- 236 名前：208 [2005/12/07(水) 16:07:11 ]
- 命題
A を環、M を A-加群とする。
A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し
M_f は A_f-加群として自由であるとする。
このとき、M は有限生成射影加群である。
証明
>>230 より Spec(A) は準コンパクトだから、
A の元 f_1, ..., f_n があり、Spec(A) = ∪D(f_i) となり、
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として自由となる。
よって、>>234 より M は有限表示を持つ。
A の各極大イデアル m に対して、m ∈ D(f_i) とすれば、
mA_(f_i) は A_(f_i) の極大イデアルであり、
M_m は M_(f_i) の mA_(f_i) による局所化とみなせる。
よって、M_m は A_m-加群として自由である。
よって >>235 より M は射影的である。
証明終
