- 798 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 11:06:10 ]
- 命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
A は有限個のネーター整閉整域の直積と同型である。
証明
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
>>792の証明より、
A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。
任意に p_i をとり、p_i ⊂ m となる A の極大イデアル m をとる。
仮定より A_m は整域だから p_iA_m = 0 である。
よって、(A/p_i)_m = A_m/p_iA_m = A_m である。
A_m は整閉だから >>612 より A/p_i も整閉である。
A/p_i がネーターなのは明らか。
証明終
