- 692 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 14:34:32 ]
- 補題
A を整域とし、K をその商体とする。
M, N を K の有限生成 A-部分加群とする。
A のすべての極大イデアル m に対して
MA_m = NA_m なら M = N である。
証明
A のすべての極大イデアル m に対して NA_m ⊂ MA_m なら
N ⊂ M であることを示せばよい。
I = {x ∈ A; xN ⊂ M} とおく。I は A のイデアルである。
N の生成元を x_1, ..., x_n とする。
NA_m ⊂ MA_m より、(s_i)(x_i) ⊂ M となる s_i ∈ A - m がある。
s = (s_1)...(s_n) とすれば、sN ⊂ M となる。
よって s ∈ I となる。s ∈ A - m だから、I は m に含まれない。
m は A の任意の極大イデアルだから I = A である。
よって、特に 1 ∈ I だから、N ⊂ M である。
証明終
