- 567 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/21(水) 11:36:58 ]
- 命題
A を体でないネーター局所整域 とする。
A の 極大イデアル m が単項なら A は離散付値環である。
証明
A は体でないから m ≠ 0 である。
よって、m = At とすれば t ≠ 0 である。
>>566 より ∩m^n = 0 である。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
x ∈ m で x ≠ 0とすると、x ∈ m^n だが x ∈ m^(n+1)
とはならない n > 0 がある。 x = (t^n)u, u ∈ A とすれば
u ∈ A - m だから u は可逆元である。
よって、A は離散付値環である(詳細は読者に任す)。
証明終
