- 605 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 13:51:35 ]
- 命題
A をネーター整閉整域とする。
A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。
証明
a, b ∈ A, b ≠ 0 で a ∈ bA_p が任意の ht(p) = 1 の
素イデアル p について成立てば、a ∈ bA となることを示せばよい。
I = {x ∈ A; xa ∈ bA} とおく。I = A が言えればよい。
I ≠ A と仮定する。Ia ⊂ bA だから、I ⊂ p となる p ∈ Ass(A/bA)
がある(前スレの90)。>>603 より ht(p) = 1 である。
仮定より、a ∈ bA_p であるから、sa ∈ bA となる s ∈ A - p
がある。よって s ∈ I だが、これは I ⊂ p に矛盾する。
証明終
