- 768 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 15:27:51 ]
- 命題
A をDedekind整域(>>601)とし、I をその非零イデアルとする。
x ≠ 0 を I の任意の元とする。
I = (x, y) となる y ≠ 0 が存在する。
証明
I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。
ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。
xA ⊂ I だから、xA = IJ となるイデアル J が存在する
(J = (xA)I^(-1) とすればよい).
J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外
のものを q_1, ..., q_s とする。
>>742より、
各 i において ν_p_i(y) = n_i
各 j において ν_q_j(y) = 0 となるものが存在する。
yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する
y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。
よって、J + L = A である。
よって、(x, y) = IJ + IL = I(J + L) = I である。
証明終
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