- 693 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 16:00:23 ]
- 次の命題は >>235 などを使っても証明出来るが、別の証明を述べる。
命題
A をネータ整域とし、K をその商体とする。
M を A の分数イデアル(>>677)とする。
A のすべての極大イデアル m に対して
MA_m が K の A_m -部分加群として可逆(>>430)なら、
M は A-部分加群として可逆(>>430)である。
証明
m を A の任意の極大イデアルとする。
MA_m = M_m は可逆だから >>503 より (M_m)(A_m ; M_m) = A_m
である。
一方、A はネーターだから、>>678 より M は有限生成である。
よって、>>691 より M(A : M)A_m = (M_m)(A_m ; M_m) である。
よって、M(A : M)A_m = A_m である。
>>689 より (A : M) は分数イデアルである。
A はネーターだから、>>678 より (A : M) は有限生成である。
よって、M(A : M) も有限生成である。
よって、>>692 より M(A : M) = A となる。
証明終
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