- 862 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 16:35:49 ]
- 命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
IA_p = JA_p が I ⊂ p または J ⊂ p となる
A の高さ１の素イデアル p で成立つなら、
I = J である。
証明
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
>>861より ht(p_i) = 1 である。
よって、p_i は Supp(A/I) の極小元である(>>851 の証明からも分かる)。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる
(この記法に関しては前スレの543を参照)。
I ⊂ p とならない高さ１の素イデアル p に対しては
IA_p = A_p である。以上から I は A のすべての高さ１の素イデアル
p に対する IA_p で一意に決まる。
J についても同様だから、本命題の仮定より I = J となる。
証明終
|
 |
