- 285 名前：208 [2005/12/09(金) 17:01:50 ]
- 補題
A を環とし、M を A-加群とする。
M が有限個の単純部分加群の和となるとする。
このとき、M はこれらの単純部分加群の一部または全ての直和となる。
証明
M = M_1 + ... + M_n (単なる和)で、各 M_i は単純とする。
各 M_i は相異なると仮定してよい。
M = M_1 ならこの場合は証明が終わるから、M ≠ M_1 と仮定してよい。
M_1 ∩ M_2 ≠ 0 なら M_1 = M_2 だから
M_1 ∩ M_2 = 0 である。よって M_1 + M_2 は直和である。
M = M_1 + M_2 ならこの場合は証明が終わる。
よって、M ≠ M_1 + M_2 と仮定する。
(M_1 + M_2) ∩ M_k ≠ 0 が全ての k > 2 で成立つなら、
M_k ⊂ M_1 + M_2 となり、M = M_1 + M_2 となって仮定に反する。
よって、(M_1 + M_2) ∩ M_k = 0 となる k がある。
k = 3 と仮定してよい。よって M_1 + M_2 + M_3 は直和である。
以下、これを繰り返せばよい。
証明終
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