- 531 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:42:35 ]
- 命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。
他方、>>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を
φ(x) = Ax で定義出来る。
このとき、Ker(cl) = Im(φ) となる。
証明
M ∈ Ker(cl) とする。
cl(M) = cl(A)、つまり、M は A-加群として A と同型である。
これから、M = Ax, x ∈ U(B) となる。
よって、Ker(cl) ⊂ Im(φ) である。
逆の包含関係は明らか。
証明終
