- 814 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 12:02:06 ]
- 次の命題は >>616 をやや一般にしたもの。
命題
A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。
つまり、I は A の非零因子を含むイデアルである。
このとき、I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。
証明
I ≠ A と仮定してよい。
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
I は非退化だから各 p_i は非退化な極大イデアルである。
よって、ht(p_i) = 1 だから、
p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる
(この記法に関しては前スレの543を参照)。
>>810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
よって、>>615 の証明と同様にして、q_i = (p_i)^(n_i) となる。
前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。
証明終
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