- 572 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 15:31:35 ]
- 命題
Krull次元１の正則局所環は離散付値環である。
証明
A をKrull次元１の正則局所環、m をその極大イデアルとする。
定義より dim(m/m^2) = 1 である。
よって、>>569 より m は一個の元 t で生成される。
t がベキ零とすると m もベキ零となる。m^r = 0 とする。
p を A の任意の素イデアルとすると m^r ⊂ p だから
m = p となる。よって dim(A) = 0 となり dim(A) = 1 に反する。
よって t はベキ零でない。
>>568 よりA は離散付値環である。
証明終
