補題 A を環とし、M を A-加群で射影的とする。 このとき、Hom(M, A) の元の族 (g_i), i ∈ I と、 M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、 M の任意の元 x に対して x = Σg_i(x)x_i となる。 ここで、f_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。
証明 M の生成元を (x_i), i ∈ I とする。 L = A^(I) を I を添字集合とする自由加群とし、 (e_i), i ∈ I をその標準基底とする。 各 i ∈ I に対して p(e_i) = x_i により、 A-加群としての射 p: L → M を定義する。 p は全射で、M は射影的だから、射 s: M → L で、 ps = 1 となるものが存在する。
一方、各 i ∈ I に対して f_i ∈ Hom(M, A) を f_i(e_i) = 1, i ≠ j のとき f_i(e_j) = 0 で定義する。 s(x) = Σa_ie_i, a_i ∈ A とする。 各 i ∈ I に対して f_i(s(x)) = a_i となる。 よって、 x = ps(x) = Σa_i p(e_i) = Σf_i(s(x)) x_i となる。 よって、g_i = (f_i)s とおけばよい。 証明終
