- 726 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:30:47 ]
- 命題(園による)
A を体でないネーター整域とする。
A の任意の極大イデアル m に対して m と m^2 の間に真のイデアル
がないとする。このとき、A はDedekind整域である。
証明
m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって
A が体でないことに矛盾する。よって m ≠ m^2 である。
a ∈ m - m^2 をとる。m と m^2 の間に真のイデアルがないから
m = m^2 + aA である。よって dim(m/m^2) = 1 である。
よって >>724 より A_m は離散付値環である。
よって >>725 より A はDedekind整域である。
証明終
