命題 A を１次元のネーター局所環とし、 m をその極大イデアルとする。 m の元がすべて A の零因子ではないとする。 A がその全商環 B において整閉なら A は離散付値環である。
証明 a を m の非零因子とする。 p を A の素イデアルで a ∈ p とする。 p が A が極小素イデアルとすると p ∈ Ass(A) である(前スレの146) から a は A の零因子となって(前スレの180)矛盾。 仮定より dim(A) = 1 だから p = m である。 よって Supp(A/aA) = {m} となる。 Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、 Ass(A/aA) = {m} となる。 よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA), mb ⊂ aA となるものがある。 よって m(b/a) ⊂ A となる。 ここで b/a ∈ B である。 b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。 m(b/a) = m と仮定する。>>551 の証明と同様にして b/a が A 上整となって矛盾。よって >>553 の証明と同様に m(A:m) = A である。 >>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。 m は非零因子を含むから >>568 よりA は離散付値環である。 証明終
