代数的整数論 II

863 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:11:40 ] 補題 A を離散付値環とし、m をその極大イデアルとする。 任意の整数 n ≧ 0 にたいして leng(A/m^n) = n である。ここで、leng(A/m^n) は A-加群としての A/m^n の長さ。 証明 A-部分加群の列 A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^n を考える。 任意の整数 i ≧ 0 にたいして leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。 m の生成元を t とする。 A の元 x に (t^i)x を対応させることにより、 A-加群の射 A → (t^i)A = (m^i)A を得る。 これに標準射 (t^i)A → (t^i)A/(t^(i+1))A を合成して、 A-加群の射 A → (t^i)A/(t^(i+1))A を得る。 これは明らかに全射である。 この核が tA 即ち m であることも明らか。 よって、A/m = (t^i)A/(t^(i+1))A (同型) である。 証明終

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