- 850 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 11:14:59 ]
- 命題
A をネーター環とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
p を A の高さ１の素イデアルとする。
A_p/IA_p は A_p-加群として長さ有限である。
証明
I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから A_p/IA_p = 0 は
明らかに長さ有限である。
よって I ⊂ p とする。
>>509 より I は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
>>355 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の射影加群である
よって、>>340 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の自由加群である。
a/s を IA_p の A_p-自由加群としての基底とする。
ここで、a ∈ I, s ∈ A - p である。
明らかに a/s は A_p の非零因子である。
IA_p = (a/s)A_p だから >>849 より A_p/IA_p は A_p-加群として
長さ有限である。
証明終
