- 765 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 13:58:27 ]
- 次の離散付置の性質は、定義から簡単に出るが、>>763 の 2), 3)
だけからも出る。
命題
A を離散付値環とし、K をその商体とする。
ν を A で定まる離散付置とする(>>763) 。
K の元 x, y に対して ν(x) > ν(y) なら ν(x + y) = ν(y)
である。
証明
x ≠ 0 と仮定してよい。
>>763 の 2) から (-1)^2 = 1 より 2ν(-1) = 0
よって ν(-1) = 0
よって ν(-x) = ν(x) である。
>>763 の 3) から ν(x + y) ≧ ν(y) である。
ν(x + y) ≧ ν(x) なら、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x) となり矛盾。
よって、ν(x + y) ≦ ν(x) である。
よって、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x + y) となる。
証明終
