証明 A の極大イデアルを m とし、k = A/m とおく。 M/mM = k(x)M の k 上の基底 を x_1 (mod mM), ..., x_n (mod mM) とし、N = Ax_1 + ... + Ax_n とする。 M の任意の元 x は N の元と mod mM で等しいから M = mM + N である。 よって、m(M/N) = (mM + N)/N = M/N となる。 中山の補題(前スレの242)より、M/N = 0 つまり M = N となる。 L = A^n を階数 n の自由加群とし、その基底を e_1, ..., e_n とする。 各 e_i に x_i を対応させる ことにより、A-加群としての全射 f: L → M が得られる。 Ker(f) = K とおく。
次の可換図式において、 m(x)K → m(x)L → m(x)M → 0 ｜ ｜ ｜ ｖ ｖ ｖ 0 → K → L → M → 0
M は平坦だから、m(x)M → M は単射である(M = A(x)M と見なす)。 よって snake lemma より、 0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0 は完全となる。 L → M の定義から、L/mL → M/mM は同型である。 よって K/mK = 0 となる。>>179 より K は有限生成だから、 中山の補題より K = 0 となる。 証明終
