- 955 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/15(水) 11:00:28 ]
- 補題
A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。
I を A のイデアルとする。
Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる
(rad の記号については前スレの164参照)。
証明
M の生成元を ω_1, ..., ω_n とする。
x ∈ Ann(M/IM) とする。
xM ⊂ IM となる。
よって、以下の関係式が成立つ。
xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n
ここで、各 a(i,j) は I の元。
前スレの505の証明と同様にして、
モニックな n 次の多項式 f(X) ∈ A[X] で、
その X^n 以外の係数がすべて I に属すものがあり、f(x)M = 0 となる。
よって、f(x) ∈ Ann(M) である。
よって、x^n ∈ Ann(M) + I となる。
これは x ∈ rad(Ann(M) + I) を意味する。
証明終
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