- 566 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/21(水) 11:19:59 ]
- 補題
A をネーター局所整域 とする。
A の 極大イデアル m が単項なら ∩m^n = 0 となる。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
証明
Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、
直接証明をする。
m = 0 なら、この補題は明らかである。
よって m ≠ 0 とする。
m = At, t ∈ A とする。m ≠ 0 だから t ≠ 0 である。
I = ∩m^n とおく。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
x ∈ I とする。各整数 n > 0 に対して x ∈ m^n だから、
x = (t^n)y_n となる y_n ∈ A がある。
(t^n)y_n = (t^(n+1))y_(n+1) だから y_n = ty_(n+1)
よって Ay_n ⊂ Ay_(n+1) である。
A はネーターだから、十分大きい n に対して Ay_n = Ay_(n+1)
となる。よって y_(n+1) = (y_n)u となる u ∈ A がある。
y_n = ty_(n+1) より y_n = tu(y_n)
よって (1 - tu)y_n = 0 となる。
1 - tu ∈ A - m だから 1 - tu は可逆元である。
よって y_n = 0 となり x = (t^n)y_n = 0 である。
従って、I = 0 となる。
証明終
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