命題 A をネーター局所環 とする。 A の 極大イデアル m がベキ零でない元で生成される単項イデアルなら A は離散付値環である。
証明 Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より∩m^n = 0 である。 ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。 仮定より m = At となる。ここで、t はベキ零でない。
x ∈ m で x ≠ 0とすると、>>567 と同様にして x = (t^n)u となる n > 0 と可逆元 u がある。 同様に y ∈ m で y ≠ 0とすると、y = (t^k)v となる k > 0 と可逆元 v がある。 xy = (t^(n+k))uv = 0 とすると、uv は可逆だから t^(n+k) = 0 となって、t がベキ零でないことに矛盾。 よって xy ≠ 0 である。 x または y が m に含まれない場合は、xy ≠ 0 は明らか。 したがって、A は整域である。 後は、>>567 と同じ。 証明終
