- 942 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/08(水) 18:16:53 ]
- 補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
dim(A) = n とする。
dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル
であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。
x ∈ m が、p_1∪...∪p_r に含まれないなら。
dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明
xA はどの p_i にも含まれないから、 xA ⊂ p となる素イデアル p
に対して dim(A/p) ≦ n - 1 である。
よって dim(A/xA) ≦ n - 1 である。
一方、前スレの454 より dim(A/xA) ≧ dim(A) - 1 である。
よって、dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明終
