- 873 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 10:07:38 ]
- >>872 の証明
Ass(A) = {q_1, ..., q_r} とする。
p を A の素イデアルで、A_p が整域であるとする。
前スレの 95 より Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) である。
よって Ass(A_p) = {q_iA_p; q_i ⊂ p} である。
一方、A_p は整域だから、Ass(A_p) = {0} である。
よって、q_i ⊂ p となる i はただ一個で、q_iA_p = 0 である。
i = 1 と仮定して一般性を失わない。
q_1A_p = 0 と q_1 が有限生成であることから s ∈ A - p
で sq_1 = 0 となるものがある。
q_j (j ＞ １) は p に含まれないから、s_j ∈ q_j - p がある。
f = s(s_2)....(s_r) とおく(r = 1 のときは f = s とする)。
f ∈ A - p であり、j ＞ １ のとき f ∈ q_j である。
よって、Ass(A_f) = Ass(A) ∩ Spec(A_f)
= {q_iA_f; f ∈ A - q_i} = {q_1A_f}
である。
さらに、sq_1 = 0 だから fq_1 = 0 である。
よって、q_1A_f = 0 である。
以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p
は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p}
の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
証明終
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