- 669 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 17:47:41 ]
- 補題
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するとする。
P を零でない素イデアルとし、I を P ⊂ I で P ≠ I となる
イデアルとする。このとき P = PI となる。
証明
PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。
I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、
a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。
>>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。
I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、
P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A となる。
x ∈ P とすると、x = y + za + (a^2)b となる。
ここで、y ∈ P^2, z ∈ P, b ∈ A である。
これから、(a^2)b ∈ P となる。a^2 は P に含まれないから
b ∈ P である。
よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。
証明終
