- 616 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 17:31:23 ]
- 命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に分解される。
証明
I ≠ A と仮定してよい。
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
I ≠ 0 だから各 p_i は極大イデアルである。ht(p_i) = 1 だから、
p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。
>>585 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
よって、>>615 より、q_i = (p_i)^(n_i) となる。
前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。
証明終
