Invent崩れの1人は建部も取っている。
413 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 18:03:50 ]: japanese.chosun.com/site/data/html_dir/2001/08/10/20010810000001.html
韓国ネティズンは、光復節の今月15日、
日本首相の靖国神社参拝と歴史教科書のわい曲に抗議するサイバーデモを、
日本の極右団体のインターネットサイトで行うことにした。
10日、｢日本の歴史教科書改悪阻止運動本部｣など、
歴史わい曲教科書反対運動団体のインターネットホームページの掲示板には、
サイバーデモの同参を呼びかける文章が次々と載せられ、照会も1件当たり数百件を超えている。
これらネティズンは、文部科学省と産経新聞、自民党、新しい歴史教科書をつくる会など
6団体のホームページアドレスを掲載し、同日同時に接続し、サイトをストップさせる計画だ。
また、効果的な同時接続を図るため、接続の時間を決め、
今月15日午前9時と12時、午後3時と6時、9時の5回に渡り、
これら団体のサイトを無差別訪問し「仮想の座り込みデモ」を行うことにした。
-------------------------------------------------------------------------------
朝鮮人は4年前から「サイトをストップさせる」と恥かしげもなく公言し
その行為を「サイバーデモ」と呼んでいます。
同じことをVIPPERがやったら「ハッカー攻撃されたﾆﾀﾞ」と主張しました。
414 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 18:36:14 ]: 数学的な雰囲気の中で糞煮込みうどんを食べたい人、お待ちしております。

Cafe David
415 名前：208 ◆0RbUzIT0To [2005/12/14(水) 18:47:05 ]: 数学的な雰囲気の中で糞煮込みうどんを食べたい人、お待ちしております。

Cafe David
416 名前：208 ◆4etoz7nPdA [2005/12/14(水) 18:47:45 ]: 数学的な雰囲気の中で糞煮込みうどんを食べたい人、お待ちしております。

Cafe David
417 名前：208 ◆0RbUzIT0To [2005/12/14(水) 18:48:58 ]: まねすんな。
418 名前：208 ◆4etoz7nPdA [2005/12/14(水) 18:49:47 ]: おまえこそまねすんな。
419 名前：208 ◆r5LpnmM55A [2005/12/14(水) 18:50:38 ]: だるいぞ
420 名前：208 ◆6lu8FNGFaw [2005/12/14(水) 18:52:20 ]: じゃんじゃん劣化するね。
421 名前：208 ◆15lIZBDwz6 [2005/12/14(水) 19:01:54 ]: じゃかじゃか劣化するね。
422 名前：208 ◆ulG3oSFeig [2005/12/14(水) 19:03:23 ]: なにが？
423 名前：208 ◆9wIaFW05XY [2005/12/14(水) 19:09:29 ]: ずんずん劣化するね。
424 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 20:15:57 ]: 精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ

精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ

精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ
425 名前：208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:00:23 ]: ３桁の数字はレス番号と紛らわしいので、
今後、俺のＩＤは 9208 とする。
426 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:02:38 ]: 補題
A を環とし、M を A-加群で射影的とする。
このとき、Hom(M, A) の元の族 (g_i), i ∈ I と、
M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、
M の任意の元 x に対して x = Σg_i(x)x_i となる。
ここで、f_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。

証明
M の生成元を (x_i), i ∈ I とする。
L = A^(I) を I を添字集合とする自由加群とし、
(e_i), i ∈ I をその標準基底とする。
各 i ∈ I に対して p(e_i) = x_i により、
A-加群としての射 p: L → M を定義する。
p は全射で、M は射影的だから、射 s: M → L で、
ps = 1 となるものが存在する。

一方、各 i ∈ I に対して f_i ∈ Hom(M, A) を
f_i(e_i) = 1, i ≠ j のとき f_i(e_j) = 0 で定義する。
s(x) = Σa_ie_i, a_i ∈ A とする。
各 i ∈ I に対して f_i(s(x)) = a_i となる。
よって、
x = ps(x) = Σa_i p(e_i) = Σf_i(s(x)) x_i
となる。
よって、g_i = (f_i)s とおけばよい。
証明終
427 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:04:09 ]: >>426
>ここで、f_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。

ここで、g_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。
428 名前：9208 ◆0nkPxMcORM [2005/12/15(木) 10:06:37 ]: h.pic.to/4phxm
429 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:19:11 ]: >>426 の逆も成立つ。

補題
A を環とし、M を A-加群とする。
Hom(M, A) の元の族 (g_i), i ∈ I と、
M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、
M の任意の元 x に対して x = Σg_i(x)x_i となるとする。
ここで、g_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。
このとき、M は射影的である。

証明
明らかに (x_i), i ∈ I は M の生成元である。
L = A^(I) を I を添字集合とする自由加群とし、
(e_i), i ∈ I をその標準基底とする。
各 i ∈ I に対して p(e_i) = x_i により、
A-加群としての射 p: L → M を定義する。

M の元 x に対して、s(x) = Σg_i(x)e_i により、
A-加群としての射 s: M → L を定義する。

x = Σg_i(x)x_i であるから、ps = 1 である。
よって、Ker(p) = N とおけば、
完全列 0 → N → L → M → 0 は分裂(split)する。
よって、M は L の直和因子と同型になり、射影的である(>>186)。
証明終
430 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:40:25 ]: 定義
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M に対して B の A-加群としての
部分加群 N があり、MN = A となるとき、M を可逆加群という。
ここで、MN は集合 {xy; x ∈ M, y ∈ N} で生成される B の
A-部分加群である。
431 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:47:27 ]: 定義
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が、MB = B を満たすとき、
M を非退化加群と呼ぶ。
ここで、MB は集合 {xy; x ∈ M, y ∈ B} で生成される B の
A-部分加群である(よって B-部分加群つまり B のイデアルとなる)。
432 名前：9208 ◆xnP4Ob6JZQ [2005/12/15(木) 10:48:42 ]: おはよう、king
433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 10:53:17 ]: 教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。
434 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 11:04:28 ]: 補題
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)なら
M ∩ S は空でない。
ここで、 S は A の非零因子全体の集合である。

証明
MB の元は Σ(x_i)(a_i/s_i), x_i ∈ M, a_i ∈ A, s_i ∈ S
と現される。
M は非退化だから、MB = B となり、1 = Σ(x_i)(a_i/s_i) となる
x_i ∈ M, a_i ∈ A, s_i ∈ S がある。ここで、各 s_i は共通の
元 s ∈ S と仮定してよい。よって、s = Σ(x_i)(a_i) となり、
s ∈ M ∩ S となる。
証明終
435 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 11:10:44 ]: 誤解してる奴がいるな。
このシリーズの目的を登山に例えると、まだ登山に取り掛かってない。
ザイルとかの道具を準備してるところ。道具なんだから自分で作る
必要はない。出来合いのものを買えばよい。ただ諸君の大勢は金を
そんなに持ってるわけではないだろうから、俺が面倒みてるわけ。
つまり、諸君の負担(予備知識)を軽くしようとしてるんだよ。
436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 11:17:42 ]: 本当はザイルすら扱えてるかどうか怪しいのに
「たかがザイルなんだけどね」と言われても説得力はないわな。
437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 11:18:19 ]: へーへー、そいつは気を使ってもらってすまんな。
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!
438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 11:18:58 ]: 痰だらけの汚いスレでつね。
439 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 11:26:21 ]: >597 ：208：2005/10/28(金) 10:29:38
>俺は何も諸君が俺の書いてる事柄を知らないと思ってるわけじゃない。
>自分の知ってることは読みとばしてくれていい。
>こんなことは断るまでもなく当たり前だけど、>>588みたいな
>奴もいるからね。
440 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 11:45:41 ]: 補題
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)なら
M_S = B である。
ここで、S は A の非零因子全体の集合である。

証明
M ⊂ B だから、M_S ⊂ B_S = B とみなせる。
>>434 より、s ∈ M ∩ S がある。
よって、1 = s/s ∈ M_S となって、M_S = B となる。
証明終
441 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 11:54:44 ]: 定義
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M, N に対して
N:M = {x ∈ B; xM ⊂ N} と定義する。
N:M は B の A-加群としての部分加群である。
442 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 13:45:17 ]: >ただ諸君の大勢は金を
>そんなに持ってるわけではないだろうから、俺が面倒みてるわけ。

バカ丸出し
443 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 13:54:00 ]: 愚かすぎる
444 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 14:34:50 ]: 補題
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)なら
A:M = Hom(M, A) である。

証明
x ∈ A:M に対して φ(x) ∈ Hom(M, A) を
φ(x)(y) = xy で定義する。

x に φ(x) を対応させることにより、
射 φ: A:M → Hom(M, A) が得られる。

>>434 より、s ∈ M ∩ S がある。
ここで、S は A の非零因子全体の集合である。
よって、φ(x) = 0 なら xs = 0 より x = 0 となる。
よって、φ は単射である。

f ∈ Hom(M, A) とする。
M ⊂ B だから、x ∈ M に対して tx ∈ A となる t ∈ S がある。
f(x) = f(stx)/st = txf(s)/st = xf(s)/s
よって、f(x) = φ(f(s)/s)(x) となる。
即ち、f = φ(f(s)/s) である。
よって、φ は全射でもある。
証明終
445 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 14:51:59 ]: >ただ諸君の大勢は金を
>そんなに持ってるわけではないだろうから、俺が面倒みてるわけ。

この場合の「金」は予備知識とかBourbakiを持っていない
ことに対する比喩であって、文字どうりの金のことと思ってる
奴は、まさかいないだろうな？ｗ
446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 14:53:22 ]: ×文字どうり
447 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 14:54:31 ]: ヴェイユ全集もってないくせに。
448 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:03:19 ]: >>446

２ｃｈで誤字、脱字をいちいち訂正しないでいいよ。ウザイから
意味が通ればいい。
449 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:15:28 ]: >ウザイ

おまえの反応がウザイ
450 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:19:20 ]: 揚げ足取りはウザイと警告しただけ。
偶に反応したからって目くじらたてんなよ。
451 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:20:05 ]: お前等が、どんなに煽っても、俺の証明の間違いとか方法を批判しない限り、
俺は痛くもなんともないんだよ。
452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:21:54 ]: でも揚げ足とられるとなんともなくもないんですやめてくださいって素直に言えよｗ
453 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:22:33 ]: >俺の証明の間違いとか方法を批判しない限り

わはははは
アホな言い逃れしかしないくせに。言うことだけは一人前だな。
454 名前：9208 ◆xnP4Ob6JZQ [2005/12/15(木) 15:22:49 ]: >>440 の M_S って何？
455 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:24:05 ]: >ウザイと警告しただけ。

じゃ間違うなボケ！！
456 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:25:45 ]: 俺のＩＤ使っておきながら俺の答えを期待はしてないよな？
457 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:26:29 ]: >>455

イタイなｗ
458 名前：9208 ◆xnP4Ob6JZQ [2005/12/15(木) 15:26:34 ]: >>456 数学板は ID でないよ。
459 名前：9208 ◆adhRKFl5jU [2005/12/15(木) 15:27:15 ]: おまえは小心者だな。
460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:28:12 ]: すっごい目くじら立ててる人がさっきからいるなあ
痛くもなんともないはずじゃなかったのかなあ
461 名前：9208 ◆ZAgKuX9lgw [2005/12/15(木) 15:29:03 ]: ×文字どうり
462 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:29:12 ]: このバカ(>>458)、何言ってるの？
463 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:30:11 ]: ちょっと退屈なんで、アフォとじゃれてるだけ。
464 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:30:14 ]: w
これはウザイね
465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:31:19 ]: >>462
えっ、そこに絡むのかよ
揚げ足とられてることにすら気づいてないのか
ちょっと痛すぎるだろ
466 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:31:49 ]: アフォ=Ass=208
467 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:33:54 ]: アフォ=Ass=9208
468 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:34:08 ]: >>465

文脈から俺が言ってるＩＤとは、9208 に決まってるだろが、
アホンダラ
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:38:14 ]: だからこそ「揚げ足とり」になるんだけどな。
いやまあお前が人の言葉遣いとは異なるマイ定義を
押し通す奴だということは既に明らかなので
お前のマイ定義では「揚げ足とり」は「お前への煽り」と
同義語なのかもしれんが。
470 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:40:17 ]: 文脈から明らかになってることをそのまま前提していいなら
208＝アフォ、終了、でいいんじゃね？
471 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:40:20 ]: だからさあ、お前等の煽りって数学、少なくともこのスレの題目と
全然関係ないじゃないの。
これは、お前等の頭のイタさを如実に表してるんだよ。
ｲﾀｲ、ｲﾀｲｗ
472 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:41:22 ]: >文脈から

おまえに文脈なんて言われたくないね。
473 名前：9208 ◆xnP4Ob6JZQ [2005/12/15(木) 15:41:45 ]: >>468 物理板ではそれは ID とは呼ばないよ
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:43:04 ]: このスレの趣旨については>>107参照。
475 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:44:01 ]: その証拠に、俺がちょっと相手したら、ほらみろ、こんなにレスが
ついたじゃないかｗ

数学と関係ない話題だと俄然張り切るんだからなｗ
476 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:44:42 ]: >ｲﾀｲ、ｲﾀｲ

おまえにおまえにｲﾀｲなんて言われたくないね。
477 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/15(木) 15:45:45 ]: king シネ
478 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:46:30 ]: ＞その証拠に、俺がちょっと相手したら、ほらみろ、こんなにレスが
＞ついたじゃないか

それだけおまえが嫌われてるってことの証明だよ。
479 名前：9208 ◆16ubqHmTH2 [2005/12/15(木) 15:47:45 ]: >嫌われてる

悲しいね
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:51:52 ]: >>475
だって208の醍醐味は数学じゃなくて基地外っぷりだもんな
481 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:58:02 ]: >>9208
今日は写経はお休みか？
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:59:48 ]: 俺等が、どんなに煽っても、9028の証明の間違いとか方法を批判しない限り、
9208は痛くもなんともないので、
俺達の煽りにいちいち反応しまくってくれてるんです。
483 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:01:04 ]: 教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。
教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。
教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。

これは方法への批判だけどな
484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:03:48 ]: >>482の元ネタは>>451ね。一応。
485 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:14:13 ]: >>483

>>435 を読め。
486 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:21:48 ]: >>478

オメーはとことんアフォだな。嫌ってる人間のスレになんで
奴らは、のこのこ来るんだよ。
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:23:23 ]: まさか、嫌われてないと思ってたのかよ・・・・・・
488 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:23:41 ]: >嫌ってる人間のスレになんで
>奴らは、のこのこ来るんだよ。

分かり切ったことを
いちいち質問するなアホ
489 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:25:40 ]: ＞＞485
そうやって反応するのはかわゆいよ。
バカみたいで。
490 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:26:46 ]: おめーらはヘンタイかよ。嫌いなら来なきゃいいだろ。
491 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:28:45 ]: >>490
とってもｱﾀﾏﾜﾙｲ反応です。
492 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:32:17 ]: 嫌われてるのに何でこんなことするかな？
493 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:32:53 ]: お遊びはこれで終わり。もう相手しないよ、悪いけどな。
当然、本題と関係ある場合は別だ。
494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:35:32 ]: よかったよかった
495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:36:38 ]: かかってこい弱虫
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:38:18 ]: かかってこんかい弱虫ども
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:39:47 ]: 写経のはじまりはじまり！！
間違えたらちゃんと揚げ足とってよ！！
498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:41:21 ]: かかってこんかいヘンタイども
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:44:07 ]: 「ageではもう相手しない」って意味だったのかーおもしろいなー
500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:58:17 ]: へんなの
501 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 17:00:20 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M は非退化(>>431)である。

証明
M は可逆だから、B の A-加群としての部分加群 N があり、
MN = A となる。B ⊃ NB だから MB ⊃ MNB = AB = B
他方、MB ⊂ B だから MB = B となる。
証明終
502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 17:01:50 ]: 写経のはじまりはじまり！！
間違えたらちゃんと揚げ足とってよ！！
503 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 17:18:10 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
定義より MN = A となる B の部分加群 N があるが、
このとき N = A:M となる。

証明
MN = A だから、N ⊂ A:M である。
よって、A = NM ⊂ (A:M)M ⊂ A
よって、(A:M)M = A
この両辺に N を掛けて、(A:M)MN = N
よって、(A:M)A = N
即ち、A:M = N
証明終
504 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 17:31:48 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M はA-加群として有限生成である。

証明
定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。
よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。
よって、x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x となる。
(y_i)x ∈ A だから、M は、有限個の元 x_1, x_2, ... で生成される。
証明終
505 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 17:44:14 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M はA-加群として射影的である。

証明
定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。
よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。
f_i ∈ Hom(M, A) を f_i(x) = (y_i)x で定義する。
x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x = Σf_i(x)x_i となる。
よって、>>429 より M は射影的である。
証明終
506 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 17:46:15 ]: デデキント環まだーーー？
507 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 18:04:58 ]: そうあわてるな。あわてる何とかはと言うだろ。
出来るだけ一般化して論ずるのは、いろいろ利点があるのだよ。
まず証明が自然になって、小手先のテクニックが不要になる。
508 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 19:42:48 ]: あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ

あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ

あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
509 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 10:28:16 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。

証明
>>505 より M は射影加群である。
しかも、>>504 より有限生成である。
よって、p を A の素イデアルとすると、>>208 より M_p は
A_p-加群として有限階数 r の自由加群である。
S を A の非零因子全体の集合とする。
φ: A → A_p を標準射とする。
(M_p)_φ(S) は (A_p)_φ(S) 上の階数 r の自由加群である。
(A_p)_φ(S) = (A_S)_p = B_p
(M_p)_φ(S) = (M_S)_p
となる。
M は可逆だから非退化(>>431)である。
よって >>440 より M_S = B である。
よって (M_S)_p = B_p となる。
よって r = 1 である。
証明終
510 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 10:30:17 ]: たけちゃんのウェッブ・ページだよ♪ｗｗｗ
www.ms.u-tokyo.ac.jp/%7Et-saito/

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511 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 10:47:54 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)で射影的なら
M は可逆(>>430)である。

証明
M は射影的だから、>>426 より、Hom(M, A) の元の族
(f_i), i ∈ I と、M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、
M の任意の元 x に対して x = Σf_i(x)x_i となる。
M は非退化だから、>>444 より各 i に対して y_i ∈ B があり
M の任意の元 x に対して f_i(x) = (y_i)x となる。

>>434 より M ∩ S は空でない。s ∈ M ∩ S をとる。
s は非零因子だから s = Σ(x_i)(y_i)s より、
Σ(x_i)(y_i) = 1 となる。
(y_i) で生成される B の A-部分加群を N とすれば、MN = A となる。
よって M は可逆である。
証明終
512 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 10:48:52 ]: ・教授のコネがもうないから、俺達就職できない
　じゃん
・何でたけちゃんは研究しても就職できないって
　言わなかったんだよ
・大学院なんて役に立つこと何も教えないじゃん
・企業への就職を世話するのも大学の義務だろが
・数学なんて税金泥棒、研究する価値なし！！！
513 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 11:07:27 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
M, N を B の A-加群としての部分加群とする。
M が可逆(>>430)なら、標準射 M(x)N → MN は同型である。

証明
>>509 より M は射影的だから >>188 より平坦である。
よって、完全列
0 → N → B
より完全列
0 → M(x)N → M(x)B
が得られる。

一方、M(x)B = M_S である。ここで、S は A の非零因子全体の
集合である。
M は可逆だから >>501 より非退化(>>431)である。
よって、>>440 より M_S = B である。
よって、完全列
0 → M(x)N → B
が得られる。
M(x)N の像は MN であるから M(x)N → MN は同型である。
証明終
514 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 13:29:22 ]: >>294
>優拳固にする必要はなかろう

優拳固＝有限個のつもりかよ。
今、気がついた。荒しだと思ったぞ。
なんでちゃんと書かないんだ？
それもしつこく何回も。
確かに有限個の単純部分加群の直和でなくてもいい。
そんなことは初めからわかってる。
だけど、このスレでは必要ないから書かなかった。
それが何か？
515 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 13:57:15 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群で可逆(>>430)なもの全体は
部分加群の積によりアーベル群となる。

証明
明らか。
516 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 14:03:01 ]: ＞今、気がついた。荒しだと思ったぞ。

いちいち反応するな。

>そんなことは初めからわかってる。
>だけど、このスレでは必要ないから書かなかった。

はじめからそう書けアホ
517 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 14:38:56 ]: >いちいち反応するな。

アホ

>はじめからそう書けアホ

ドアホ
518 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 16:03:41 ]: やめれ馬鹿
519 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 16:49:35 ]: >やめれ馬鹿

ガキはすっこんどれ
520 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 16:52:42 ]: 定義
A を環とし、M を A 上の階数１(>>253)の射影加群とする。
M の同型類を cl(M) と表す。cl(M) は Pic(A)(>>360) の元である。
521 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:02:20 ]: 定義
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>515 より B の A-加群としての部分加群で可逆(>>430)なもの
全体は、部分加群の積によりアーベル群となる。
このアーベル群を、A の可逆分数イデアル群と呼び、I(A) と書く。
522 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:07:00 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
M を B の A-加群としての部分加群で可逆(>>430)とする。
>>509 より M は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
よって、M の同型類 cl(M) は Pic(A) の元である。
M に cl(M) を対応させることにより、I(A)(>>521) から Pic(A) への
アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) が得られる。

証明
Pic(A) の定義(>>360) と >>513 より明らか。
523 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 17:13:29 ]: いい加減にやめれ馬鹿
524 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:13:39 ]: 定義
A を環とする。A の可逆元全体は乗法によりアーベル群となる。
この群を U(A) または A^* と書く。
525 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:20:03 ]: 定義
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
x ∈ B のとき、Ax が可逆となるためには、x が可逆、
即ち x ∈ U(B)(>>524) が必要十分である。

証明
B の A-加群としての部分加群 N で (Ax)N = A となるものがある。
(Ax)N = xN だから、y ∈ N で xy = 1 となるものがある。
よって、x は可逆である。
証明終
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/16(金) 17:22:14 ]: かかってこい弱虫ども！！
527 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:23:42 ]: >>525

x ∈ U(B) なら Ax が可逆なことも明らか。
528 名前：9208 ◆6WlJFCskKc mailto:sage [2005/12/16(金) 17:28:52 ]: だらだらしすぎ。
529 名前：9208 ◆0qS9/fAJ8E mailto:sage [2005/12/16(金) 17:31:26 ]: とろくせー。
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/16(金) 17:33:22 ]: かかってこんかい！！
531 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:42:35 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。
他方、>>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を
φ(x) = Ax で定義出来る。
このとき、Ker(cl) = Im(φ) となる。

証明
M ∈ Ker(cl) とする。
cl(M) = cl(A)、つまり、M は A-加群として A と同型である。
これから、M = Ax, x ∈ U(B) となる。
よって、Ker(cl) ⊂ Im(φ) である。
逆の包含関係は明らか。
証明終
532 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 18:12:15 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
自然な単射 A → B によりアーベル群としての射
ψ: Pic(A) → Pic(B) が誘導される(>>276)。
他方、>>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。
このとき、Ker(ψ) = Im(cl) となる。

証明
M を A 上の階数１の射影加群とし、ψ(cl(M)) = 0 とする。
これは M(x)B が B と同型になることを意味する。
M は平坦だから単射 A → B より単射 M → M(x)B が得られる。
よって、M は B の部分加群とみなせる。M(x)B = B だから
M は非退化である。よって、>>511 より M は可逆である。
よって、cl(M) ∈ Im(cl) である。
よって、Ker(ψ) ⊂ Im(cl) である。

逆に M ∈ I(A) なら、>>501 より M は非退化である。
よって、 >>440 より M(x)B = M_S = B となる。
よって、Im(cl) ⊂ Ker(ψ) である。
証明終
533 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/17(土) 12:33:26 ]: talk:>>381 お前に何が分かるというのか？
talk:>>432 二日ぶりだな。
talk:>>477 そんなひまがあったら人の脳を読む能力を悪用する奴を殺せ。
534 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/17(土) 13:06:29 ]: 【建部】斎藤毅先生【Invent】
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134743220/
535 名前：9280 ◆owS58xj2hQ [2005/12/17(土) 13:07:42 ]: 命題
人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのが先だ。

証明
そんなことよりキングの脳を止めるのが先だ。
証明終
536 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/17(土) 13:12:20 ]: 僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる

僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる

僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる
537 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/17(土) 21:21:06 ]: talk:>>535 お前に何が分かるというのか？
538 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/17(土) 22:15:27 ]: 下層崩れ＝アナレン級隔年の駒場のＣＯＥ
中堅崩れ＝アナレン級１本／年の学振ＰＤ
上層崩れ＝建部、Ｉｎｖｅｎｔ．崩れかけ
539 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 10:11:52 ]: 定義
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を
φ(x) = Ax で定義出来る。
Im(φ) を A の単項分数イデアル群と呼び、P(A) と書く。
540 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 10:29:46 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
以下の完全列がある。

0 → U(A) → U(B) → I(A) → Pic(A) → Pic(B)

証明
>>531, >>532 より
U(B) → I(A) → Pic(A) → Pic(B)
は完全である。

0 → U(A) → U(B) → I(A)
が完全なのは明らかだろう。
証明終
541 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 10:31:55 ]: 命題
A をネーター環とする。
>>522 で定義したアーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) は
同型 I(A)/P(A) = Pic(A) を誘導する。
ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群(>>539) である。

証明
A の全商環を B とすると、>>363 より B は半局所環である。
よって、>>361 より Pic(B) = 0 である。
よって、>>540 より、同型 I(A)/P(A) = Pic(A) が得られる。
証明終
542 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 11:37:11 ]: 環 A の可逆分数イデアル群(>>521) I(A) は、アフィンスキームとしての
Spec(A) の Cartier因子群と同一視される。
だから Pic(A) にしろ I(A) にしろ幾何的に解釈したほうがいい。
しかし、残念なことに、ここでスキーム論の初歩を展開するわけには行かない。
やってもいいけど、本筋から離れすぎる。

因みに日本語で書かれたスキーム論の入門書としては
上野の代数幾何(岩波) がある。

俺としては EGA I を勧めたいとこだけどね。
EGA がフランス語で書かれていることが残念だね。
EGA I の改定版は英語だけど絶版だろう。
オリジナルならネットからダウンロード出来る。
543 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 11:40:17 ]: >EGA I の改定版は英語だけど絶版だろう。

英語だよね？
違ったかな。
544 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/19(月) 14:20:54 ]: >>543
違います。フランス語です。

Grothendieck et Dieudonne, Elements de geometrie algebrique 1,
Springer-Verlag, 1971
(Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd.166)
545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/19(月) 15:00:40 ]: 350 名前：１３２人目の素数さん：2005/12/19(月) 10:00:45
>上野　代数幾何　岩波

これは、ちょっと極端に言うとお話だね。
ちゃんとした証明は、別の本にあたる必要がある。
例えば、部分スキームのところとか。
351 名前：１３２人目の素数さん：2005/12/19(月) 12:54:44
てかあの本ってほとんどハーツホーンのぱくりにしか思えないんだけど
546 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 15:42:50 ]: 環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の２元 I, J に対して、
I ⊂ J のとき I ≧ J と定義することにより I(A) に順序が入る。

容易にわかるように、I ≧ J のとき、任意の K ∈ I(A) に対して、
IK ≧ JK となる。
よって、I(A) は順序アーベル群となる。
547 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 16:05:46 ]: 命題
環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、
A の非零因子 s があり、sM ⊂ A となる。

証明
>>504 より M は有限生成である。
これより明らか。
548 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 16:13:35 ]: 命題
環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、
I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、
M = I/J と表現される。

証明
>>547 より、A の非零因子 s があり、sM ⊂ A となる。
I = sM, J = As とおけばよい。
証明終
549 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 16:29:10 ]: 命題
A を単項イデアル整域(前スレの644)とする。
Pic(A) = 0 である。

証明
前スレの650より、A 上の有限生成射影加群は自由である。
証明終
550 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 17:35:06 ]: 補題
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域とする。
m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。
A:m ≠ A となる。
ここで、A:m = {x ∈ K; xm ⊂ A} で(>>441)、K は A の商体。

証明
a を m の非零元とする。
dim(A) = 1 だから、Supp(A/aA) = {m} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、
Ass(A/aA) = {m} となる。
よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA),
mb ⊂ aA となるものがある。
m(b/a) ⊂ A だから b/a ∈ A:m となる。
b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。
証明終
551 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 18:32:49 ]: 補題
A を整域、I を有限生成イデアルで I ≠ 0 とする。
x を A の商体の元で xI ⊂ I とする。
このとき x は A 上整である。

証明
ω_1, ... , ω_n を I の生成元とする。
xI ⊂ I だから、
xω_i = Σa_(i,j)ω_j となる。
ここで、各 a(i,j) は A の元。
行列 (a_(i,j)) を T とおく。
I ≠ 0 だから、det(xE - T) = 0 となる。
E は n 次の単位行列。
この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。
証明終
552 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/20(火) 09:44:04 ]: >てかあの本ってほとんどハーツホーンのぱくりにしか思えないんだけど

Hartshorneだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだろ
(Serreの双対定理の証明はEGAにないがそれもGrotehndieckの仕事)。
Mumfordのもいくらかぱくってるし。
そのMumfordだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだし。
それにMumfordとかHartshorneの本の証明だって結構いい加減。
結局、スキーム論の基礎に関してはGrothendieckがオリジナルだし
基礎部分はペンペン草もはえないくらいに徹底してやってるから(Bourbaki仕込み)、
他の人がオリジナルな入門書を書くのは無理。
553 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 10:49:23 ]: 補題
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域とする。
A が整閉(前スレの578)なら A の極大イデアルは単項イデアルである。

証明
m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。
a を m の非零元とする。
m ⊂ m(A:m) ⊂ A だから、m(A:m) = m または m(A:m) = A である。
m(A:m) = m とすると、>>551 より A:m の元は A 上整である。
A は整閉だから、A:m = A である。
一方、>>550 より A:m ≠ A だから、これは有り得ない。
よって、m(A:m) = A である。つまり m は可逆イデアルである。
>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。
証明終
554 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 10:54:10 ]: 補題
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域とする。
m を A の極大イデアルとする。
∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。

証明
Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、
直接証明をしよう。

I = ∩m^n おく。 I ≠ 0 なら、dim(A/I) = 0 つまり A は Artin 環
である。よって m^n ⊂ I となる整数 n > 0 がある。
I の定義より I ⊂ m^n だから I = m^n である。
I ⊂ m^(n+1) だから m^n = m^(n+1) となる。
よって中山の補題(前スレの242)より m^n = 0 である。
よって I = 0 となって矛盾。
証明終
555 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 10:57:55 ]: 定理
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域とする。
A が整閉(前スレの578)なら A は離散付値環(前スレの645)である。

証明
m を A の極大イデアルとする。
I を A のイデアルで I ≠ 0 かつ I ≠ A とする。
>>554 より ∩m^n = 0 だから I ⊂ m^n だが I ⊂ m^(n+1) とは
ならない整数 n > 0 がある。
>>553 より m は単項だから可逆である。
よって、I ⊂ m^n より Im^(-n) ⊂ A となる。
Im^(-n) ≠ A とすると Im^(-n) ⊂ m となって、
I ⊂ m^(n+1) となり仮定に反する。
よって Im^(-n) = A すなわち I = m^n となる。
>>553 より m は単項だから I も単項である。
証明終
556 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:00:11 ]: >>555
>>>553 より m は単項だから可逆である。

>>>553 の証明より m は可逆である。
557 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:17:35 ]: >>555 の定理が Dedekind整域の特徴付けのキーポイント。

>>555 は結局 >>550の補題と局所環のPicard群が自明という
命題(>>361)に基づいている。
558 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:40:29 ]: >>550の補題の証明は簡単そうに見えるけど、随伴素イデアルの理論に
基づいている。

Dedekind整域の特徴付けをもっと手っ取り早くやる方法もある。
例えば van der Wearden。
しかし、その場合は小手先のテクニックというと言いすぎだけど
やや強引な証明になる。

ただ、van der Weardenの証明も我々の証明も本質的には
あまり変わらない。
559 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:42:18 ]: >van der Wearden

van der Waerden
560 名前：9280 ◆owS58xj2hQ [2005/12/20(火) 14:38:24 ]: また king か
561 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/20(火) 19:33:35 ]: talk:>>560 ?
562 名前：9280 ◆owS58xj2hQ [2005/12/20(火) 20:19:11 ]: >>561 お前誰だよ。
563 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/20(火) 20:21:25 ]: talk:>>562 I'm the King of kings.
564 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/20(火) 20:24:33 ]: >>563 訳）俺はオナニーキングだ！
565 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/21(水) 10:50:07 ]: talk:>>564 お前もな？
566 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/21(水) 11:19:59 ]: 補題
A をネーター局所整域とする。
A の極大イデアル m が単項なら ∩m^n = 0 となる。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。

証明
Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、
直接証明をする。

m = 0 なら、この補題は明らかである。
よって m ≠ 0 とする。
m = At, t ∈ A とする。m ≠ 0 だから t ≠ 0 である。
I = ∩m^n とおく。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
x ∈ I とする。各整数 n > 0 に対して x ∈ m^n だから、
x = (t^n)y_n となる y_n ∈ A がある。
(t^n)y_n = (t^(n+1))y_(n+1) だから y_n = ty_(n+1)
よって Ay_n ⊂ Ay_(n+1) である。
A はネーターだから、十分大きい n に対して Ay_n = Ay_(n+1)
となる。よって y_(n+1) = (y_n)u となる u ∈ A がある。
y_n = ty_(n+1) より y_n = tu(y_n)
よって (1 - tu)y_n = 0 となる。
1 - tu ∈ A - m だから 1 - tu は可逆元である。
よって y_n = 0 となり x = (t^n)y_n = 0 である。
従って、I = 0 となる。
証明終
567 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/21(水) 11:36:58 ]: 命題
A を体でないネーター局所整域とする。
A の極大イデアル m が単項なら A は離散付値環である。

証明
A は体でないから m ≠ 0 である。
よって、m = At とすれば t ≠ 0 である。

>>566 より ∩m^n = 0 である。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。

x ∈ m で x ≠ 0とすると、x ∈ m^n だが x ∈ m^(n+1)
とはならない n > 0 がある。 x = (t^n)u, u ∈ A とすれば
u ∈ A - m だから u は可逆元である。
よって、A は離散付値環である(詳細は読者に任す)。
証明終
568 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/21(水) 12:08:24 ]: >>567 の仮定は弱めることが出来る。

命題
A をネーター局所環とする。
A の極大イデアル m がベキ零でない元で生成される単項イデアルなら
A は離散付値環である。

証明
Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より∩m^n = 0 である。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
仮定より m = At となる。ここで、t はベキ零でない。

x ∈ m で x ≠ 0とすると、>>567 と同様にして
x = (t^n)u となる n > 0 と可逆元 u がある。
同様に y ∈ m で y ≠ 0とすると、y = (t^k)v となる k > 0
と可逆元 v がある。
xy = (t^(n+k))uv = 0 とすると、uv は可逆だから
t^(n+k) = 0 となって、t がベキ零でないことに矛盾。
よって xy ≠ 0 である。
x または y が m に含まれない場合は、xy ≠ 0 は明らか。
したがって、A は整域である。
後は、>>567 と同じ。
証明終
569 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/21(水) 15:35:29 ]: 補題
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。
A/m = k とおく。m/m^2 は k 上のベクトル空間と考えられる。
dim(m/m^2) = n は有限であり、n は m の生成元の個数の最小である。

証明
m は有限生成であるから dim(m/m^2) は有限である。
dim(m/m^2) = n とする。
x_1, ..., x_n を m の元で x_1 (mod m), ... , x_n (mod m) が
m/m^2 の k 上の基底となるようなものとする。
x_1, ..., x_n で生成されるイデアルを I とする。
m = I + m^2 である。N = m/I とおけば、mN = N である。
よって中山の補題(前スレの242)より、N = 0 である。
よって、m = I となる。つまり、m は n 個の元で生成される。

m が r 個の元で生成されれば、dim(m/m^2) ≦ r となる。
よって、n は m の生成元の個数の最小である。
証明終
570 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 15:08:57 ]: 命題
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。
dim(A) ≦ dim(m/m^2) となる。

証明
>>569 と Krullの次元定理(前スレの455)より明らか。
571 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 15:12:25 ]: 定義
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。
dim(A) = dim(m/m^2) となるとき、A を正則局所環と呼ぶ。
572 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 15:31:35 ]: 命題
Krull次元１の正則局所環は離散付値環である。

証明
A をKrull次元１の正則局所環、m をその極大イデアルとする。
定義より dim(m/m^2) = 1 である。
よって、>>569 より m は一個の元 t で生成される。
t がベキ零とすると m もベキ零となる。m^r = 0 とする。
p を A の任意の素イデアルとすると m^r ⊂ p だから
m = p となる。よって dim(A) = 0 となり dim(A) = 1 に反する。
よって t はベキ零でない。
>>568 よりA は離散付値環である。
証明終
573 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 15:36:12 ]: 命題
離散付値環はKrull次元１の正則局所環である。

証明
明らかだろう。
574 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 15:45:03 ]: 命題
king 氏ね。

証明
明らかだろう。
575 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 16:23:19 ]: 命題
kingはKrull次元１の正則局所環である。

証明
明らかではない。
576 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/22(木) 17:57:18 ]: talk:>>574 お前に何が分かるというのか？
talk:>>575 私を呼んだか？
577 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/22(木) 17:58:32 ]: >>574 「king 氏ね」は公理だ。
578 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/22(木) 18:09:50 ]: talk:>>577 お前に何が分かるというのか？
579 名前：GiantLeaves ◆Ox1b3ANLCs [2005/12/22(木) 18:10:52 ]: talk:>>576 >>577 人の名前を語って数学板を荒らしてるのはお前らか
580 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/22(木) 18:16:58 ]: >>579 誰の名前だよ？
581 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 19:00:32 ]: 定義
A をking局所環、m をその極大イデアルとする。
yojo(A) = sex(m/m^2) となるとき、A を包茎局所環と呼ぶ。
582 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 19:06:49 ]: 命題
A を包茎局所環とする。
このとき、アーベル群としての射 I(A) → Cli(A) は
同型 I(A)/Pi(A) = Cli(A) を誘導する。
ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。

証明
明らかである。
583 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 19:55:32 ]: なんで
インポ／ピピ＝クリ
になるの？
584 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 21:33:53 ]: 命題
A を整閉整域とし、S を A の積閉部分集合とする。
A_S は整閉である。

証明
K を A の商体とし、x ∈ K が A_S 上整とする。

x^n + (a_1/s)x^(n-1) + ... + (a_(n-1)/s)x + a_n/s = 0
ととしてよい。ここで、各 a_i ∈ A で, s ∈ S

この等式の両辺に s^n を掛けて、

(sx)^n + a_1(sx)^(n-1) + ... + a_(n-1)s^(n-2)(sx) + (a_n)s^(n-1) = 0

となる。よって、sx は A 上整である。
A は整閉だから、sx ∈ A となる。
つまり、x ∈ A_S となる。よって A_S は整閉である。
証明終
585 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 21:40:55 ]: 命題
A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１(前スレの379)の
素イデアルとする。このとき A_p は離散付値環である。

証明
>>584 と >>555 より。
586 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 21:57:15 ]: >>553
>a を m の非零元とする。

この行は削除。
587 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/22(木) 22:06:47 ]: >>586 書き込む前に良く確認しようね。
588 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 22:09:32 ]: >>582
＞ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。

この部分、短小イデアル群を短小イデアル類群に置き換え。
589 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 22:31:31 ]: 補題
A をネーター整閉整域とし、m を A の極大イデアルとする。
a を A の元とする。
m ∈ Ass(A/aA) なら A は離散付値環である。

証明
>>550 と同様にして A:m ≠ A となる。
A は整閉だから >>553 と同様にして m は可逆となり、
したがって単項となる。よって、>>567 より A は離散付値環である。
証明終
590 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 22:47:58 ]: >>589
>A をネーター整閉整域とし、

A を整閉なネーター局所整域とし、
591 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/23(金) 01:33:35 ]: びっくり
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:さげ [2005/12/23(金) 01:34:31 ]: びっくり
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:?3?° [2005/12/23(金) 01:36:47 ]: び
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:?3??? [2005/12/23(金) 01:41:54 ]: びびび
595 名前：１３２人目の素数さん mailto:?3??? [2005/12/23(金) 01:45:04 ]: びびびびびびびびび
びびびびびびびびび

びびびびびびびびび

びびびびびび

びびび

びびび
596 名前：１３２人目の素数さん mailto:?A?L?? [2005/12/23(金) 04:22:35 ]: びびびびびびびびび
びびびびびびびびび

びびびびびびびびび

びびびびびび

びびび
597 名前：１３２人目の素数さん mailto:?A?L?? [2005/12/23(金) 04:23:37 ]: >>582
＞ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。

この部分、短小イデアル群を短小包茎イデアル類群に置き換え。
598 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/23(金) 04:34:04 ]: 1001
599 名前：１３２人目の素数さん mailto:さげ [2005/12/23(金) 07:52:58 ]: 1
600 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/23(金) 07:54:49 ]: アッという間に600がすぎた
年末年始の間にはスレが消えていることだろう
601 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 10:47:11 ]: 定義
１次元のネーター整閉整域をDedekind整域またはDedekind環と呼ぶ。
602 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 10:59:10 ]: >>589
>a を A の元とする。

a ≠ 0 を A の元とする。
603 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 11:00:59 ]: 命題
A をネーター整閉整域とし、a ≠ 0 を A の元とする。
p ∈ Ass(A/aA) なら ht(p) = 1 である。

証明
前スレの 95 より Ass(A_p/aA_p) = Ass(A/aA) ∩ Spec(A_p) である。
よって、p ∈ Ass(A_p/aA_p) となる。
>>589 より A_p は離散付値環である。
よって、ht(p) = 1 である。
証明終
604 名前：9208 ◆4etoz7nPdA mailto:sage [2005/12/27(火) 13:12:43 ]: >>602 良く考えて投稿したらどうか？
605 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 13:51:35 ]: 命題
A をネーター整閉整域とする。
A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。

証明
a, b ∈ A, b ≠ 0 で a ∈ bA_p が任意の ht(p) = 1 の
素イデアル p について成立てば、a ∈ bA となることを示せばよい。

I = {x ∈ A; xa ∈ bA} とおく。I = A が言えればよい。
I ≠ A と仮定する。Ia ⊂ bA だから、I ⊂ p となる p ∈ Ass(A/bA)
がある(前スレの90)。>>603 より ht(p) = 1 である。
仮定より、a ∈ bA_p であるから、sa ∈ bA となる s ∈ A - p
がある。よって s ∈ I だが、これは I ⊂ p に矛盾する。
証明終
606 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/27(火) 16:10:32 ]: 　　　　／￣￣￣￣＼　　　２７歳で日本数学会は下らないと悟った。
　　　（　　人＿＿＿＿）　　３０歳でフィールズ賞も下らないと分かった。
　　　 |ミ/　　ー◎-◎-）　　３３歳で下らない建部賞を贈られた。
　　　（６　　　　　(_　_)　）　　３６歳でアカポスを諦めた。
　　＿_|　∴　ノ　　３　ﾉ　　　３９歳で自分自身を諦めた。
　（＿_/＼＿＿＿＿_ノ　　　　だから愚痴はかみ殺してた。
　/　（　　))　　　　　 ))）　　　「アカポスはコネ」が口癖。
[]＿__.|　｜ラブひな命ヽ　　　自分を相手にしない公募は糞以下だと気づてたから。
｜[]　.|＿|＿＿>>1＿＿＿）　　　言えば僻みになるから負け惜しみになるからダサいから、
　＼_（＿_）三三三[□]三）　　　　ずっとかみ殺してた。
　　／（＿）＼:::::::::::::::::::::::|　　　　　　でも２ちゃんで言ったら最高に笑えた。
　｜Sofmap｜:::::::::/:::::::/ 　　　　　　「川北君に嫉妬したInvent崩れが、女児を刺す！ｗ」
　（＿＿＿＿_）;;;;;/;;;;;;;/
　　　　　（＿＿＿[）＿[）　　　　　　　　本当に心の底から笑えた…。
607 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 18:14:03 ]: 命題
一意分解整域は整閉である。

証明
A を一意分解整域とし、K を A の商体とする。
a/b ∈ K が A 上整とする。ここで、a ∈ A, b ∈ A, a ≠ 0, b ≠ 0。
a, b は互いに素と仮定してよい。

a/b は A 上整だから、整数 n > 0 があり、
(a/b)^n + (a_1)(a/b)^(n-1) + ... + (a_(n-1))(a/b) + a_n = 0
となる。ここで、各 a_i ∈ A。

この等式の両辺に b^n を掛けて、

a^n + (a_1)ba^(n-1) + ... + a_(n-1)(b^(n-1))a + (a_n)b^n = 0

左辺の a^n 以外の項は b で割れる。よって a^n も b で割れる。
b を割る素元 p があるとすると、p は a も割ることになり、
a, b は互いに素という仮定に反する。
よって b は単元である。したがって、a/b ∈ A となる。
証明終
608 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/27(火) 19:14:01 ]: >>606 建部崩れの専門は、ヘルス巡り。月給１０万で
最近はほとんど逝けず、激しく意気消沈なのれしたｗ
609 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 13:48:56 ]: 命題
A をネーター整域とする。
A が整閉であるためには以下の条件が必要十分である。

1) A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は離散付値環である。

2) A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。

証明
A はネーター整閉整域とする。
>>585 より 1) が成立つ。
>>605 より 2) が成立つ。

逆にネーター整域 A が 1), 2) を満たすとする。

1) より A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は
一意分解整域だから、>>607 より A_p は整閉である。
よって、2) より A も整閉である
証明終
610 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/28(水) 13:54:17 ]: 138 名前：１３２人目の素数さん：2005/12/28(水) 11:44:27
多元数理研の由来は多元環からきてるの？
だとすると代数系に重点を置いてるのかな
139 名前：１３２人目の素数さん：2005/12/28(水) 13:24:44
>>138
そんなわけないだろ。
それは吉田正章が言った冗談。
本当の由来はある教授が四方教授と本部の事務官の前で言った「冗談」
611 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 14:58:27 ]: 命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。

証明
p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より
A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の単項イデアルである。
A はネーターだから、I は A-加群として有限表示を持つ。
よって、>>235 より I は射影的である。
I ≠ 0 だから I は非退化(>>431)である。
よって、>>511 より I は可逆である。
証明終
612 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 16:07:07 ]: 補題
A を整域とする。
A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。

証明
x ∈ ∩A_m とし、I = {a ∈ A; ax ∈ A} とおく。
I = A と仮定する。I ⊂ m となる極大イデアル m がある。
x ∈ A_m であるから、sx ∈ A となる s ∈ A - m があり、
s ∈ I に矛盾。
証明終
613 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 16:13:20 ]: 命題
A を体でない整域とする。A の任意の非零イデアルが可逆(>>430)なら、
A はDedekind整域(>>601)である。

証明
>>504 より可逆イデアルは有限生成である。
よって、A はネーターである。

p を A の非零素イデアルとする。
p は可逆だから、>>509 より p は階数１(>>253)の射影加群である。
よって、>>191 より pA_p は階数１の自由加群である。
つまり、pA_p は、単項イデアルである。
よって、>>567 より A_p は離散付値環である。

よって、ht(p) = 1 である。これから dim(A) = 1 となる。
よって、A の非零素イデアルと極大イデアルは同じものである。

>>612 より A = ∩A_p (p は A の極大イデアル全体を動く)であり、
>>607 より各 A_p は整閉だから、A も整閉である。

以上で、A は１次元のネーター整閉整域、つまりDedekind整域で
あることがわかった。
証明
614 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/28(水) 16:16:04 ]: まだ写経してるのか。
615 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 17:22:31 ]: 補題
A をネーター整域とする。
m をその極大イデアルとする。
任意の整数 n > 0 に対して m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。

証明
Supp(A/m^n) = {m} だから前スレの 166 よりAss(A/m^n) = {m} である。
よって、m^n は準素イデアルである。
よって、前スレの 198 より m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。
証明終
616 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 17:31:23 ]: 命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に分解される。

証明
I ≠ A と仮定してよい。
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
I ≠ 0 だから各 p_i は極大イデアルである。ht(p_i) = 1 だから、
p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。

>>585 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
よって、>>615 より、q_i = (p_i)^(n_i) となる。

前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。
証明終
617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/02(月) 04:40:51 ]: 381
618 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/06(金) 10:30:47 ]: 早く崩れろ
619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/08(日) 17:02:11 ]: ここは208の独断場ではない
620 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/08(日) 17:33:38 ]: >>619

ここは 9208 の希望によって俺が 9208 の為に立てたスレだ。
趣旨を尊重してもらおう。

数学的内容に関しての、質問、まじめな異論なら歓迎だ。
621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/08(日) 17:52:07 ]: >>620
お前の独壇場でもない。
622 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 13:23:36 ]: 命題
kingはKrull次元１の正則局所環である。

証明
明らかではない。
623 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 17:32:41 ]: Krull と聞くと、ケロロ軍曹を思い浮かべる漏れって数学に向いてない？
624 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:22:58 ]: talk:>>622 私は代数幾何学の専門家ではないぞ。
625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 18:27:38 ]: >>624
お前何もできないじゃん。
626 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:32:23 ]: talk:>>625 お前に何が分かるというのか？
627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 18:41:07 ]: >>626
kingがあほなこと。
628 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:45:59 ]: talk:>>627 お前に何が分かるというのか？
629 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 20:15:39 ]: >>628 talk:>>627 お前に何が分かるというのか？

あんた、他の言い方知らないの？
630 名前：GiantLeaves mailto:sage [2006/01/10(火) 23:33:31 ]: talk:>>629 お前に何が分かるというのか？
631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 23:37:09 ]: talk:>>630 お前に何が分かるというのか？
632 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 07:40:43 ]: talk:>>629 お前に何が分かるというのか？
633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 08:47:24 ]: talk:>>632 お前に何が分かるというのか？
634 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/11(水) 09:47:27 ]: 補題
A を整域とする。
a ∈ A, a ≠ 0 とする。
aA = IJ となる A のイデアル I, J があるとする。
このとき、I と J は可逆(>>430)である。

証明
aA = IJ だから、IJ(1/a) = A となる。
よって、I と J は可逆である。
証明終
635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 10:56:52 ]: talk:>>634 お前に何が分かるというのか？
636 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 11:51:07 ]: talk:>>633 お前に何が分かるというのか？
637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 12:28:55 ]: talk:>>636 お前に何が分かるというのか？
638 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 12:35:48 ]: talk:>>637 お前に何が分かるというのか？
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 13:20:51 ]: talk:>>638 お前に何が分かるというのか？
640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 13:30:59 ]: talk:>>639 お前に何が分かるというのか？
641 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 14:50:02 ]: talk:>>639 お前に何が分かるというのか？
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 15:02:19 ]: talk:>>641 お前に何が分かるというのか？
643 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 15:06:55 ]: talk:>>641 お前に何が分かるというのか？
644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 16:57:39 ]: talk:>>1-643 おまいらに何が分かるというのか？
645 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:02:01 ]: talk:>>642 お前に何が分かるというのか？
646 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:02:36 ]: talk:>>643 お前に何が分かるというのか？
647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 18:08:43 ]: talk:>>645 お前に何が分かるというのか？
648 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 18:12:01 ]: talk:>>645 お前に何が分かるというのか？
649 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:16:33 ]: talk:>>647-648 お前に何が分かるというのか？
650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 18:46:06 ]: talk:>>649 お前に何が分かるというのか？
651 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 18:51:50 ]: >>635-650
お前らに何が分かるというのか？
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 19:00:46 ]: talk:>>651 お前に何が分かるというのか？
653 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 20:10:44 ]: talk:>>650 お前に何が分かるというのか？
654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 20:20:58 ]: talk:>>653 お前に何が分かるというのか？
655 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 20:24:25 ]: talk:>>653 お前に何が分かるというのか？
656 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 20:34:00 ]: >>652-655
お前らに何が分かるというのか？
657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 22:10:19 ]: king よ！

ここを去れ！ゴミに反応するな。
658 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 22:22:11 ]: >>1-657
お前ら、俺様のスレを荒らすなよ！
659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 22:48:46 ]: >>658　あんた誰？
660 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 07:05:45 ]: talk:>>654-655 お前に何が分かるというのか？
talk:>>657 私を呼んだか？
661 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 10:28:57 ]: 補題
A を整域とする。
a ∈ A, a ≠ 0 とする。
aA = (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。
ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。
このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると
P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。

証明
P_1 を {P_1, ..., P_r} の極小元とする。
(Q_1)...(Q_s) ⊂ P_1 だから Q_i ⊂ P_1 となる i がある。
必要なら番号を付けかえて i = 1 と仮定する。
(P_1)...(P_r) ⊂ Q_1 だから P_j ⊂ Q_1 となる j がある。
P_j ⊂ Q_1 ⊂ P_1 だから P_1 の極小性より P_j = P_1 である。
よって、P_1 = Q_1 となる。

>>634より、P_1 は可逆である。
(P_1)(P_2)...(P_r) = (P_1)(Q_2)...(Q_s) の両辺に (P_1)^(-1)
を掛けると、(P_2)...(P_r) = (Q_2)...(Q_s) となる。
これから、r に関する帰納法により本補題の主張が得られる。
証明終
662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 10:49:17 ]: talk:>>660 お前に何が分かるというのか？
663 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 11:44:02 ]: talk:>>662 お前に何が分かるというのか？
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 12:20:04 ]: talk:>>663 お前に何が分かるというのか？
665 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 13:00:06 ]: 補題
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するとする。
P を A の素イデアルとし、a を A の元で P に含まれないものとする。
I = P + aA とする。このとき、I^2 = P + (a^2)A となる。

証明
I^2 = (P_1)...(P_r),
P + (a^2)A = (Q_1)...(Q_s) とする。
ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。

φ: A → A/P を標準射とする。
φ(I^2) = φ(P_1)...φ(P_r) であり、
φ(I^2) = φ((P + aA)^2) = φ((a^2)A) である。

他方、φ(P + (a^2)A) = φ(Q_1)...φ(Q_s) であり、
φ(P + (a^2)A) = φ((a^2)A) である。
よって、φ((a^2)A) = φ(P_1)...φ(P_r) = φ(Q_1)...φ(Q_s) となる。

各 P_i にたいして、I^2 ⊂ P_i だから I ⊂ P_i となる。
よって P ⊂ P_i である。
各 Q_j にたいして、P ⊂ Q_j は明らか。

よって、φ(P_i), φ(Q_j) は A/P の素イデアルである。
>>661より、r = s であり、順序を適当に入れ替えると
φ(P_i) = φ(Q_i), i = 1, ..., r となる。
よって、P_i = Q_i, i = 1, ..., r となり、
I^2 = P + (a^2)A となる。
証明終
666 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 14:19:35 ]: talk:>>664 お前に何が分かるというのか？
667 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/12(木) 14:23:46 ]: >>666
あらすなよ！
668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 15:04:49 ]: talk:>>666 お前に何が分かるというのか？
669 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 17:47:41 ]: 補題
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するとする。
P を零でない素イデアルとし、I を P ⊂ I で P ≠ I となる
イデアルとする。このとき P = PI となる。

証明
PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。
I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、
a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。
>>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。
I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、
P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A となる。
x ∈ P とすると、x = y + za + (a^2)b となる。
ここで、y ∈ P^2, z ∈ P, b ∈ A である。
これから、(a^2)b ∈ P となる。a^2 は P に含まれないから
b ∈ P である。
よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。
証明終
670 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 18:23:22 ]: 命題
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するなら、A はDedekind整域(>>601)である。

証明
P を A の零でない素イデアルとする。
a ∈ P, a ≠ 0 をとり、aA = (P_1)...(P_r) とする。
ここで各 P_i は素イデアルである。
I をイデアルとし、P_i ⊂ I, P_i ≠ I と仮定する。
>>669より、P_i = (P_i)I である。>>634 より P_i は可逆だから
I = A となる。よって、各 P_i は極大イデアルである。
(P_1)...(P_r) ⊂ P だから P_i ⊂ P となる i がある。
よって P = P_i となり、P は可逆である。
A の任意の零でないイデアルは有限個の素イデアルの積であるから、
これも可逆である。>>613より A はDedekind整域である。
証明終
671 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 22:14:58 ]: talk:>>667 おまえもな。
talk:>>668 お前に何が分かるというのか？
672 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/12(木) 22:17:35 ]: マジで荒らすなよ。
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 23:59:39 ]: talk:>>671 お前に何が分かるというのか？
674 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 09:29:05 ]: >>661の補題の前に次の補題を書いておいたほうが良かった。

補題
A を環とする。
(P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。
ここで各 P_i 及び Q_j は A の可逆な素イデアルである。
このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると
P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。

証明
>>661と同様。
675 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 09:45:55 ]: >>670
>A を整域とする。

A を体でない整域とする。
676 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 09:47:57 ]: 命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて
一意的に分解される。

証明
分解の可能なことは、>>616 で証明されている。
一意性は>>611と>>674から出る。
証明終
677 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 12:19:37 ]: 定義
A を整域とし、K をその商体とする。
K の A-部分加群 I が次の条件を満たすとき I を A の分数イデアル
と呼ぶ。
1) I ≠ 0
2) K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。
678 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 12:27:38 ]: 命題
A を整域とし、K をその商体とする。
K の A-部分加群 I ≠ 0 が有限生成なら分数イデアル(>>677)である。
A がネーター整域なら逆も成立つ。

証明
明らかだろう。
679 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 13:50:44 ]: 命題
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
A の分数イデアルと K の A-可逆部分加群(>>430) は同じものである。

証明
I を A の分数イデアルとする。
K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。
xI = J とおけば、J は A の非零イデアルであるから >>611 より
可逆である。I = J(1/x) だから I も可逆である。

逆に、K の A-可逆部分加群は、>>504 より A-加群として有限生成
であるから >>678 より分数イデアルである。
証明終
680 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 09:46:37 ]: >>676
一意性は>>611と>>674から出る。

>>616の証明からも一意性は明らか。
681 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 10:01:19 ]: >>634の補題は次のより一般的な補題の系としたほうがよかった。

補題
A を環とし、B を A の全商環(>>362)とする。
M, N を B の A-部分加群とする。
MN が可逆(>>430)なら、M と N も可逆である。

証明
MN が可逆だから、(MN)L = A となる B の A-部分加群 L がある。
よって、M の逆加群は NL であり、N の逆加群は MLである。
証明終
682 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 10:07:04 ]: >>669 の証明は以下のようにほんのわずか修正したほうが分かりやすい。

証明
PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。
I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、
a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。
>>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。
I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、
P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A ⊂ P^2 + aA となる。
よって、x ∈ P とすると、x = y + ab となる。
ここで、y ∈ P^2, b ∈ A である。
これから、ab ∈ P となる。a は P に含まれないから
b ∈ P である。
よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。
証明終
683 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 10:17:44 ]: >>670 の証明(の本質部分)は、松村(1980年頃)にも
Zariski-Samuel(1958年)にも載っているが、
秋月・永田の近代代数学(1957年)にもある。
ただし、この本の証明はやや分かりにくい
(本質的には我々のと同じだが)。
この本の備考に、この証明は浅野の代数学１(岩波)からとったとある。
ただし、これだけからは浅野がこの証明の最初の考案者かどうかは
分からない。
684 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 12:02:32 ]: 補題
A を整域とする。
I, J を A の分数イデアル(>>677)とする。
IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。

証明
K を A の商体とする。
K の元 x ≠ 0 と y≠ 0 で xI ⊂ A, yJ ⊂ A となるものがある。
x = a/b, a ∈ A, b ∈ A とすると、aI ⊂ bA ⊂ A だから、
x, y は A の元と仮定してよい。

xyIJ ⊂ A, xy(I + J) ⊂ A, xy(I ∩ J) ⊂ A は明らか。

分数イデアルの定義(>>677) より I ≠ 0, J ≠ 0 である。
A は整域だから、IJ ≠ 0 である。
I + J ≠ 0 は明らか。
xyIJ ⊂ xI ∩ yJ ⊂ I ∩ J だから、I ∩ J ≠ 0 である。
証明終
685 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 12:48:22 ]: >>681

しつこいけど、この補題は単位半群、即ちモノイドにおける
命題として定式化出来るね。
686 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:02:58 ]: 定義
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
M, N を B の A-部分加群とする。
B の部分集合 {x ∈ B; xN ⊂ M} はA-部分加群である。
これを、(M : N) と書く。
687 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:03:38 ]: 補題
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
M, N_1, N_2 を B の A-部分加群とする。
(M : N_1 + N_2) = (M:N_1) ∩ (M:N_2) である。

証明
明らか。
688 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:04:55 ]: 補題
A を整域とし、K をその商体とする。
M を K の A-部分加群とする。
x ≠ 0 を K の元とすると、(M : xA) = M(1/x) である。

証明
明らか。
689 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:07:49 ]: 補題
A を整域とする。
M, N を A の分数イデアル(>>677)とする。
N が A-加群として有限生成なら、(M : N) も分数イデアルである。

証明
>>684, >>687, >>688 よりでる。

証明終
690 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:52:12 ]: 命題
A を環、B を平坦な A-代数(>>221)とする。
L を A-加群、M, N を L の A-部分加群とする。
(M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。

ここで、(M ∩ N)(x)B, M(x)B, N(x)B は、B の平坦性により、
それぞれ L(x)B の部分加群と見なしている。

証明
完全列 0 → M ∩ N → L → L/M + L/N (直和)
より、完全列
0 → (M ∩ N)(x)B → L(x)B → (L/M)(x)B + (L/N)(x)B (直和)
が得られる。

B の平坦性により、
(L/M)(x)B = (L(x)B)/(M(x)B),
(L/N)(x)B = (L(x)B)/(N(x)B) だから、
(M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。
証明終
691 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 14:04:44 ]: 補題
A を整域とし、K をその商体とする。
M, N を K の A-部分加群とする。
S を A の積閉集合とする。
N が A-加群として有限生成なら、
(M : N)_S = (M_S : N_S) である。

証明
N が１個の元で生成されるときは、>>688 より明らか。
一般のときは、>>687 と >>690 より出る。
証明終
692 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 14:34:32 ]: 補題
A を整域とし、K をその商体とする。
M, N を K の有限生成 A-部分加群とする。
A のすべての極大イデアル m に対して
MA_m = NA_m なら M = N である。

証明
A のすべての極大イデアル m に対して NA_m ⊂ MA_m なら
N ⊂ M であることを示せばよい。

I = {x ∈ A; xN ⊂ M} とおく。I は A のイデアルである。
N の生成元を x_1, ..., x_n とする。
NA_m ⊂ MA_m より、(s_i)(x_i) ⊂ M となる s_i ∈ A - m がある。
s = (s_1)...(s_n) とすれば、sN ⊂ M となる。
よって s ∈ I となる。s ∈ A - m だから、I は m に含まれない。
m は A の任意の極大イデアルだから I = A である。
よって、特に 1 ∈ I だから、N ⊂ M である。
証明終
693 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 16:00:23 ]: 次の命題は >>235 などを使っても証明出来るが、別の証明を述べる。

命題
A をネータ整域とし、K をその商体とする。
M を A の分数イデアル(>>677)とする。
A のすべての極大イデアル m に対して
MA_m が K の A_m -部分加群として可逆(>>430)なら、
M は A-部分加群として可逆(>>430)である。

証明
m を A の任意の極大イデアルとする。
MA_m = M_m は可逆だから >>503 より (M_m)(A_m ; M_m) = A_m
である。
一方、A はネーターだから、>>678 より M は有限生成である。
よって、>>691 より M(A : M)A_m = (M_m)(A_m ; M_m) である。
よって、M(A : M)A_m = A_m である。

>>689 より (A : M) は分数イデアルである。
A はネーターだから、>>678 より (A : M) は有限生成である。
よって、M(A : M) も有限生成である。
よって、>>692 より M(A : M) = A となる。
証明終
694 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 16:11:49 ]: >>611 の命題の別証明

命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。

証明
p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より
A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の可逆イデアルである。
>>693 より I は可逆である。
証明終
695 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/16(月) 16:21:25 ]: いつも何してるんですか。
思い切って聞いてみました。
696 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 17:36:36 ]: ゆんゆんちゃんが黙殺されますた。ご愁傷様でつ。
697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/16(月) 17:41:44 ]: ゆんゆんて誰？　kingみたいな人？
698 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 17:44:40 ]: kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！
699 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/16(月) 17:48:12 ]: talk:>>698 なんだと？
700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/16(月) 18:03:59 ]: >>698
ははー、失礼いたしますた。
kingより偉いことはわかったでつ。もう少し、く・わ・し・く！
701 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 18:06:08 ]: >>699
×：kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！
〇：king殿はずっと偉いお方じゃ！無礼者め！
702 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 18:07:22 ]: >>700
ふむ。良きに計らえ。
703 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/16(月) 18:52:04 ]: >>698
kingとスレ主比べてるんでしょ？

9208 ◆lJJjsLsZzw さん、お邪魔しました。
704 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/16(月) 19:49:22 ]: talk:>>701 I'm the King of kings.
705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/16(月) 19:53:12 ]: >>704
知らない間にボキャが増えたね。
706 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/16(月) 19:59:27 ]: talk:>>705 何だよ？
707 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 09:30:11 ]: >>677の分数イデアルの定義は A が整域とは限らない場合には
以下のようになる。

定義
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
B の A-部分加群 M が次の条件を満たすとき M を A の分数イデアル
と呼ぶ。
1) M は非退化(>>431)である。
2) A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
708 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 09:54:42 ]: 命題
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
M を B の A-部分加群とする。
M が A の分数イデアル(>>707)であるためには次の条件が
必要十分である。

A の非零因子 s で sA ⊂ M ⊂ A(1/s) となるものがある。

証明
M が A の分数イデアルであるとする。
M は非退化だから >>434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの
がある。一方、分数イデアルの定義より A の非零因子 s で
sM ⊂ A となるものがある。
st ∈ M で stM ⊂ sM ⊂ A だから M ⊂ A(1/st) である。
よって、stA ⊂ M ⊂ A(1/st) である。

条件が十分なことは明らか。
証明終
709 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 10:41:02 ]: >>676の別証

命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて
一意的に分解される。

証明
A の極大イデアル p に対して IA_p ≠ A_p となるためには
I ⊂ p が必要十分である。これは明らかだろう。
A の非零素イデアルは極大だから、Supp(A/I) は
極大イデアルのみからなる。よって前スレの166より、
Ass(A/I) = Supp(A/I) となるから、Supp(A/I) は有限個である。
Supp(A/I) = {p_1, ..., p_r} とする。

>>585 より各 A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。

J = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) とおく。
容易にわかるように、IA_(p_i) = JA_(p_i) である。
極大イデアル p が集合 {p_1, ..., p_r} に含まれないときは、
IA_p = A_p = JA_p である。
よって、>>692 より I = J である。
証明終
710 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/17(火) 11:38:04 ]: A をDedekind整域(>>601)とする。
p を A の極大イデアルとする。
>>585より A_p は離散付値環である。
よって pA_p は単項イデアルである。
この生成元を t とする。t ∈ A_p だから
t = a/s, a ∈ p, s ∈ A - p と書ける。
s は A_p の可逆元だから、(a/s)A_p = aA_p である。
よって、t ∈ p と仮定してよい。

x ≠ 0 を K の元とする。xA_p = (t^n)A_p となる整数 n
が一意に定まる。n = ν_p(x) と書く。略してν(x)とも書く。
明らかに ν(x) は t の選び方によらない。
711 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 12:28:33 ]: >>710 の ν_p(x) は x = 0 のときに ν_p(x) = ∞ と定義する。
こう定義したとき、ν_p を p で定まる離散付置と呼ぶ。
712 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 12:31:07 ]: >>711
>こう定義したとき、ν_p を p で定まる離散付置と呼ぶ。

離散付値
713 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 12:34:06 ]: 付値論については後でやる予定。
ここでは単に用語の定義だけ。
714 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 12:50:42 ]: A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１の素イデアルとする。
>>585より A_p は離散付値環である。
よって p で定まる離散付置ν_pが >>710 とまったく同様に定義出来る。
715 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 12:59:21 ]: 補題
A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１の素イデアルとする。
ν_p を p で定まる離散付置(>>714)とすると、任意の整数 n ≧ 0
に対して p^(n) = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。
ここで、p^(n) = A ∩ (p^n)A_p
つまり p の記号的 n-乗(前スレの348)。
証明
(p^n)A_p = {x ∈ K; ν_p(x) ≧ n} は ν_p の定義より明らか。
よって p^(n) = A ∩ (p^n)A_p に注意すればよい。
証明終
716 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 13:03:43 ]: 補題
A をDedekind整域(>>601)とし、p を A の極大イデアルとする。
ν_p を p で定まる離散付置(>>711)とすると、任意の整数 n ≧ 0
に対して p^n = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。

証明
>>715 と p^n = A ∩ (p^n)A_p より明らか。
証明終
717 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 16:03:41 ]: >>716
>p^n = A ∩ (p^n)A_p より明らか。

これは >>615 からわかる。
718 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 17:27:38 ]: 命題
A をネーター整閉整域ととする。
I を A のイデアルで、Ass(A/I) = {p_1, ..., p_r} で
各 i で ht(p_i) =1 とする。IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。
このとき、I = {x ∈ A; ν_p_i(x) ≧ n_i, i = 1, ..., r} となる。

証明
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
ht(p_i) = 1 だから、p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。
よって >>715 より本命題の主張が得られる。
証明終
719 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 17:30:40 ]: ×離散付置
○離散付値
720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/17(火) 19:34:16 ]: このすれに現れたゆんゆんなるもの、実は男らしい。ウゲェー。
721 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 06:28:36 ]: ×離散付値
○離散賦値
722 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/18(水) 07:59:33 ]: おはよーございます、9208 ◆lJJjsLsZzw さん。
ちょっと失礼・・・

>>720聞き捨てならねーな。
723 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 09:07:16 ]: >>722
ネカマだろ？
724 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:14:14 ]: Dedekind整域のもう１つの特徴付けを述べるのを忘れていた。
以下、それを述べる。

補題
A をネーター局所整域とし、m をその極大イデアルとする。
dim(m/m^2) = 1 なら A は離散付値環である。
ここで、dim(m/m^2) は m/m^2 の体 A/m 上のベクトル空間として
の次元である。

証明
>>569より m は単項イデアルである。
よって >>568より A は離散付値環である。
証明終
725 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:28:19 ]: 補題
A を体でないネーター整域とする。
A の任意の極大イデアル m に対して A_m が離散付値環なら
A は Dedekind整域である。

証明
m を A の極大イデアルとする。
A_m は離散付値環だから、ht(m) = 1 である。
これから dim(A) = 1 である。

>>612より、
A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。
>>607 より各 A_m は整閉だから、A も整閉である。
以上から A は１次元のネーター整閉整域すなわち Dedekind整域である。
証明終
726 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:30:47 ]: 命題(園による)
A を体でないネーター整域とする。
A の任意の極大イデアル m に対して m と m^2 の間に真のイデアル
がないとする。このとき、A はDedekind整域である。

証明
m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって
A が体でないことに矛盾する。よって m ≠ m^2 である。
a ∈ m - m^2 をとる。m と m^2 の間に真のイデアルがないから
m = m^2 + aA である。よって dim(m/m^2) = 1 である。
よって >>724 より A_m は離散付値環である。
よって >>725 より A はDedekind整域である。
証明終
727 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:43:33 ]: >>726
>m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって

m = m^2 とすると mA_m = m^2A_m となって、
中山の補題(前スレの242)より mA_m = 0 よって m = 0 となって
728 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:57:17 ]: レス番号が800になる前に「代数的整数論３」のスレを誰か作って
くれないかな。レス番号が800になった時点でそっちに移りたいから。
そうするとこのスレは少しは生き延びるから後の参照に便利だろう。
729 名前：king 氏 mailto:sage [2006/01/18(水) 11:25:37 ]: >>728
は？誰の厄にもたたんよ。
730 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 11:34:45 ]: 代数幾何の初歩を知っている人向けの解説を行う。

k を代数的閉体、X を k上の既約な代数多様体とする。
つまり、X はk上有限型の既約かつ被約な分離的スキームである。
さらに X は正規、つまり X の各閉点 p における局所環 O_p が整閉
であるとする。
簡単のため X がアフィンの場合を考える。

A = Γ(X) を X の座標環とする。
仮定より A の極大イデアル m に対して A_m は整閉である。
>>612より、
A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。
よって A は整閉である。
よって >>584 より S を A の(0を含まない)積閉部分集合とすると、
A_S も整閉である。

W を X の余次元１の既約閉部分集合とする。
W の生成点を p とすれば A_p は dim(A_p) = 1 である。
A_p は上で述べたことより整閉であるから>>555より離散付値環である。
よって>>714により離散付値ν_pが定義される。

K を X の有理関数体とする。つまり K は A の商体である。
f を K の 0 でない元とする。ν_p(f) は、
f の W における零点または極の位数を表すと考えられる。
ν_p(f) > 0 のときは零点の位数をあらわし、
ν_p(f) < 0 のときは、その絶対値が極の位数を表す。
731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 11:38:03 ]: >>728
(非常に大雑把に言えば)一つスレを立てれば一つスレが落ちる。
スレッドは資源であり、貴方は「他人が見ても役立つだろう」という考えの下
資源を一つ消費してノート代わりにしている立場なのだという意識を忘れずに。
現行スレを一定期間二つ併存させるなんて無駄遣いしないで。
makimo.to/2ch/science4_math/1126/1126510231.html
で過去ログは見れるんだし。
トップはmakimo.to/2ch/
732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 11:43:35 ]: >>731 アホの相手するなよ。
好きなだけ写経させてやってくれ。
733 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 11:47:12 ]: 過去ログがすぐ見れるなら>>728は撤回するけど、どうなの？
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 11:50:07 ]: >>733
確かスレが1000まで行ってから二日か三日くらいで
makimo.to/2ch/で見られるようになるはず。
735 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 11:56:20 ]: >>734

Thanks。なら撤回する。
736 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 12:49:13 ]: 補題
A をネーター整閉整域とし、K をその商体とする。
ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。

A = {x ∈ K; すべての p ∈ P でν_p(x) ≧ 0}
となる。

証明
>>605より明らか。
737 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 13:14:27 ]: 定義
A をネーター整閉整域とし、I を A のイデアルとする。
Ass(A/I) の各元の高さが１のとき、I を因子的イデアルと呼ぶ。
738 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 13:41:41 ]: 命題
A をネーター整閉整域とする。
ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。
(n_p) を各 p ∈ P を添字とする有理整数の列で、
各 p ∈ P にたいして n_p ≧ 0 であり、
有限個の p を除いて n_p = 0 とする。

I = {x ∈ K; 各 p ∈ P において ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、
I は因子的イデアル(>>737)である。

逆に任意の因子的イデアルは、このように表される。

証明
n_p ≠ 0 のとき q_p = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、
q_p = A ∩ p^(n_p)A_p である。つまり、q_p は p の記号的n_p乗
p^(n_p) である(前スレの348)。
前スレの351より、q_p は準素イデアルであり Ass(A/q_p) = {p}
である。
よって、n_p ≠ 0 となる p の全体を p_1, ..., p_r とすれば、
I = q_p_1∩...∩q_p_r となる(>>736を考慮する) 。
これから、I が因子的なことがわかる。

逆に任意の因子的イデアルが、命題の主張のように表されることは、
>>718 と >>736 より明らか。
証明終
739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 13:46:53 ]: >>731
うん、うん。もっと言ってやって。
740 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 14:00:12 ]: 荒しには何も言わないで何言ってやがる。
このスレの有用性は俺が宣伝するまでもないだろ。
各命題は可換代数における基礎的かつ重要なものばかり。
それに丁寧に証明を付けている。
741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 14:45:06 ]: >>740

荒らし共は、本論が停滞したとき幕間繋ぎに湧き出て来るんだから、相手にするな。
その他は通り掛かりの気紛れだから、適当にあしらい気にするな。
742 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 14:59:55 ]: 命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。
n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする(同じ値があっても良い)。
A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。

証明
各 i において t_i ∈ p_i - (p_i)^2 をとる。
ν_p_i(t_i) = 1 である。

中国式剰余定理(前スレの341)より、
x = (t_i)^(n_i) mod (p_i)^(n_i + 1) が各 i について成立つような
x ∈ A がある。

各 i において、x = 0 mod (p_i)^(n_i) である。

x = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) と仮定すると、
(t_i)^(n_i) = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) となる。
よって、ν_p_i((t_i)^(n_i)) = n_i ≧ n_i + 1 となって矛盾。
よって、x ≠ 0 mod (p_i)^(n_i + 1) である。

以上から、ν_p_i(x) = n_i となる。
証明終
743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 15:03:37 ]: >>740 荒らされたくなければ sage ろ。
話はそれからだ。
744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 15:03:46 ]: 208の存在自体があらし
745 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 15:23:42 ]: 命題
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。
n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする
(同じ値があっても良い)。
K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。

証明
>>742より A の元 x で n_i が非負のとき ν_p_i(x) = n_i となり、
n_i が負のとき ν_p_i(x) = 0 となるものが存在する。

同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、
n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。

x/y が求めるものである。
証明終
746 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 15:31:12 ]: >>745は>>730の例において、X の次元が１のとき即ち X が
代数曲線のとき、X の有限個の閉点とそこにおける
零点または極の位数を与えて関数を求める問題の答を与えている。
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 15:32:54 ]: >>746 だから sage ろよ。
748 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 15:34:29 ]: sage方教えてくれｗ
749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 16:10:41 ]: 名前欄にfusianasan
E-mail欄にtesttest
本文１行目にtesttest
750 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 16:15:35 ]: >>726
>m と m^2 の間に真のイデアルがないとする。

m と m^2 の間に真の中間イデアルがないとする。
751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 16:28:42 ]: testtest

>>749
あ、本当だ。簡単なんだね。ありがとう！
752 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 16:29:51 ]: ひどい自演を見た
753 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 16:33:22 ]: >>749に書いてある通りにするとどうなるの？
754 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 16:46:45 ]: >>683
>浅野の代数学１(岩波)

正確には正田・浅野の代数学Ｉ(1952年)(岩波)。

この本は、van der Waerden と Weil のFoundationの第一章
の写しに近い。一般イデアル論にはわずかに独自性が見られるが。
そのくせ、van der Waerden と Weil の名はどこにも出てない。
こういうの有り？
これを知った上で前書きを読むと面白い。
755 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 17:22:54 ]: >>754
前書きにはどんなことが書いてあるのですか？
その本、手元にないもので。。。
756 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 17:29:16 ]: 著者独自の工夫を凝らしたが、それがどこまで成功したかは
読者の判断にまかせるというような。

記憶を頼りに書いてるので鵜呑みにされても困るが。
本当のところは本物を読んでもらうしかない。
757 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 18:18:46 ]: >>756
なるほど、なるほど。背景が透けて見えるのに、ということですね。
758 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/19(木) 09:07:34 ]: >>754
>そのくせ、van der Waerden と Weil の名はどこにも出てない。

Weilの名前は出ていた。
759 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 10:07:53 ]: >>745
>同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、
>n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。

同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、
n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となるものが存在する。
760 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 10:12:10 ]: >>745の命題は次のように改良出来る。

命題
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。
n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする。
K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となり、
p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0
となるものが存在する。

証明
>>742より A の元 y で n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となる
ものが存在する。
n_i が非負のとき ν_p_i(y) = m_i とおく。

>>742より A の元 z で n_i が非負のときν_p_i(z) = n_i + m_i
となり、n_i が負のとき ν_p_i(z) = 0 となるものが存在する。
z = z/y が求めるものである。
証明終
761 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 11:24:34 ]: 補題
A をDedekind整域(>>601)とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、
x_1, ..., x_r を A の元の列、
n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする。

A の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となるものが
存在する。ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置(>>711)。

証明
中国式剰余定理(前スレの341)より明らか。
762 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 12:02:23 ]: 命題(Dedekind整域における近似定理)
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、
x_1, ..., x_r を K の元の列、
n_1, ..., n_r を有理整数の列とする。

K の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となり、
p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0
となるものが存在する。
ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置(>>711)。

証明
各 n_i は正と仮定してよい。
各 x_i = a_i/s と書ける。ここで、a_i ∈ A、s ∈ A。

ν_p(s) ≠ 0 となる極大イデアル p で、p_1, ..., p_r と
異なるもの全体を q_1, ..., q_s とする。

>>761より、
A の元 b で ν_p_i(b - a_i) ≧ n_i + ν_p_i(s), i = 1, ..., r
ν_q_j(b) ≧ ν_q_j(s), j = 1, ..., s と
なるものが存在する。

各 i で、ν_p_i(b/s - a_i/s) = ν_p_i(b - a_i) - ν_p_i(s) ≧ n_i
各 j で、ν_q_j(b/s) = ν_q_j(b) - ν_q_j(s) ≧ 0

p が、p_1, ..., p_r, q_1, ..., q_s と異なるとき、
ν_p(s) = 0 だから、ν_p(b/s) = ν_p(b) ≧ 0

よって、x = b/s が求めるものである。
証明終
763 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 13:37:36 ]: >>710, >>711 の前に次の定義を述べたほうが良かった。

定義
A を離散付値環(前スレの645)とし、K をその商体とする。
m を A の極大イデアルとする。
x ≠ 0 を K の元とする。xA = m^n となる整数 n
が一意に定まる。n = ν(x) と書く。
ν(0) = ∞ と定義する。
ここで ∞ は、任意の有理整数より大きい単なる記号と定義するだけで、
有理整数との演算は定義しない。

ν は、次の性質を持つ(証明は自明)。

1) ν(K^*) = Z、ここで K^* は K の乗法群であり、Z は有理整数環。

2) ν は K^* から Z への群としての射を定める。
つまり、 x ≠ 0, y ≠ 0 を K の元とすると、ν(xy) = ν(x) + ν(y)

3) K の元 x, y に対して ν(x + y) ≧ min(ν(x), ν(y))

ν を A で定まる離散付置とよぶ。
764 名前：king 氏 mailto:sage [2006/01/19(木) 13:57:12 ]: 飽田。
765 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 13:58:27 ]: 次の離散付置の性質は、定義から簡単に出るが、>>763 の 2), 3)
だけからも出る。

命題
A を離散付値環とし、K をその商体とする。
ν を A で定まる離散付置とする(>>763) 。
K の元 x, y に対して ν(x) > ν(y) なら ν(x + y) = ν(y)
である。

証明
x ≠ 0 と仮定してよい。

>>763 の 2) から (-1)^2 = 1 より 2ν(-1) = 0
よって ν(-1) = 0
よって ν(-x) = ν(x) である。

>>763 の 3) から ν(x + y) ≧ ν(y) である。

ν(x + y) ≧ ν(x) なら、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x) となり矛盾。
よって、ν(x + y) ≦ ν(x) である。
よって、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x + y) となる。
証明終
766 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 14:14:45 ]: >>762から>>760が簡単にでる。

>>760の命題の別証(本質は同じだが)

記号の意味は>>760と同じとする。
各 i において K の元 t_i で ν_p_i(t_i) = 1 となるものをとる。

>>762から K の元 x で
ν_p_i(x - (t_i)^(n_i)) ＞ n_i, i = 1, ..., r となり、
p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して ν_p(x) ≧ 0
となるものが存在する。
>>765より、ν_p_i(x) = n_i だから、この x が求めるものである。
証明終
767 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 14:33:21 ]: 命題
A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)でDedekind整域(>>601)
とする。A は単項イデアル整域である。

証明
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルの全体とする。
I を A の非零イデアルとする。
各 i において IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。
A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。
各 i において IA_p_i = xA_p_i だから、>>692 より I = xA である
(>>692 を使わなくても I と xA のそれぞれの素イデアルの積による
分解を考えれば明らか)。
証明終
768 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 15:27:51 ]: 命題
A をDedekind整域(>>601)とし、I をその非零イデアルとする。
x ≠ 0 を I の任意の元とする。
I = (x, y) となる y ≠ 0 が存在する。

証明
I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。
ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。
xA ⊂ I だから、xA = IJ となるイデアル J が存在する
(J = (xA)I^(-1) とすればよい).

J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外
のものを q_1, ..., q_s とする。

>>742より、
各 i において ν_p_i(y) = n_i
各 j において ν_q_j(y) = 0 となるものが存在する。

yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する
y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。
よって、J + L = A である。
よって、(x, y) = IJ + IL = I(J + L) = I である。
証明終
769 名前：king 氏 mailto:sage [2006/01/19(木) 22:21:44 ]: Dedeking 環
770 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/19(木) 22:26:07 ]: talk:>>769 私を呼んだか？
771 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/20(金) 10:51:31 ]: 代数体(つまり有理数体の有限次拡大体)の整数論の基礎を学ぶのが
このシリ－ズの目的である。
代数体というのは非常に深く神秘的とも言える対象なので、
これをいきなり直接調べるのは得策ではない。
DedekindやHilbert、高木のような古典的、直接的な方法も味があるが、
我々には彼等の時代にはなかった、可換代数やホモロジー代数、
位相群論などの強力な道具があるので、これ等を利用しない手はない。

飯高の代数幾何学(岩波)の序文の比喩をまねて、宇宙人が人間を
調べる場合を考えよう。人間固有の性質を調べるのが最終目的
としても、いきなりこれを調べるのは得策ではない。
まず、人間は動物であり、動物は生物であるから、
生物一般の性質を調べるのが先だろう。
同様に代数体の主整環は、Dedekind整域であるから、
我々はまずDedekind整域を調べることにした。
Dedekind整域はネーター整閉整域であるから、
ネーター整閉整域の一般論も有効である。

さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、
つまり類人猿の研究も有効である。
代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。
代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、
どっちがより深いとも言えないが。
772 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/20(金) 11:05:09 ]: クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！
さぁかかってこいや！
773 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/20(金) 11:47:45 ]: >>730は代数多様体について離散付値の役割を述べたが、
これは既約かつ被約で正規な分離的ネータースキームでそのまま
成立つ。特に A をネーター整閉整域として Spec(A) で成立つ。

このような見方は代数体の整数論でも有効である。
この見方からすると、Dedekind整域 A の極大イデアル p は、
A が定める幾何的対象、つまり Spec(A) の点であり、
A の商体 K の元 f は Spec(A) の有理関数と見なされる。
p が定める離散付値をν_pとすると、ν_p(f) は、f の p における
零点または極の位数を表すと考えられる。
774 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/20(金) 11:50:58 ]: >>772
(@_@)
↑king召還の魔法
775 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/20(金) 12:19:46 ]: talk:>>772 お前に何が分かるというのか？
talk:>>774 私を呼んだか？
776 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/21(土) 05:00:19 ]: クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！
さぁかかってこいや！クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！
さぁかかってこいや！
777 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/21(土) 05:54:34 ]: てゆーか、高校で芭蕉やウェルギリウスを教えてる現状は問題ありかと。
そんなのを廃止したら時間の余裕ができるから、群・環・体にはじまって、
有限体とかｐ進体とか、２次体、円分体くらいまで、高校で出来るね。
778 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/21(土) 09:19:46 ]: talk:>>776 何故[>>625]には注意しないのか？
779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/21(土) 09:53:25 ]: >>777
芭蕉はわかるが、ウェルギリウスは何をやってるの？

ラテン文学は結構好きだよ。
780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/21(土) 21:23:51 ]: ブルバキスレ
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1042548616/
に書いたが、レスがないのでこちらへ。

ブルバキ可換代数第７章に
通常 Fitting ideal と呼ばれている物を絶対にこの言葉を持ち出さずに
determinantal ideal としか書いてないのは何故？
781 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/21(土) 21:41:13 ]: >>780
スレ違い。
糞スレ貼るな、蛆虫が！
誰のスレだと思って嫌がる？
あん？言ってみろ！
782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/21(土) 21:50:43 ]: >>781
無知な奴は消えろ
783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/21(土) 22:09:19 ]: >>782
>>776
> クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！
> さぁかかってこいや！クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！
> さぁかかってこいや！
784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/22(日) 01:00:30 ]: 無知蒙昧で、役立たずな 208 と 9208 は早急に出て行け
785 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 11:02:41 ]: 次の命題も >>768と同じ方法で証明される。

命題
A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする
(I = J であってもよい)。
J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で
IL が単項イデアルとなるものが存在する。

証明
I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。
ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。
J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外
のものを q_1, ..., q_s とする。

>>742より、
各 i において ν_p_i(y) = n_i
各 j において ν_q_j(y) = 0 となる y ∈ A が存在する。
yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する
y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。
よって、J + L = A である。
証明終
786 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 11:40:02 ]: 補題
A を整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を
含まないものとする。S による A の局所化 A_S が体なら A_S は
A の商体 K と一致する。

証明
x を K の任意の元とする。x = a/b とかける。
ここに、a と b ≠ 0 は A の元である。
仮定より、1/b ∈ A_S である。よって x = a/b ∈ A_S である。
よって、K ⊂ A_S である。A_S ⊂ K は明らかだから A_S = K である。
証明終
787 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 11:42:46 ]: 命題
A をDedekind整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を
含まないものとする。S による A の局所化 A_S が A の商体 K と
一致しないとする。
このとき、A_S はDedekind整域である。

証明
>>584 より A_S は整閉整域である。
A はネーターだから A_S もネーターである。

前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合}
と同一視される。よって、A_S の非零素イデアルは極大である。
つまり、dim(A_S) ≦ 1 となる。

>>786 より A_S は体でないから、dim(A_S) ≠ 0 よって
dim(A_S) = 1 である。
証明終
788 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 12:25:50 ]: >>785 から >>768 が容易に出る。
789 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 12:26:41 ]: 命題
A をネーター整閉整域とし、p_1, ..., p_r を A の相異なる
高さ１の素イデアルとする。S = (A - p_1)∩...∩(A - p_r) とおく。
このとき、A_S は単項イデアル整域である。

証明
前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合}
と同一視される。A - S = p_1∪...∪p_r だから、
T(S) = {p ∈Spec(A); p ⊂ p_1∪...∪p_r } である。
前スレの579より、p ∈Spec(A), p ⊂ p_1∪...∪p_r なら、
p ⊂ p_i となる i がある。p_i の高さは１だから、p = 0 または
p = p_i である。よって、T(S) = {0, p_1, ..., p_r} である。
よって A_S は 0 以外の素イデアルを持つから体でない。
よって dim(A_S) = 1 である。

>>584 より整閉整域である。
A はネーターだから A_S もネーターである。
よって、A_S はDedekind整域である。
>>767 より A は単項イデアル整域である。
証明終
790 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/23(月) 15:17:20 ]: あ～あ
791 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 16:13:52 ]: 代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、
特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。
興味ない人は無視しても問題ないだろう。

定義
A を環とする。A の任意の素イデアル p に対して A_p が整閉整域
であるとき A を正規環と呼ぶ。
792 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 16:16:20 ]: 命題
A をネーター環とする。A の任意の極大イデアル m に対して A_m が
整域なら A は有限個の整域の直積と同型である。

証明
前スレの224より、A の極小素イデアルは有限個である。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。

x ∈ p_1∩...∩p_r をとる。
前スレの212, 213, 222 より、A 任意の極大イデアル m に対して、
p_i ⊂ m となるi がある
(前スレの455よりdim(A_m) が有限からも分かる)。
p_iA_m は整域 A_m の極小素イデアルであるから 0 である。
よって xA_m = 0 である。よって s ∈ A - m で sx = 0 となる
ものがある。I = {a ∈ A; ax = 0} とおく。
I ≠ A とすると I ⊂ m となる極大イデアル m があるから矛盾と
なる。よって I = A であり、x = 0 となる。
よって、p_1∩...∩p_r = 0。

i ≠ j のとき p_i + p_j ⊂ m となる極大イデアル m があるとする。
p_i ≠ p_j だから p_iA_m ≠ p_jA_m であるが、
上で述べたように p_iA_m = p_jA_m = 0 であるがこれは有り得ない。
よって p_i + p_j = A である。

よって中国式剰余定理(前スレの341)より
A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。
証明終
793 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 09:59:37 ]: >>768の命題は、次のようにやや拡張して述べたほうが良かった。

命題
A をDedekind整域(>>601)とし、I, J をその非零イデアルとし、
J ⊂ I とする。
I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。

証明は >>768 と同様なので省略する。
794 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 10:09:26 ]: >>785は、>>793 からも出る。

命題
A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする
(I = J であってもよい)。
J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で
IL が単項イデアルとなるものが存在する。

証明(Van der Waredenの教科書より)
>>793 から I = IJ + yA となる y ≠ 0 が存在する。
yA ⊂ I だから、yA = IL となる A の非零イデアル L がある。
I = IJ + yA = IJ + IL = I(J + L)
よって J + L = A である。
証明終
795 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 10:19:32 ]: 逆に >>793 は >>785 から出る。

命題
A をDedekind整域(>>601)とし、I, J をその非零イデアルとし、
J ⊂ I とする。
I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。

証明
J = IL となる非零イデアル L がある。
>>>785 より IR = yA で、L + R = A となる非零イデアル R がある。
よって I = I(L + R) = IL + IR = J + yA である。
証明終
796 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 10:20:51 ]: >>794 と >>795 より、>>785 と >>793 は同値である。
797 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 10:25:57 ]: >>793 は明らかに次の命題と同値である。

命題
A をDedekind整域(>>601)とし、I をその非零イデアルとする。
A/I の任意のイデアルは単項である。
798 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 11:06:10 ]: 命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
A は有限個のネーター整閉整域の直積と同型である。

証明
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
>>792の証明より、
A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。
任意に p_i をとり、p_i ⊂ m となる A の極大イデアル m をとる。
仮定より A_m は整域だから p_iA_m = 0 である。
よって、(A/p_i)_m = A_m/p_iA_m = A_m である。
A_m は整閉だから >>612 より A/p_i も整閉である。
A/p_i がネーターなのは明らか。
証明終
799 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 11:21:51 ]: 命題
A を１次元ネーター正規環(>>791)とする。
A は有限個(０個も含む)の体と少なくとも一個の有限個のDedekind整域
の直積と同型である。

証明
>>798 より明らかだろう。
800 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 11:52:10 ]: >>771
>さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、
>つまり類人猿の研究も有効である。
>代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。
>代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、
>どっちがより深いとも言えないが。

有限体上の１変数代数関数体においてはリーマン予想の類似は
５０年以上前にWeilにより解決されている。
よく知られているように代数体の場合は未解決。
この点で、代数体の方が深いと言える。
801 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/24(火) 11:56:53 ]: よく知られているように、
一般の可換環の場合は解決への道はいたって遠い。
この点で、可換環の方が深いと言えるww
802 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/24(火) 13:55:49 ]: こんにちは、9208 ◆lJJjsLsZzw くん。
803 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/24(火) 21:12:46 ]: >>802 私を呼んだか？
804 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/24(火) 21:35:21 ]: talk:>>803 お前に何が分かるというのか？
805 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 09:23:18 ]: 補題
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
C の元 (a, b) が非零因子であるためには、a と b がそれぞれ
A と B の非零因子であることが必要十分である。

証明
明らか。
806 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 09:28:35 ]: 命題
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
Q(C) = Q(A) x Q(B) である。ここで Q(C), Q(A), Q(B) はそれぞれ
C, A, B の全商環を表す。

証明
>>805 より明らか。
807 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 09:44:24 ]: 命題
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。
>>806 より Q(C) = Q(A) x Q(B) である。
Q(C) の元 z = (x, y), x ∈ Q(A), y ∈ Q(B) が C 上整(前スレの506)
であるためには x と y がそれぞれ A, B 上整であることが
必要十分である。

証明
簡単なので読者にまかす。
808 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 09:47:35 ]: 命題
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。
C が Q(C) において整閉であるためには、A, B がそれぞれ Q(A), Q(B)
において整閉であることが必要十分である。

証明
>>807 より明らか。
809 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 09:53:05 ]: 命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
A はその全商環において整閉である。

証明
>>798 と >>808 よりでる。
810 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 10:33:02 ]: 次の命題は >>555 をやや一般にしたものであり、その証明も
同様である。

命題
A を１次元のネーター局所環とし、
m をその極大イデアルとする。
m の元がすべて A の零因子ではないとする。
A がその全商環 B において整閉なら A は離散付値環である。

証明
a を m の非零因子とする。
p を A の素イデアルで a ∈ p とする。
p が A が極小素イデアルとすると p ∈ Ass(A) である(前スレの146)
から a は A の零因子となって(前スレの180)矛盾。
仮定より dim(A) = 1 だから p = m である。
よって Supp(A/aA) = {m} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、
Ass(A/aA) = {m} となる。
よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA),
mb ⊂ aA となるものがある。
よって m(b/a) ⊂ A となる。ここで b/a ∈ B である。
b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。
m(b/a) = m と仮定する。>>551 の証明と同様にして b/a が
A 上整となって矛盾。よって >>553 の証明と同様に
m(A:m) = A である。
>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。
m は非零因子を含むから >>568 よりA は離散付値環である。
証明終
811 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 11:17:20 ]: 補題
A を環とする。
I, J を A の分数イデアル(>>707)とする。
IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。

証明
>>684 と同様なので読者にまかす。
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/25(水) 11:23:51 ]: >>802　無視されてやんのｗ
813 名前：9208 ◇lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 11:57:52 ]: >>812
荒らすな、クズが！
このスレに書いたことを一つでも理解できるか？オチこぼれ！
814 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 12:02:06 ]: 次の命題は >>616 をやや一般にしたもの。

命題
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。
つまり、I は A の非零因子を含むイデアルである。
このとき、I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。

証明
I ≠ A と仮定してよい。
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
I は非退化だから各 p_i は非退化な極大イデアルである。
よって、ht(p_i) = 1 だから、
p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる
(この記法に関しては前スレの543を参照)。

>>810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
よって、>>615 の証明と同様にして、q_i = (p_i)^(n_i) となる。

前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。
証明終
815 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 12:05:50 ]: >>810
>m の元がすべて A の零因子ではないとする。

m が A の少なくとも一個の非零因子を含むとする。
816 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 12:17:57 ]: >>810
>>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として
>A に同型。よって m は単項である。

m(A:m) = A だから m は可逆(>>430)である。
よって >>509 より m は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
>>>361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。
817 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:05:51 ]: >>814の証明に不備があったので、それを修正するため
いくつかの補題を用意する。

補題
A をネーター局所環で、m をその極大イデアルとする。
m が可逆(>>430)なら A は離散付値環である。

証明
今までに同じような証明を何度もしたから明らかだが念のために
証明する。

>>509 より m は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
>>>361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。m は A に同型だから
m の生成元はべき零では有り得ない。
よって >>568 より A は離散付値環である。
証明終
818 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:06:31 ]: 補題
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の非退化(>>431)な極大イデアルは可逆(>>430)である。

証明
>>810と同様である。
819 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:10:28 ]: 命題
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
m を A の非退化(>>431)な極大イデアルとする。
A_m は離散付値環である。

証明
>>818 より m は可逆である。
よって mA_m も可逆である。
よって >>817 より A_m は離散付値環である。
証明終
820 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:11:53 ]: 訂正：
>>814
>>810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、

>>819 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
821 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:21:10 ]: 命題
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の非退化(>>431)なイデアルは可逆(>>430)である。

証明
I を A の非退化なイデアルとする。
>>814 より I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。
>>818 より A の非退化な極大イデアルは可逆である。
よって I は可逆イデアルの有限個の積だから可逆である。
証明終
822 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:39:27 ]: 命題
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の分数イデアル(>>707)は可逆(>>430)である。

証明
M を A の分数イデアルとする。
定義(>>707) より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
M は非退化だから >>434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの
がある。よって st ∈ sM となり sM は非退化である。
よって >>821 より sM は可逆である。
M = (sM)(1/s)A であり、(1/s)A は可逆だから M も可逆である。
証明終
823 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:49:30 ]: 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M は A の分数イデアル(>>707)である。

証明
>>501 より M は非退化(>>431)である。
>>504 より M は有限生成である。
よって A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
よって M は分数イデアルである。
証明終
824 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:53:20 ]: 命題
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の分数イデアル(>>707)と B の A-加群としての可逆(>>430)部分加群
は同じものである。

証明
>>822 と >>823 より。
825 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 17:04:01 ]: >>791
>>代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、
>>特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。
>>興味ない人は無視しても問題ないだろう。

代数的整数論に関係ないこともないな。
有理数体上の有限次代数における有理整数環の整閉包などをは、
代数的整数論の対象と言ってもいいだろう。
826 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 17:19:58 ]: 定義
A をネーター環とする。
A の高さ１の素イデアル全体の集合で生成される自由アーベル群
を A の因子群(divisor group)とよび、Div(A) と書く。
その元を因子(divisor)と呼ぶ。
827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/25(水) 18:55:44 ]: >>813
無意味なスレは落書き帳となる運命にある。2chの法則。
828 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 20:22:31 ]: 荒らされたくなければ sage ようや
829 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 21:15:07 ]: talk:>>828 お前に何が分かるというのか？
830 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 21:39:03 ]: >>829 荒らすんじゃない。
いい加減に sage を覚えろ。そんなんだからウザキングって言われるんじゃ。
831 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 21:41:44 ]: talk:>>830 お前に何が分かるというのか？
832 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 21:54:22 ]: >>831 俺に文句を言うなら sage を覚えてからにしろや。
833 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/25(水) 22:25:25 ]: kingはJaneStyleをつかってる（kingが自分で言ってた
JaneStyleは最初sageになっている
つまりkingはわざとsageチェックをはずすというふうに設定してるわけだ
834 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 22:32:11 ]: talk:>>832 お前に何が分かるというのか？
835 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 22:45:36 ]: >834 とりあえず sage ろ。
糞コテってどうしてこう自己顕示欲が強いんだ？
9208 も sage ようや。
836 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 22:51:09 ]: talk:>>835 お前に何が分かるというのか？
837 名前：9208 ◇lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 22:52:30 ]: >>835
仕切るな、オチこぼれ！
838 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 22:52:51 ]: >>836 お前はメール蘭に sage と入れるべきだ。
839 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 22:59:54 ]: talk:>>838 お前に何が分かるというのか？
840 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 23:02:35 ]: >>839 お前は sage を覚えろ
841 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/25(水) 23:46:32 ]: 俺は誰だ！
842 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/25(水) 23:48:57 ]: 変なことばかり書いて、明日9208くんに叱られるぞ。
843 名前：1 mailto:sage [2006/01/26(木) 00:31:53 ]: キングよ。何故その様に一々答えて、スレを荒らすのか？
病気の所為か？

それとも、2ch に雇われた盛り上げ役なのか？
844 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/26(木) 07:35:15 ]: talk:>>840 お前に何が分かるというのか？
talk:>>843 私を呼んだか？
845 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/26(木) 09:05:23 ]: >>835

sage方を教えてくれ。
846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 09:06:06 ]: >>845メール欄に半角で sage と入れる。
847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 09:10:18 ]: sage test
848 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 09:30:19 ]: 以下の個所を補足説明する。

>>819
>>>818 より m は可逆である。
>よって mA_m も可逆である。

>>509より m は A 上の射影加群である。
よって >>207 より mA_m は A_m 上の射影加群である。
m は可逆だから非退化であり、>>434 より A の非零因子を含む。
A_m は A 上平坦だから、A の非零因子は A_m の非零因子であり、
mA_m も非退化である。よって >>511 より mA_m は可逆である。
849 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 10:56:54 ]: 補題
A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
a ∈ m が A の非零因子とする。
A/aA は A-加群として長さ有限である。

証明
aA ⊂ p となる A の素イデアルをとる。
ht(m) = 1 だから p ≠ m とすると p は A の極小イデアルである。
よって p ∈ Ass(A) である(前スレの146) から a は A の零因子と
なって(前スレの180)矛盾。よって p = m である。
Supp(A/aA) = {m} だから、A/aA は長さ有限である(前スレの345)。
証明終
850 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 11:14:59 ]: 命題
A をネーター環とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
p を A の高さ１の素イデアルとする。
A_p/IA_p は A_p-加群として長さ有限である。

証明
I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから A_p/IA_p = 0 は
明らかに長さ有限である。
よって I ⊂ p とする。

>>509 より I は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
>>355 より IA_p は A_p-加群として階数１の射影加群である
よって、>>340 より IA_p は A_p-加群として階数１の自由加群である。
a/s を IA_p の A_p-自由加群としての基底とする。
ここで、a ∈ I, s ∈ A - p である。
明らかに a/s は A_p の非零因子である。
IA_p = (a/s)A_p だから >>849 より A_p/IA_p は A_p-加群として
長さ有限である。
証明終
851 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 11:31:31 ]: 命題
A をネーター環とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる A の高さ１の素イデアル p は
有限個である。

証明
p を A の高さ１の素イデアルとする。
I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから leng(A_p/IA_p) = 0
である。

I ⊂ p とする。
I ⊂ q ⊂ p となる素イデアル q があるとする。
ht(p) = 1 だから q ≠ p とすると q は A の極小イデアルとなり、
>>849 の証明と同様にして I の元がすべて A の零因子となる。
これは I が可逆でありしたがって非退化であるから(>>501)
有り得ない。よって、p は Supp(A/I) の極小元である。
前スレの146より p ∈ Ass(A/I) だから、このような p は有限個である。
証明終
852 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 11:48:25 ]: A をネーター環とし、I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を

div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p

により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。
>>850 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、
>>851 により、leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから
div(I) は明確に定義される。
853 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 12:04:16 ]: >>852 の定義は EGA IV-4 による。
EGAとは記号が異なるが。
EGAでは Div(Spec(A)) は Spec(A)のCartier因子群
すなわち A の可逆分数イデアル群を表す。
854 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 12:24:41 ]: 補題
A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
s ∈ m と t ∈ m が A の非零因子とする。
このとき、次の式が成立つ。

leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA)

証明
>>849 から上の式の各項は有限である。

A ⊃ sA ⊃ stA だから sA/stA が A/tA と同型であることを
示せばよい。

A の元 a に sa を対応させて、A-加群としての射 A → sA を定義する。
これは射 A/tA → sA/stA を誘導する。
これは明らかに全射である。

これが単射なことは以下のことからわかる。
s は非零因子だから sa = stb なら a = tb である。
ここで a と b は A の元である。
証明終
855 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:30:05 ]: >>854 は s または t が m に含まれない場合もトリビアルに成立つ。

何故なら、s が m に含まれないなら s は A の可逆元であり、
sA = A となり、stA = tA となるから、
leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA)
の両辺とも、leng(A/tA) となる。
856 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:37:19 ]: 命題
A をネーター環とする。
I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
div(IJ) = div(I) + div(J) となる。

証明
div(I) の定義(>>852)と、>>850 の証明、及び >>854 と >>855 から
明らか。
857 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:50:04 ]: 補題
A をネーター環とする。
I_1, I_2, J_1. J_2 を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
I_1/J_1 = I_2/J_2 なら、
div(I_1) - div(J_1) = div(I_2) - div(J_2) となる。

ここで、一般に A のイデアル I, J に対して I/J は J^(-1) を J の
逆分数イデアルとしたとき、I(J^(-1)) を意味する。

証明
I_1/J_1 = I_2/J_2 より、(I_1)(J_2) = (I_2)(J_1) である。
よって、>>856 より上記の式が出る。
証明終
858 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:56:41 ]: 定義
A をネーター環とする。
>>548 より A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、
I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、
M = I/J と表現される。
div(M) = div(I) - div(J) と定義する。
これは、>>857 により I, J の取り方によらない。
859 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 14:35:38 ]: A をネーター環とする。
>>858 により
A の可逆分数イデアル群 I(A) から因子群 Div(A) (>>826) の準同型
div: I(A) → Div(A) が得られる。
860 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/26(木) 14:57:49 ]: 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏
杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏
杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏
杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏
杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏
杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏
杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏
杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏
861 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 16:01:20 ]: 命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
Ass(A/I) = {p ∈ Spec(A); ht(p) = 1 で I ⊂ p}
となる。

証明
p ∈ Ass(A/I) とする。
前スレの 95 より Ass(A_p/IA_p) = Ass(A/IA) ∩ Spec(A_p) である。
よって、p ∈ Ass(A_p/IA_p) となる。
A_p は整閉なネーター局所整域で、IA_p は 0 でない単項イデアル
だから(>>850の証明参照)、>>589(及びそれの >>590, >>602 による修正)
より A_p は離散付値環である。よって ht(p) = 1 である。

逆に p が高さ１の素イデアルで、I ⊂ p なら >>851 の証明より、
p ∈ Ass(A/I)
証明終
862 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 16:35:49 ]: 命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
IA_p = JA_p が I ⊂ p または J ⊂ p となる
A の高さ１の素イデアル p で成立つなら、
I = J である。

証明
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
>>861より ht(p_i) = 1 である。
よって、p_i は Supp(A/I) の極小元である(>>851 の証明からも分かる)。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる
(この記法に関しては前スレの543を参照)。
I ⊂ p とならない高さ１の素イデアル p に対しては
IA_p = A_p である。以上から I は A のすべての高さ１の素イデアル
p に対する IA_p で一意に決まる。
J についても同様だから、本命題の仮定より I = J となる。
証明終
863 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:11:40 ]: 補題
A を離散付値環とし、m をその極大イデアルとする。
任意の整数 n ≧ 0 にたいして
leng(A/m^n) = n である。ここで、leng(A/m^n) は A-加群としての
A/m^n の長さ。

証明
A-部分加群の列
A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^n
を考える。

任意の整数 i ≧ 0 にたいして
leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。

m の生成元を t とする。
A の元 x に (t^i)x を対応させることにより、
A-加群の射 A → (t^i)A = (m^i)A を得る。
これに標準射 (t^i)A → (t^i)A/(t^(i+1))A を合成して、
A-加群の射 A → (t^i)A/(t^(i+1))A を得る。
これは明らかに全射である。
この核が tA 即ち m であることも明らか。
よって、A/m = (t^i)A/(t^(i+1))A (同型) である。
証明終
864 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:14:18 ]: 命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
div(I) = div(J) なら I = J である。

証明
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
p を A の高さ１の素イデアルとする。
>>555 より A_p は離散付値環である。
よって、IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 がある。
>>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。
よって、div(I) = div(J) なら各 p(高さ１の素イデアル) で
IA_p = JA_p である。
よって >>862 より I = J である。
証明終
865 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:17:35 ]: >>864
>I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。

この行は余計だった。
866 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:24:12 ]: 命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
>>859の射 div: I(A) → Div(A) は単射である。

証明
M ∈ I(A) とし、div(M) = 0 とする。
M = A を示せばよい。

>>548 より、I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、
M = I/J と表現される。
div(M) = div(I) - div(J) だから、
div(I) = div(J) となる。
よって、>>864 より、I = J である。
よって、 M = A である。
証明終
867 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:27:30 ]: 訂正

>>863
>leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。

leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 であることを示せばよい。
868 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/26(木) 18:13:44 ]: こりないね
869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 18:35:39 ]: >>868
だまれ！このうすらが！
870 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/26(木) 18:41:16 ]: うすら？
871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 19:10:14 ]: >>868
あげるな
872 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 09:52:08 ]: 本論とはあまり関係ないが>>792と関連して次の命題を証明しておく。
この命題は永田の論文 On the closedness of singular loci(1959年)
にlemmaとして載っているが証明は A の零イデアルの準素分解
を考えれば簡単とあるだけで省略されている。
興味のある読者は、私の証明を見る前に証明を考えてみることを勧める。

命題
A をネーター環とする。
A_p が整域となる A の素イデアル p の集合は Spec(A) の開集合
である。
873 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 10:07:38 ]: >>872 の証明
Ass(A) = {q_1, ..., q_r} とする。
p を A の素イデアルで、A_p が整域であるとする。
前スレの 95 より Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) である。
よって Ass(A_p) = {q_iA_p; q_i ⊂ p} である。
一方、A_p は整域だから、Ass(A_p) = {0} である。
よって、q_i ⊂ p となる i はただ一個で、q_iA_p = 0 である。
i = 1 と仮定して一般性を失わない。
q_1A_p = 0 と q_1 が有限生成であることから s ∈ A - p
で sq_1 = 0 となるものがある。
q_j (j ＞１) は p に含まれないから、s_j ∈ q_j - p がある。
f = s(s_2)....(s_r) とおく(r = 1 のときは f = s とする)。
f ∈ A - p であり、j ＞１のとき f ∈ q_j である。

よって、Ass(A_f) = Ass(A) ∩ Spec(A_f)
= {q_iA_f; f ∈ A - q_i} = {q_1A_f}
である。

さらに、sq_1 = 0 だから fq_1 = 0 である。
よって、q_1A_f = 0 である。

以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p
は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p}
の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
証明終
874 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 10:15:42 ]: 訂正

>>873
>以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
>これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p
>は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p}
>の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。

以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
これから Spec(A_f) の任意の元 qA_f に対して (A_f)_(qA_f) = A_q
は整域である。ここに q は D(f) = {q ∈ Spec(A); f ∈ A - q}
の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
875 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 10:17:40 ]: >>873 の A_f の定義については前スレの162を参照。
876 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/27(金) 13:48:49 ]: あとは転落の一途だな
877 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 15:12:40 ]: 定義

A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。
U(B) を B の可逆元のなす乗法群(>>524) とする。
f ∈ U(B) に対して fA は可逆分数イデアルである。
div(fA) を A の単項因子と呼ぶ。
A の単項因子全体は Div(A) (>>826) の部分群をなす。
これを Pr.Div(A) と書く(ここだけの記法)。
Div(A)/Pr.Div(A) を A の因子類群と呼び Cl(A) と書く。
878 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 15:21:51 ]: A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>859 の div: I(A) → Div(A) は、
I(A)/P(A) → Cl(A) を誘導する。

ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群である(>>539)。
Cl(A) は A の因子類群(>>877) である。
879 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 15:26:51 ]: A がネーター環のときは、I(A)/P(A) = Pic(A) とみなされる(>>541)
から、>>878 より div: I(A) → Div(A) は、Pic(A) → Cl(A) を
誘導することになる。
880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/27(金) 15:56:07 ]: >>876
あげるな
881 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 16:00:49 ]: 定義

A をネーター環とする。
D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。
D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体
を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。

q ∈ Spec(A) とする。D_q = Σ(n_p)p と書く。
ここで、p は q に含まれる高さ１の素イデアル全体を動く。
D_q は A_q の因子と見なせる。

D_q が A_q の単項因子(>>877) のとき D は q において単項という。

D が A のすべての素イデアルにおいて単項のとき
D を局所的に単項な因子と呼ぶ。
882 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/30(月) 13:49:31 ]: 命題
A をネーター環とする。
I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。
p を A の高さ１の素イデアルで I ⊂ p とする。
p は Supp(A/I) の極小元である。
よって leng(A_p/IA_p) は有限である。
さらに、I ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p は
有限個である。

証明
>>851と同様。
883 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/30(月) 14:40:08 ]: A をネーター環とし、I を A のイデアルで非退化(>>431)とする。
A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を

div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p

により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。
>>882 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、
leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから
div(I) は明確に定義される。
884 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/30(月) 14:41:39 ]: 880 名前：１３２人目の素数さん：2006/01/27(金) 15:56:07
>>876
あげるな

おれの勝手だボケ
885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/30(月) 15:01:27 ]: >>884　崩れは消えろ
886 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/30(月) 15:05:28 ]: 命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。
div(IJ) = div(I) + div(J) となる。

証明
p を A の高さ１の素イデアルとする。
>>555 より A_p は離散付値環である。
I は非退化だから IA_p は 0 でないから IA_p = (p^n)A_p
となる整数 n ≧ 0 が定まる。
>>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。
J についても同様であるから本命題の主張は明らか。
証明終
887 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/30(月) 19:04:09 ]: akechi mitsuhide
888 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/30(月) 19:06:13 ]: shimura goro
このgoroはゴロつきのゴロ
889 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/31(火) 10:25:14 ]: 定義
A をネーター環とする。
k ≧ 0 を整数とする。
p が A の素イデアルで dim(A_p) ≦ k なら常に A_p は
正則局所環(>>571) のとき A は余次元 k 以下で正則
または性質 (R_k) を満たすという。
890 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/31(火) 10:31:53 ]: 定義
A をネーター環とする。
A の任意の素イデアルで A_p が正則局所環(>>571) のとき
A を正則環と呼ぶ。
891 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 10:39:53 ]: 命題
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。
div(IJ) = div(I) + div(J) となる。

証明
p を A の高さ１の素イデアルとする。
>>572 より A_p は離散付値環である。
よって後は >>886 と同様。
証明終
892 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 11:34:36 ]: 定義
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
M を A の分数イデアル(>>707)とする。
定義(>>707)より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
sM = I とおけば、M = I(1/s) である。
I は非退化イデアルだから、>>883 により div(I) が定義される。
どうように、sA も非退化イデアルだから div(sA) が定義される。

div(M) = div(I) - div(sA) と定義する。

この定義が s の取り方によらないことは、>>891 よりわかる。
893 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 11:48:16 ]: 命題
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
M, N を A の分数イデアル(>>707)とする。
MN も分数イデアルであり、
div(MN) = div(M) + div(N) となる。

証明
MN が分数イデアルであることは定義(>>707)から明らか。

div(MN) = div(M) + div(N) も
定義(>>892) と >>891 より明らか。
894 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 12:05:39 ]: 定義
A をネーター環とする。
D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。
D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体
である。すべての高さ１の素イデアル p に対して n_p ≧ 0 のとき
D ≧ 0 と書く。D_1, D_2 が A の因子で、D_1 - D_2 ≧ 0 のとき
D_1 ≧ D_2 と書く。明らかに、Div(A) は関係 ≧ により順序集合
となる。
895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/31(火) 12:49:25 ]: あげるなと言っても２０８が定期的にあげるからだめぽ
896 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:01:53 ]: >>885は
>>895の言うような自明なことがわからない
極め付きのバカ
897 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:03:44 ]: うすらが
898 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:05:22 ]: あとは転落の一途だ
899 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:06:55 ]: 208みたいのを崩れっていうんじゃない
900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/01(水) 02:19:15 ]: 900
901 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/01(水) 02:59:17 ]: Will you discuss local class field theory?
902 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 09:15:51 ]: >>901

類体論は局所的と大域的の両方やる予定。
どっちを先にやるかは決めてない。
903 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:18:30 ]: 定義
A をネーター環とする。
D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。
D ≧ 0 (>>894) のとき D を正因子と呼ぶ。
904 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:19:40 ]: >>903

D は正確には非負因子と呼ぶべきだが慣用に従った。
905 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:21:13 ]: 今やろうとしていることは、環の因子とイデアルの関係を調べること。
906 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:29:23 ]: このあたりは局所環の深さ(depth)の概念と関係ある。
深さというのは埋蔵随伴素イデアルの有無と結びついてるので。
ただ、深さの概念はホモロジー代数の知識を仮定しないと説明しにくい。
907 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:23:11 ]: 定義
A をネーター環とする。
D を A の因子(>>826)とする。
D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体
を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。

p が A の高さ１の素イデアルのとき、
n_p = multi_p(D) と書く。
908 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:26:09 ]: 訂正：

>>907
>p が A の高さ１の素イデアルのとき、
>n_p = multi_p(D) と書く。

p が A の高さ１の素イデアルのとき、
n_p を multi_p(D) と書く。
909 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:37:01 ]: 定義
A をネーター環とする。
D を A の正因子(>>903)とする。

p が A の高さ１の素イデアルのとき、
標準射 A → A_p による (p^(n_p))A_p の逆像を q_p とする。
ここで、n_p = multi_p(D) (>>907) である。

I = ∩q_p とおく。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル全体を
動く。multi_p(D) = 0 のとき、q_p = A だから、
multi_p(D) ≠ 0 となる q_p のみを考えても I には影響しない。

この I を I(D) と書く。
910 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:51:54 ]: 定義
A をネーター環とし、I をそのイデアルとする。
Ass(A/I) の元で Supp(A/I) の極小元でないものを
A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶ。

Ass(A/I) の極小元と Supp(A/I) の極小元は同じもの(前スレの166)
だから、Ass(A/I) の元で Ass(A/I) の極小元でないものを
A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶと言ってもいい。
911 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 12:07:19 ]: 命題
A をネーター環とする。
D を A の正因子(>>903)とする。
I(D) (>>909) を I とする。
このとき、以下が成立つ。

1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、
2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。

証明
>>909 の記号をそのまま使う。
I = ∩q_p である。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル
で、multi_p(D) ≠ 0 となるものを動く。
前スレの 351 より各 q_p は準素イデアルであり
Ass(A/q_p) = {p} である。
よって I = ∩q_p は I の最短準素イデアル分解である。
これから、上の 1), 2) は明らかである。
証明終
912 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/01(水) 17:48:41 ]: 助走をつける
913 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/02(木) 20:15:45 ]: 命題
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
I をそのイデアルで以下が成立つとする。

1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、
2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。

このとき、A の正因子(>>903) D が存在して、
I = I(D) (>>909) となる。

証明
Ass(A/I) ={p_1, ..., p_r} とする。

各 i に対して、標準射 A → A_(p_i) による IA_(p_i) の逆像を
q_i とする。各 p_i は Supp(A/I) の極小元であるから、
I = ∩q_i である(前スレの198)。
仮定より各 A_(p_i) の次元は 1 だから正則局所環であり、
従って >>572 より離散付値環である。
よって、IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_1) となる整数 n_i > 0 が
定まる。D = Σ(n_i)p_i とおく。
I = I(D) となることは I(D) の定義から明らか。
証明終
914 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/02(木) 22:39:06 ]: バリバリ解析系の俺にはさっぱりだ
代数的整数論ヲタ、一言でまとめてくれ
915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/03(金) 03:01:49 ]: >>914
>バリバリ解析系
何処に何書いた？専門は何？
書いてなかったらバリバリ解析系と言うハンネで次に書いてくれよなking!
916 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/02/03(金) 07:29:46 ]: talk:>>915 私を呼んだか？
917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/03(金) 09:50:11 ]: お前の専門は何だ
微分方程式か？
918 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/03(金) 11:00:30 ]: 僕の専門はε-δ論法です
919 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 13:39:34 ]: 命題
０次元の正則局所環(>>571)は体である。

証明
A を０次元の正則局所環とし、m をその極大イデアルとする。
dim(m/m^2) = 0 である。
よって中山の補題(前スレの242)より、m = 0 である。
よって A は体である。
証明終
920 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 13:46:07 ]: >>919 よりネーター環 A が性質 (R_0) (>>889)を持つ、
即ち余次元０以下で正則であるというのは、
A のすべての高さ０の素イデアル、即ち極小素イデアル p に対して
A_p が体であるということと同じである。
921 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 13:55:35 ]: 命題
A をネーター整域とすると、
Ass(A) = {0} である。

証明
p ∈ Ass(A) とする。随伴素イデアルの定義(前スレの89)より
p = Ann(x) となる A の元がある。x ≠ 0 だから p = 0 である。
証明終
922 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:14:47 ]: 命題
A を被約(前スレの206)なネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、
0 = p_1∩...∩p_r となる。

証明
前スレの163より、A のすべての素イデアルの共通部分は A の
べき零元の全体と一致する。A は被約だから、この共通部分は
0 である。A の任意の素イデアル p は極小素イデアルを含むから
0 = p_1∩...∩p_r となる。
証明終
923 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:25:20 ]: 命題
A をネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r としたとき、
0 = p_1∩...∩p_r となるなら、A は被約である。

証明
明らかだろう(>>922の証明を参照)。
924 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:44:03 ]: 命題
A を環とし、S を A の積閉集合(前スレの>>63)とする。
A が被約なら、A_S も被約である。
ここで、A_S は A の S による局所化(前スレの>>65)である。

証明
x ∈ A, s ∈ S とし、A_S において、(x/s)^n = 0 とする。
ここで、n > 0 である。
x^n/s^n = 0 だから、ある t ∈ S があって t(x^n) = 0 である。
よって (tx)^n = 0 となる。A は被約だから、tx = 0 である。
よって、x/s = 0 である。
証明終
925 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:53:26 ]: 命題
被約な０次元のネーター局所環は体である。

証明
A を被約な０次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルと
する。ht(m) = 0 だから、m は A の唯一つの素イデアルである。
よって m は A のべき零元の全体と一致する(前スレの163)。
A は被約だから m = 0 である。
よって A は体である。
証明終
926 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 15:10:50 ]: 命題
A を被約なネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、
Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。

証明
>>922 より、0 = p_1∩...∩p_r である。
これは 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)であることが
容易に分かる。
これから、前スレの190より本命題の主張は明らか。
証明終
927 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 15:27:55 ]: 命題
A を被約なネーター環とすると、A は性質 (R_0) (>>889)を持つ。

証明
p を A の極小素イデアルとする。>>924 より A_p は被約である。
dim(A_p) = 0 だから >>925 より A_p は体である。
>>920 より A は性質 (R_0) を持つ。
証明終
928 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 15:37:24 ]: 命題
A を被約なネーター環とする。
p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元
ではない。

証明
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
>>926 より Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。

前スレの95より、Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) となる。
よって、Ass(A_p) は p に含まれる極小素イデアルの全体と
同一視される。
ht(p) ≧ 1 だから p は極小素イデアルではない。
よって、pA_p は Ass(A_p) に属さない。
証明終
929 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/06(月) 14:11:06 ]: 補題
A を環とし、p をその素イデアルする。
I を標準射 A → A_p の核とする。
A_p が体なら I = p である。

証明
x ∈ I なら sx = 0 となる s ∈ A - p がある。
当然、 sx ∈ p だから x ∈ p となる。
よって I ⊂ p である。

逆に y ∈ p とする。pA_p = 0 だから y/1 は A_p の元として
0 である。よって ty = 0 となる t ∈ A - p がある。
よって y ∈ I である。つまり p ⊂ I である。
証明終
930 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/06(月) 18:02:11 ]: 命題
A をネーター環とする。
A が被約であるためには、以下の条件を満たすことが必要十分である。

1) A は (R_0) を満たす、即ち余次元０以下で正則(>>889)である。
2) p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元
ではない。

証明
条件 1), 2) が必要なことは >>927 と >>928 で証明されている。

よって十分なことの証明のみを行う。
A をネーター環で、条件 1), 2) を満たすとする。

2) から Ass(A) の元は全て A の極小素イデアルである。
A の極小素イデアルの全体を p_1, ..., p_r とする。
0 = q_1∩...∩q_r を 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)とする。
ただし、各 i に対して Ass(A/q_i) = {p_i} である。
前スレの198より q_i は標準射 A → A_(p_i) の核である。

一方、条件 1) より各 A_(p_i) は体である。
>>929 より、q_i = p_i である。
よって、 0 = p_1∩...∩p_r となる。
従って、>>923 より A は被約である。
証明終
931 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/06(月) 18:02:15 ]: >D は正確には非負因子と呼ぶべきだが慣用に従った。

アホ
932 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/06(月) 18:30:53 ]: king!@!!
933 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/02/06(月) 22:00:26 ]: talk:>>932 私を呼んだか？
934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/07(火) 09:14:20 ]: >>933

荒しに、いちいち反応するのはちょっとおかしいぞ。
律儀というか神経質というか。
どうでもいい細かいことに異様にこだわる。

脳を読まれるとか言ってるのもおかしいしな。
935 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/02/07(火) 10:12:46 ]: talk:>>934 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/07(火) 10:54:49 ]: >>935

頼むから荒しにいちいち反応しないでくれ。
937 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/07(火) 12:47:38 ]: 頼んでどうする
938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/07(火) 16:04:46 ]: 頼んでどうすると聞いてどうする
939 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/07(火) 16:47:37 ]: そうする
940 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/08(水) 03:08:46 ]: kong!@!!
941 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/08(水) 13:14:41 ]: 因子論の説明の都合上、局所環の深さ(depth)について簡単に述べる。
深さの概念は代数的整数論にあまり関係ないが可換代数
において重要なので知っておいて損はないだろう。

定義
Aを環とし、MをA-加群とする。
A の元の列 x_1, ..., x_r があり、
x_1 は M に関して正則(前スレの179)であり、
i ≧ 2 に対して
x_i が M/(x_1M + ... x_(i-1)M) に関して正則のとき、
この列を M-正則列と呼ぶ。
942 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/08(水) 18:16:53 ]: 補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
dim(A) = n とする。
dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル
であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。
x ∈ m が、p_1∪...∪p_r に含まれないなら。
dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。

証明
xA はどの p_i にも含まれないから、 xA ⊂ p となる素イデアル p
に対して dim(A/p) ≦ n - 1 である。
よって dim(A/xA) ≦ n - 1 である。
一方、前スレの454 より dim(A/xA) ≧ dim(A) - 1 である。
よって、dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明終
943 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/09(木) 11:23:58 ]: 定義
A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。
dim(A/Ann(M)) を M の次元と呼び、dim(M) と書く。
944 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/09(木) 11:51:25 ]: >>943

Supp(M) = V(Ann(M)) (前スレの161) だから
dim(M) は Supp(M) だけで決まる。
945 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/11(土) 12:09:58 ]: king kong bundy....

sugoi wrestler datta.....
946 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/02/11(土) 12:13:42 ]: talk:>>945 私を呼んだか？
947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 14:09:59 ]: ころ
948 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/14(火) 16:46:22 ]: 補題
A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。
p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。

標準射 A → A_p により k を A-加群とみて A 上のテンソル積 M(x)k
を考える。
このとき、M(x)k = 0 は M_p = 0 と同値である。

証明
M(x)k = M_p/(pA_p)M_p であり、M_p は有限生成 A_p-加群であるから
中山の補題(前スレの242)より、M_p/(pA_p)M_p = 0 から M_p = 0 が
出る。逆は明らか。
証明終
949 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/14(火) 16:47:36 ]: 補題
k を体とし、M, N を k-加群とする。
M(x)N を k 上のテンソル積とする。

M ≠ 0 かつ N ≠ 0 なら M(x)N ≠ 0 である。

証明
x ∈ M で x ≠ 0 なら x は M の k 上の基底の要素となる。
同様に、y ∈ N で y ≠ 0 なら y は N の k 上の基底の要素となる。
よって x(x)y も M(x)N の基底の要素となる。
よって x(x)y ≠ 0 であり、M(x)N ≠ 0 となる。
証明終
950 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/14(火) 16:48:24 ]: 補題
A を環とし、M と N を A-加群とする。
B を A-代数とする。
このとき、(M(x)N)_B = M_B(x)N_B となる。

ここで、M_B = M(x)B である。N_B, (M(x)N)_B も同様。
M_B(x)N_B は B 上のテンソル積である。

証明
テンソル積の結合法則と B と B-加群 N_B の B 上のテンソル積
B(x)N_B は N_B に等しいことを使う。

(M(x)N)_B = M(x)N_B = M(x)(B(x)N_B) = M_B(x)N_B
証明終
951 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/14(火) 16:58:59 ]: 補題
A を環とし、M と N を有限生成 A-加群とする。
Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。

証明
p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。
標準射 A → A_p により k を A-代数とみる。

>>950 において B を k に置き換えて
(M(x)N)_k = (M_k)(x)(N_k) となる。

よって、>>948 と >>949 より
Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。
証明終
952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 18:31:32 ]: ころ
953 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/15(水) 10:28:58 ]: 命題
A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。
I を A のイデアルとする。
Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。

証明
M/IM = M(x)(A/I) だから、
>>951 より Supp(M/IM) = Supp(M) ∩ Supp(A/I) となる。

Supp(M) = V(Ann(M)) (前スレの161) だから
Supp(M/IM) = V(Ann(M)) ∩ V(I) = V(Ann(M) + I) となる。
証明終
954 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/15(水) 10:59:38 ]: >>953の別証明をする。

この別証明は、あまり知られてないのではないか。
少なくとも、私は他で見たことがない。
955 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/15(水) 11:00:28 ]: 補題
A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。
I を A のイデアルとする。
Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる
(rad の記号については前スレの164参照)。

証明
M の生成元を ω_1, ..., ω_n とする。
x ∈ Ann(M/IM) とする。
xM ⊂ IM となる。
よって、以下の関係式が成立つ。

xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n

ここで、各 a(i,j) は I の元。

前スレの505の証明と同様にして、
モニックな n 次の多項式 f(X) ∈ A[X] で、
その X^n 以外の係数がすべて I に属すものがあり、f(x)M = 0 となる。
よって、f(x) ∈ Ann(M) である。
よって、x^n ∈ Ann(M) + I となる。
これは x ∈ rad(Ann(M) + I) を意味する。
証明終
956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/20(月) 14:36:42 ]: ころ
957 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/20(月) 18:52:01 ]: age
958 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/20(月) 21:09:34 ]: もう飽きたのか？
959 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/21(火) 12:27:51 ]: >>953の別証明

Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) は明らか。
よって、>>955 より
Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる。

一方、V(Ann(M) + I) = V(rad(Ann(M) + I) ) だから
V(Ann(M) + I) = V(Ann(M/IM)) である。
この右辺の V(Ann(M/IM)) は、Supp(M/IM) だから
Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。
証明終
960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/21(火) 17:21:49 ]: ころ
961 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/22(水) 14:35:46 ]: 次ｽﾚ
live19.2ch.net/test/read.cgi/ogame/1140344331/
962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/22(水) 14:50:23 ]: 次ｽﾚ終了
963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/22(水) 14:52:18 ]: ころ
964 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/23(木) 02:07:35 ]: このスレ

　～～～終了～～～
965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 13:33:21 ]: ころ
966 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/23(木) 18:06:46 ]: 命題
A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。
I を A のイデアルとすると、
dim(M/IM) = dim(A/(Ann(M) + I)) となる。

証明
>>943, >>944 と >>953 より明らか。
967 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 09:44:38 ]: 定義
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x_1, ... x_r を m の相異なる元の列とする。
dim(M/x_1M + ... + x_rM) = dim(M) - r となるとき、
x_1, ... x_r を M に関する切断列(secant sequence)
または M-切断列と呼ぶ。
968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 09:50:15 ]: 話は変わるけど、代数多様体の正規点における局所環の完備化は
正規であるというZariskiの定理の証明ってあまり本に書いてないね。
この定理は代数幾何では重要なんだけど。

Zariski-Samuelには当然書いてある。
969 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 09:56:44 ]: 補題
A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x を rad(A) の元とすれば、
dim(M/xM) ≧ dim(M) - 1 となる。

証明
I = Ann(M)、B = A/I とおく。
定義より、dim(M) = dim(B) である。
前スレの446より dim(B) ≧ dim(B/xB) - 1 となる。
B/xB = A/(I + xA) であるから、>>953 より
dim(B/xB) = dim(M/xM) である。
証明終
970 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:04:33 ]: 補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
I を m に含まれるイデアルとする。
dim(A/I) ＜ dim(A) なら x ∈ I で dim(A/xA) = dim(A) - 1
となるものが存在する。

証明
dim(A) = n とする。
dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル
であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。
dim(A/I) ＜ dim(A) だから I はどの p_i にも含まれない.
前スレの579より I の元 x でどの p_i にも含まれないものがある。
>>942 より dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明終
971 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:06:30 ]: 補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
dim(A) ≧ 1 なら x ∈ m で dim(A/xA) = dim(A) - 1
となるものが存在する。

証明
>>970 において I = m とすればよい。
証明終
972 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:09:54 ]: >>967 の切断列の定義はBourbakiによる。
973 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:24:44 ]: 命題
A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x_1, ... x_r を rad(A) の元の列とすれば、
dim(M/(x_1M + ... + x_rM)) ≧ dim(M) - r となる。

証明
r に関する帰納法を使う。
r = 1 のときは >>969 で証明されている。

r > 1 とする。
M/(x_1M + ... x_(r-1)M) = N とおく。
N/x_rN = M/(x_1M + ... + x_rM) である。
>>969 より、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 である。
帰納法の仮定より、dim(N) ≧ dim(M) - r + 1 である。
よって、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 ≧ dim(M) - r
証明終
974 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:45:48 ]: A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
S = {x_1, ..., x_r} を m の r 個の元からなる集合とする。
列 x_1, ..., x_r が M-切断列(>>967)になることは、集合 S のみで
定まる。よって、集合 S も（不正確だが）M-切断列と呼ぶ。
x_1M + ... + x_rM を SM と書く。
975 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:48:21 ]: 記法の定義
集合 S の濃度を |S| と書く。
976 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 11:14:03 ]: 補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
S と T を m の元からなる空でない有限集合で交わらないものとする。
S∪T が M-切断列(>>974)になることと、
S が M-切断列であり、かつ T が (M/SM)-切断列となることは同値である。

証明
N = M/SM とおく。
N/TN = M/(S∪T)M となる。
よって、次の等式が得られる(記法 |S| については >>975)。

dim(M/(S∪T)M) - dim(M) + |S| + |T|
= (dim(N/TN) - dim(N) + |T|) + (dim(M/SM) - dim(M) + |S|)

>>973 より、この等式の左辺 ≧ 0 であり、
右辺の括弧の中の各項も ≧ 0 である。

さらに、S と T は交わらないから、|S∪T| = |S| + |T| である。

よって本補題の主張が得られる。
証明
977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 15:21:18 ]: ころ
978 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/27(月) 14:46:32 ]: 9208さん、新スレ立てましたので
引越しをお願いいたします。
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/27(月) 21:24:08 ]: 梅
980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/27(月) 21:24:50 ]: ウメ
981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 00:02:57 ]: メシ
982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 00:43:37 ]: シマ
983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 09:57:11 ]: ( ´,_ゝ｀)プッ
984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 16:08:30 ]: 九十八日。
985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 21:49:11 ]: （；゜〇゜)
986 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/01(水) 11:00:31 ]: king氏ね
987 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/03/01(水) 11:24:43 ]: talk:>>986 お前に何が分かるというのか？
988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 11:40:00 ]: >>987
たまには数学の話もしてみれば？
989 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/03/01(水) 11:42:47 ]: talk:>>988 何やってんだよ？
990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 12:48:41 ]: 　 ε　⌒ﾍ⌒ヽﾌ
　（　　( ；・ω・）＝3　呼んだブヒ？
　　しーし─Ｊ
991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 20:37:49 ]: kkkinggguuu
992 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/03/01(水) 21:50:52 ]: talk:>>991 私を呼んだか？
993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 00:10:52 ]: 消えろ
994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:20:59 ]: ほらほら
995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:22:16 ]: もうすぐだよ、ほら
996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:23:08 ]: 後少しで、ほら
997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:23:54 ]: みんな、寝てるのかな
998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:24:56 ]: きっとこの先何年たってもこれだけは変わらない！
999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:25:49 ]: そうこの数学板のみんなも！
1000 名前： ◆xeS.CIM.Jk [2006/03/02(木) 04:28:16 ]: 数学を愛するすべての人は幸せになる！
小さな希望にも無限の可能性を抱いて頑張れる！

数学は不滅だ！それを愛するおまいらがいる限り！
1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread]: このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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