補題 A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。 A/m = k とおく。m/m^2 は k 上のベクトル空間と考えられる。 dim(m/m^2) = n は有限であり、n は m の生成元の個数の最小である。
証明 m は有限生成であるから dim(m/m^2) は有限である。 dim(m/m^2) = n とする。 x_1, ..., x_n を m の元で x_1 (mod m), ... , x_n (mod m) が m/m^2 の k 上の基底となるようなものとする。 x_1, ..., x_n で生成されるイデアルを I とする。 m = I + m^2 である。N = m/I とおけば、mN = N である。 よって中山の補題(前スレの242)より、N = 0 である。 よって、m = I となる。つまり、m は n 個の元で生成される。
m が r 個の元で生成されれば、dim(m/m^2) ≦ r となる。 よって、n は m の生成元の個数の最小である。 証明終
