命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 自然な単射 A → B によりアーベル群としての射 ψ: Pic(A) → Pic(B) が誘導される(>>276)。 他方、>>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。 このとき、Ker(ψ) = Im(cl) となる。
証明 M を A 上の階数１の射影加群とし、ψ(cl(M)) = 0 とする。 これは M(x)B が B と同型になることを意味する。 M は平坦だから 単射 A → B より単射 M → M(x)B が得られる。 よって、M は B の部分加群とみなせる。M(x)B = B だから M は非退化である。よって、>>511 より M は可逆である。 よって、cl(M) ∈ Im(cl) である。 よって、Ker(ψ) ⊂ Im(cl) である。
逆に M ∈ I(A) なら、>>501 より M は非退化である。 よって、 >>440 より M(x)B = M_S = B となる。 よって、Im(cl) ⊂ Ker(ψ) である。 証明終
