- 665 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 13:00:06 ]
- 補題
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するとする。
P を A の素イデアルとし、a を A の元で P に含まれないものとする。
I = P + aA とする。このとき、I^2 = P + (a^2)A となる。
証明
I^2 = (P_1)...(P_r),
P + (a^2)A = (Q_1)...(Q_s) とする。
ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。
φ: A → A/P を標準射とする。
φ(I^2) = φ(P_1)...φ(P_r) であり、
φ(I^2) = φ((P + aA)^2) = φ((a^2)A) である。
他方、φ(P + (a^2)A) = φ(Q_1)...φ(Q_s) であり、
φ(P + (a^2)A) = φ((a^2)A) である。
よって、φ((a^2)A) = φ(P_1)...φ(P_r) = φ(Q_1)...φ(Q_s) となる。
各 P_i にたいして、I^2 ⊂ P_i だから I ⊂ P_i となる。
よって P ⊂ P_i である。
各 Q_j にたいして、P ⊂ Q_j は明らか。
よって、φ(P_i), φ(Q_j) は A/P の素イデアルである。
>>661より、r = s であり、順序を適当に入れ替えると
φ(P_i) = φ(Q_i), i = 1, ..., r となる。
よって、P_i = Q_i, i = 1, ..., r となり、
I^2 = P + (a^2)A となる。
証明終
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