補題 A を環とし、M を A-加群とする。 Hom(M, A) の元の族 (g_i), i ∈ I と、 M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、 M の任意の元 x に対して x = Σg_i(x)x_i となるとする。 ここで、g_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。 このとき、M は射影的である。
証明 明らかに (x_i), i ∈ I は M の生成元である。 L = A^(I) を I を添字集合とする自由加群とし、 (e_i), i ∈ I をその標準基底とする。 各 i ∈ I に対して p(e_i) = x_i により、 A-加群としての射 p: L → M を定義する。
M の元 x に対して、s(x) = Σg_i(x)e_i により、 A-加群としての射 s: M → L を定義する。
x = Σg_i(x)x_i であるから、ps = 1 である。 よって、Ker(p) = N とおけば、 完全列 0 → N → L → M → 0 は分裂(split)する。 よって、M は L の直和因子と同型になり、射影的である(>>186)。 証明終
