補題 A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。 B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)なら A:M = Hom(M, A) である。
証明 x ∈ A:M に対して φ(x) ∈ Hom(M, A) を φ(x)(y) = xy で定義する。
x に φ(x) を対応させることにより、 射 φ: A:M → Hom(M, A) が得られる。
>>434 より、s ∈ M ∩ S がある。 ここで、S は A の非零因子全体の集合である。 よって、φ(x) = 0 なら xs = 0 より x = 0 となる。 よって、φ は単射である。
f ∈ Hom(M, A) とする。 M ⊂ B だから、x ∈ M に対して tx ∈ A となる t ∈ S がある。 f(x) = f(stx)/st = txf(s)/st = xf(s)/s よって、f(x) = φ(f(s)/s)(x) となる。 即ち、f = φ(f(s)/s) である。 よって、φ は全射でもある。 証明終
