- 607 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 18:14:03 ]
- 命題
一意分解整域は整閉である。
証明
A を一意分解整域とし、K を A の商体とする。
a/b ∈ K が A 上整とする。ここで、a ∈ A, b ∈ A, a ≠ 0, b ≠ 0。
a, b は互いに素と仮定してよい。
a/b は A 上整だから、整数 n > 0 があり、
(a/b)^n + (a_1)(a/b)^(n-1) + ... + (a_(n-1))(a/b) + a_n = 0
となる。ここで、各 a_i ∈ A。
この等式の両辺に b^n を掛けて、
a^n + (a_1)ba^(n-1) + ... + a_(n-1)(b^(n-1))a + (a_n)b^n = 0
左辺の a^n 以外の項は b で割れる。よって a^n も b で割れる。
b を割る素元 p があるとすると、p は a も割ることになり、
a, b は互いに素という仮定に反する。
よって b は単元である。したがって、a/b ∈ A となる。
証明終
