- 324 名前：208 [2005/12/12(月) 17:02:38 ]
- 命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
m_i は極大イデアルであり、A の極大イデアルは
これら m_1, ..., m_n のみである。
証明
A/m_i は I_i に同型だから、m_i は極大である。
J を A の極大イデアルとする。
I_i が J に含まれないとする。I_i ∩ J ≠ 0 なら
I_i の極小性から I_i ∩ J = I_i となって矛盾。
よって I_i ∩ J = 0 であり、I_i + J は直和である。
J は極大イデアルだから、 A = I_i + J となる。
j ≠ i で I_j が J に含まれないとすると、
同様に A = I_j + J となる。
A = I_j + J の両辺に I_i を掛けると I_i = (I_i)(I_j) + (I_i)J
= 0 + 0 = 0 となって矛盾。
よって、J = m_i となる。
証明終
