- 792 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 16:16:20 ]
- 命題
A をネーター環とする。A の任意の極大イデアル m に対して A_m が
整域なら A は有限個の整域の直積と同型である。
証明
前スレの224より、A の極小素イデアルは有限個である。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
x ∈ p_1∩...∩p_r をとる。
前スレの212, 213, 222 より、A 任意の極大イデアル m に対して、
p_i ⊂ m となるi がある
(前スレの455よりdim(A_m) が有限からも分かる)。
p_iA_m は 整域 A_m の極小素イデアルであるから 0 である。
よって xA_m = 0 である。よって s ∈ A - m で sx = 0 となる
ものがある。I = {a ∈ A; ax = 0} とおく。
I ≠ A とすると I ⊂ m となる極大イデアル m があるから矛盾と
なる。よって I = A であり、x = 0 となる。
よって、p_1∩...∩p_r = 0。
i ≠ j のとき p_i + p_j ⊂ m となる極大イデアル m があるとする。
p_i ≠ p_j だから p_iA_m ≠ p_jA_m であるが、
上で述べたように p_iA_m = p_jA_m = 0 であるがこれは有り得ない。
よって p_i + p_j = A である。
よって中国式剰余定理(前スレの341)より
A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。
証明終
|
 |
