- 767 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 14:33:21 ]
- 命題
A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)でDedekind整域(>>601)
とする。A は単項イデアル整域である。
証明
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルの全体とする。
I を A の非零イデアルとする。
各 i において IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。
A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。
各 i において IA_p_i = xA_p_i だから、>>692 より I = xA である
(>>692 を使わなくても I と xA のそれぞれの素イデアルの積による
分解を考えれば明らか)。
証明終
