- 235 名前：208 [2005/12/07(水) 15:47:32 ]
- 命題
A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。
A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m-加群として自由なら
M は射影的である。
証明
P → Q → 0 を A-加群の完全列とする。
Hom(M, P) → Hom(M, Q) の余核を T とする。
よって、
Hom(M, P) → Hom(M, Q) → T → 0
は完全である。
m を A の任意の極大イデアルとすると、
Hom(M, P)_m → Hom(M, Q)_m → T_m → 0
も完全である。
>>223 より
Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) → T_m → 0
は完全である。
一方、M_m は自由であるからもちろん射影的なので、
完全列 P_m → Q_m → 0 より、
Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) は全射である。
よって、T_m = 0 である。
m は任意の極大イデアルだから、>>224 より T = 0 となる。
証明終
