- 670 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 18:23:22 ]
- 命題
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するなら、A はDedekind整域(>>601)である。
証明
P を A の零でない素イデアルとする。
a ∈ P, a ≠ 0 をとり、aA = (P_1)...(P_r) とする。
ここで各 P_i は素イデアルである。
I をイデアルとし、P_i ⊂ I, P_i ≠ I と仮定する。
>>669より、P_i = (P_i)I である。>>634 より P_i は可逆だから
I = A となる。よって、各 P_i は極大イデアルである。
(P_1)...(P_r) ⊂ P だから P_i ⊂ P となる i がある。
よって P = P_i となり、P は可逆である。
A の任意の零でないイデアルは有限個の素イデアルの積であるから、
これも可逆である。>>613より A はDedekind整域である。
証明終
