代数的整数論 II

661 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 10:28:57 ] 補題 A を整域とする。 a ∈ A, a ≠ 0 とする。 aA = (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。 このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。 証明 P_1 を {P_1, ..., P_r} の極小元とする。 (Q_1)...(Q_s) ⊂ P_1 だから Q_i ⊂ P_1 となる i がある。 必要なら番号を付けかえて i = 1 と仮定する。 (P_1)...(P_r) ⊂ Q_1 だから P_j ⊂ Q_1 となる j がある。 P_j ⊂ Q_1 ⊂ P_1 だから P_1 の極小性より P_j = P_1 である。 よって、P_1 = Q_1 となる。 >>634より、P_1 は可逆である。 (P_1)(P_2)...(P_r) = (P_1)(Q_2)...(Q_s) の両辺に (P_1)^(-1) を掛けると、(P_2)...(P_r) = (Q_2)...(Q_s) となる。 これから、r に関する帰納法により本補題の主張が得られる。 証明終

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