- 684 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 12:02:32 ]
- 補題
A を整域とする。
I, J を A の分数イデアル(>>677)とする。
IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。
証明
K を A の商体とする。
K の元 x ≠ 0 と y≠ 0 で xI ⊂ A, yJ ⊂ A となるものがある。
x = a/b, a ∈ A, b ∈ A とすると、aI ⊂ bA ⊂ A だから、
x, y は A の元と仮定してよい。
xyIJ ⊂ A, xy(I + J) ⊂ A, xy(I ∩ J) ⊂ A は明らか。
分数イデアルの定義(>>677) より I ≠ 0, J ≠ 0 である。
A は整域だから、IJ ≠ 0 である。
I + J ≠ 0 は明らか。
xyIJ ⊂ xI ∩ yJ ⊂ I ∩ J だから、I ∩ J ≠ 0 である。
証明終
