- 511 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 10:47:54 ]
- 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)で射影的なら
M は可逆(>>430)である。
証明
M は射影的だから、>>426 より、Hom(M, A) の元の族
(f_i), i ∈ I と、M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、
M の任意の元 x に対して x = Σf_i(x)x_i となる。
M は非退化だから、>>444 より各 i に対して y_i ∈ B があり
M の任意の元 x に対して f_i(x) = (y_i)x となる。
>>434 より M ∩ S は空でない。s ∈ M ∩ S をとる。
s は非零因子だから s = Σ(x_i)(y_i)s より、
Σ(x_i)(y_i) = 1 となる。
(y_i) で生成される B の A-部分加群を N とすれば、MN = A となる。
よって M は可逆である。
証明終
