- 505 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 17:44:14 ]
- 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M はA-加群として射影的である。
証明
定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。
よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。
f_i ∈ Hom(M, A) を f_i(x) = (y_i)x で定義する。
x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x = Σf_i(x)x_i となる。
よって、>>429 より M は射影的である。
証明終
