代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ] さぁ、好きなだけ語れ。 シロート厳禁、質問歓迎！ 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 577 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/22(木) 17:58:32 ] >>574 「king 氏ね」は公理だ。 578 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/22(木) 18:09:50 ] talk:>>577 お前に何が分かるというのか？ 579 名前：GiantLeaves ◆Ox1b3ANLCs [2005/12/22(木) 18:10:52 ] talk:>>576>>577 人の名前を語って数学板を荒らしてるのはお前らか 580 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/22(木) 18:16:58 ] >>579 誰の名前だよ？ 581 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 19:00:32 ] 定義 A をking局所環、m をその極大イデアルとする。 yojo(A) = sex(m/m^2) となるとき、A を包茎局所環と呼ぶ。 582 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 19:06:49 ] 命題 A を包茎局所環とする。 このとき、アーベル群としての射 I(A) → Cli(A) は 同型 I(A)/Pi(A) = Cli(A) を誘導する。 ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。 証明 明らかである。 583 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 19:55:32 ] なんで インポ／ピピ＝クリ になるの？ 584 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 21:33:53 ] 命題 A を整閉整域とし、S を A の積閉部分集合とする。 A_S は整閉である。 証明 K を A の商体とし、x ∈ K が A_S 上整とする。 x^n + (a_1/s)x^(n-1) + ... + (a_(n-1)/s)x + a_n/s = 0 ととしてよい。ここで、各 a_i ∈ A で, s ∈ S この等式の両辺に s^n を掛けて、 (sx)^n + a_1(sx)^(n-1) + ... + a_(n-1)s^(n-2)(sx) + (a_n)s^(n-1) = 0 となる。よって、sx は A 上整である。 A は整閉だから、sx ∈ A となる。 つまり、x ∈ A_S となる。よって A_S は整閉である。 証明終 585 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 21:40:55 ] 命題 A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１(前スレの379)の 素イデアルとする。このとき A_p は離散付値環である。 証明 >>584 と >>555 より。 586 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 21:57:15 ] >>553 >a を m の非零元とする。 この行は削除。 587 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/22(木) 22:06:47 ] >>586 書き込む前に良く確認しようね。 588 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 22:09:32 ] >>582 ＞ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。 この部分、短小イデアル群を短小イデアル類群に置き換え。 589 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 22:31:31 ] 補題 A をネーター整閉整域とし、m を A の極大イデアルとする。 a を A の元とする。 m ∈ Ass(A/aA) なら A は離散付値環である。 証明 >>550 と同様にして A:m ≠ A となる。 A は整閉だから >>553 と同様にして m は可逆となり、 したがって単項となる。よって、>>567 より A は離散付値環である。 証明終 590 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 22:47:58 ] >>589 >A をネーター整閉整域とし、 A を整閉なネーター局所整域とし、 591 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/23(金) 01:33:35 ] びっくり 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:さげ [2005/12/23(金) 01:34:31 ] びっくり 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:?3?° [2005/12/23(金) 01:36:47 ] び 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:?3??? [2005/12/23(金) 01:41:54 ] びびび 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:?3??? [2005/12/23(金) 01:45:04 ] びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:?A?L?? [2005/12/23(金) 04:22:35 ] びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:?A?L?? [2005/12/23(金) 04:23:37 ] >>582 ＞ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。 この部分、短小イデアル群を短小包茎イデアル類群に置き換え。 598 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/23(金) 04:34:04 ] 1001 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:さげ [2005/12/23(金) 07:52:58 ] 1 600 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/23(金) 07:54:49 ] アッという間に600がすぎた 年末年始の間にはスレが消えていることだろう 601 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 10:47:11 ] 定義 １次元のネーター整閉整域をDedekind整域またはDedekind環と呼ぶ。 602 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 10:59:10 ] >>589 >a を A の元とする。 a ≠ 0 を A の元とする。 603 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 11:00:59 ] 命題 A をネーター整閉整域とし、a ≠ 0 を A の元とする。 p ∈ Ass(A/aA) なら ht(p) = 1 である。 証明 前スレの 95 より Ass(A_p/aA_p) = Ass(A/aA) ∩ Spec(A_p) である。 よって、p ∈ Ass(A_p/aA_p) となる。 >>589 より A_p は離散付値環である。 よって、ht(p) = 1 である。 証明終 604 名前：9208 ◆4etoz7nPdA mailto:sage [2005/12/27(火) 13:12:43 ] >>602 良く考えて投稿したらどうか？ 605 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 13:51:35 ] 命題 A をネーター整閉整域とする。 A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。 証明 a, b ∈ A, b ≠ 0 で a ∈ bA_p が任意の ht(p) = 1 の 素イデアル p について成立てば、a ∈ bA となることを示せばよい。 I = {x ∈ A; xa ∈ bA} とおく。I = A が言えればよい。 I ≠ A と仮定する。Ia ⊂ bA だから、I ⊂ p となる p ∈ Ass(A/bA) がある(前スレの90)。>>603 より ht(p) = 1 である。 仮定より、a ∈ bA_p であるから、sa ∈ bA となる s ∈ A - p がある。よって s ∈ I だが、これは I ⊂ p に矛盾する。 証明終 606 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/27(火) 16:10:32 ] 　　　　／￣￣￣￣＼ 　　　２７歳で日本数学会は下らないと悟った。 　　　（　　人＿＿＿＿） 　　３０歳でフィールズ賞も下らないと分かった。 　　　 |ミ/　　ー◎-◎-） 　　３３歳で下らない建部賞を贈られた。 　　　（６　　　　　(_　_)　） 　　３６歳でアカポスを諦めた。 　　＿_|　∴　ノ　　３　 ﾉ　　　 ３９歳で自分自身を諦めた。 　（＿_/＼＿＿＿＿_ノ 　　　　 だから愚痴はかみ殺してた。 　/　（ 　　))　　　　　 ))）　　　「アカポスはコネ」が口癖。 []＿__.|　｜ラブひな命 ヽ 　　　自分を相手にしない公募は糞以下だと気づてたから。 ｜[]　.|＿|＿＿>>1＿＿＿） 　　　言えば僻みになるから負け惜しみになるからダサいから、 　＼_（＿_）三三三[□]三）　　　　ずっとかみ殺してた。 　　／（＿）＼:::::::::::::::::::::::|　　　　　　でも２ちゃんで言ったら最高に笑えた。 　｜Sofmap｜:::::::::/:::::::/ 　　　　　　「川北君に嫉妬したInvent崩れが、女児を刺す！ｗ」 　（＿＿＿＿_）;;;;;/;;;;;;;/ 　　　　　（＿＿＿[）＿[） 　　　　　　　　本当に心の底から笑えた…。 607 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 18:14:03 ] 命題 一意分解整域は整閉である。 証明 A を一意分解整域とし、K を A の商体とする。 a/b ∈ K が A 上整とする。ここで、a ∈ A, b ∈ A, a ≠ 0, b ≠ 0。 a, b は互いに素と仮定してよい。 a/b は A 上整だから、整数 n > 0 があり、 (a/b)^n + (a_1)(a/b)^(n-1) + ... + (a_(n-1))(a/b) + a_n = 0 となる。ここで、各 a_i ∈ A。 この等式の両辺に b^n を掛けて、 a^n + (a_1)ba^(n-1) + ... + a_(n-1)(b^(n-1))a + (a_n)b^n = 0 左辺の a^n 以外の項は b で割れる。よって a^n も b で割れる。 b を割る素元 p があるとすると、p は a も割ることになり、 a, b は互いに素という仮定に反する。 よって b は単元である。したがって、a/b ∈ A となる。 証明終 608 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/27(火) 19:14:01 ] >>606 建部崩れの専門は、ヘルス巡り。月給１０万で 最近はほとんど逝けず、激しく意気消沈なのれしたｗ 609 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 13:48:56 ] 命題 A をネーター整域とする。 A が整閉であるためには以下の条件が必要十分である。 1) A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は離散付値環である。 2) A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。 証明 A はネーター整閉整域とする。 >>585 より 1) が成立つ。 >>605 より 2) が成立つ。 逆にネーター整域 A が 1), 2) を満たすとする。 1) より A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は 一意分解整域だから、>>607 より A_p は整閉である。 よって、2) より A も整閉である 証明終 610 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/28(水) 13:54:17 ] 138 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 11:44:27 多元数理研の由来は多元環からきてるの？ だとすると代数系に重点を置いてるのかな 139 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 13:24:44 >>138 そんなわけないだろ。 それは吉田正章が言った冗談。 本当の由来はある教授が四方教授と本部の事務官の前で言った「冗談」 611 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 14:58:27 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。 証明 p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の単項イデアルである。 A はネーターだから、I は A-加群として有限表示を持つ。 よって、>>235 より I は射影的である。 I ≠ 0 だから I は非退化(>>431)である。 よって、>>511 より I は可逆である。 証明終 612 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 16:07:07 ] 補題 A を整域とする。 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。 証明 x ∈ ∩A_m とし、I = {a ∈ A; ax ∈ A} とおく。 I = A と仮定する。I ⊂ m となる極大イデアル m がある。 x ∈ A_m であるから、sx ∈ A となる s ∈ A - m があり、 s ∈ I に矛盾。 証明終 613 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 16:13:20 ] 命題 A を体でない整域とする。A の任意の非零イデアルが可逆(>>430)なら、 A はDedekind整域(>>601)である。 証明 >>504 より可逆イデアルは有限生成である。 よって、A はネーターである。 p を A の非零素イデアルとする。 p は可逆だから、>>509 より p は階数１(>>253)の射影加群である。 よって、>>191 より pA_p は階数１の自由加群である。 つまり、pA_p は、単項イデアルである。 よって、>>567 より A_p は離散付値環である。 よって、ht(p) = 1 である。これから dim(A) = 1 となる。 よって、A の非零素イデアルと極大イデアルは同じものである。 >>612 より A = ∩A_p (p は A の極大イデアル全体を動く)であり、 >>607 より 各 A_p は整閉だから、A も整閉である。 以上で、A は１次元のネーター整閉整域、つまりDedekind整域で あることがわかった。 証明 614 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/28(水) 16:16:04 ] まだ写経してるのか。 615 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 17:22:31 ] 補題 A をネーター整域とする。 m をその極大イデアルとする。 任意の整数 n > 0 に対して m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。 証明 Supp(A/m^n) = {m} だから前スレの 166 よりAss(A/m^n) = {m} である。 よって、m^n は準素イデアルである。 よって、前スレの 198 より m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。 証明終 616 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 17:31:23 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に分解される。 証明 I ≠ A と仮定してよい。 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 I ≠ 0 だから各 p_i は極大イデアルである。ht(p_i) = 1 だから、 p_i は Supp(A/I) の極小元である。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。 >>585 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。 よって、>>615 より、q_i = (p_i)^(n_i) となる。 前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。 証明終 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/02(月) 04:40:51 ] 381 618 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/06(金) 10:30:47 ] 早く崩れろ 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/08(日) 17:02:11 ] ここは208の独断場ではない 620 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/08(日) 17:33:38 ] >>619 ここは 9208 の希望によって俺が 9208 の為に立てたスレだ。 趣旨を尊重してもらおう。 数学的内容に関しての、質問、まじめな異論なら歓迎だ。 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/08(日) 17:52:07 ] >>620 お前の独壇場でもない。 622 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 13:23:36 ] 命題 kingはKrull次元１の正則局所環である。 証明 明らかではない。 623 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 17:32:41 ] Krull と聞くと、ケロロ軍曹を思い浮かべる漏れって数学に向いてない？ 624 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:22:58 ] talk:>>622 私は代数幾何学の専門家ではないぞ。 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 18:27:38 ] >>624 お前何もできないじゃん。 626 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:32:23 ] talk:>>625 お前に何が分かるというのか？ 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 18:41:07 ] >>626 kingがあほなこと。 628 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:45:59 ] talk:>>627 お前に何が分かるというのか？ 629 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 20:15:39 ] >>628 talk:>>627 お前に何が分かるというのか？ あんた、他の言い方知らないの？ 630 名前：GiantLeaves mailto:sage [2006/01/10(火) 23:33:31 ] talk:>>629 お前に何が分かるというのか？ 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 23:37:09 ] talk:>>630 お前に何が分かるというのか？ 632 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 07:40:43 ] talk:>>629 お前に何が分かるというのか？ 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 08:47:24 ] talk:>>632 お前に何が分かるというのか？ 634 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/11(水) 09:47:27 ] 補題 A を整域とする。 a ∈ A, a ≠ 0 とする。 aA = IJ となる A のイデアル I, J があるとする。 このとき、I と J は可逆(>>430)である。 証明 aA = IJ だから、IJ(1/a) = A となる。 よって、I と J は可逆である。 証明終 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 10:56:52 ] talk:>>634 お前に何が分かるというのか？ 636 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 11:51:07 ] talk:>>633 お前に何が分かるというのか？ 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 12:28:55 ] talk:>>636 お前に何が分かるというのか？ 638 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 12:35:48 ] talk:>>637 お前に何が分かるというのか？ 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 13:20:51 ] talk:>>638 お前に何が分かるというのか？ 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 13:30:59 ] talk:>>639 お前に何が分かるというのか？ 641 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 14:50:02 ] talk:>>639 お前に何が分かるというのか？ 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 15:02:19 ] talk:>>641 お前に何が分かるというのか？ 643 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 15:06:55 ] talk:>>641 お前に何が分かるというのか？ 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 16:57:39 ] talk:>>1-643 おまいらに何が分かるというのか？ 645 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:02:01 ] talk:>>642 お前に何が分かるというのか？ 646 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:02:36 ] talk:>>643 お前に何が分かるというのか？ 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 18:08:43 ] talk:>>645 お前に何が分かるというのか？ 648 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 18:12:01 ] talk:>>645 お前に何が分かるというのか？ 649 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:16:33 ] talk:>>647-648 お前に何が分かるというのか？ 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 18:46:06 ] talk:>>649 お前に何が分かるというのか？ 651 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 18:51:50 ] >>635-650 お前らに何が分かるというのか？ 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 19:00:46 ] talk:>>651 お前に何が分かるというのか？ 653 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 20:10:44 ] talk:>>650 お前に何が分かるというのか？ 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 20:20:58 ] talk:>>653 お前に何が分かるというのか？ 655 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 20:24:25 ] talk:>>653 お前に何が分かるというのか？ 656 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 20:34:00 ] >>652-655 お前らに何が分かるというのか？ 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 22:10:19 ] king よ！ ここを去れ！ゴミに反応するな。 658 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 22:22:11 ] >>1-657 お前ら、俺様のスレを荒らすなよ！ 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 22:48:46 ] >>658　あんた誰？ 660 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 07:05:45 ] talk:>>654-655 お前に何が分かるというのか？ talk:>>657 私を呼んだか？ 661 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 10:28:57 ] 補題 A を整域とする。 a ∈ A, a ≠ 0 とする。 aA = (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。 このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。 証明 P_1 を {P_1, ..., P_r} の極小元とする。 (Q_1)...(Q_s) ⊂ P_1 だから Q_i ⊂ P_1 となる i がある。 必要なら番号を付けかえて i = 1 と仮定する。 (P_1)...(P_r) ⊂ Q_1 だから P_j ⊂ Q_1 となる j がある。 P_j ⊂ Q_1 ⊂ P_1 だから P_1 の極小性より P_j = P_1 である。 よって、P_1 = Q_1 となる。 >>634より、P_1 は可逆である。 (P_1)(P_2)...(P_r) = (P_1)(Q_2)...(Q_s) の両辺に (P_1)^(-1) を掛けると、(P_2)...(P_r) = (Q_2)...(Q_s) となる。 これから、r に関する帰納法により本補題の主張が得られる。 証明終 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 10:49:17 ] talk:>>660 お前に何が分かるというのか？ 663 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 11:44:02 ] talk:>>662 お前に何が分かるというのか？ 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 12:20:04 ] talk:>>663 お前に何が分かるというのか？ 665 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 13:00:06 ] 補題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するとする。 P を A の素イデアルとし、a を A の元で P に含まれないものとする。 I = P + aA とする。このとき、I^2 = P + (a^2)A となる。 証明 I^2 = (P_1)...(P_r), P + (a^2)A = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。 φ: A → A/P を標準射とする。 φ(I^2) = φ(P_1)...φ(P_r) であり、 φ(I^2) = φ((P + aA)^2) = φ((a^2)A) である。 他方、φ(P + (a^2)A) = φ(Q_1)...φ(Q_s) であり、 φ(P + (a^2)A) = φ((a^2)A) である。 よって、φ((a^2)A) = φ(P_1)...φ(P_r) = φ(Q_1)...φ(Q_s) となる。 各 P_i にたいして、I^2 ⊂ P_i だから I ⊂ P_i となる。 よって P ⊂ P_i である。 各 Q_j にたいして、P ⊂ Q_j は明らか。 よって、φ(P_i), φ(Q_j) は A/P の素イデアルである。 >>661より、r = s であり、順序を適当に入れ替えると φ(P_i) = φ(Q_i), i = 1, ..., r となる。 よって、P_i = Q_i, i = 1, ..., r となり、 I^2 = P + (a^2)A となる。 証明終 666 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 14:19:35 ] talk:>>664 お前に何が分かるというのか？ 667 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/12(木) 14:23:46 ] >>666 あらすなよ！ 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 15:04:49 ] talk:>>666 お前に何が分かるというのか？ 669 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 17:47:41 ] 補題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するとする。 P を零でない素イデアルとし、I を P ⊂ I で P ≠ I となる イデアルとする。このとき P = PI となる。 証明 PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。 I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、 a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。 >>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。 I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、 P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A となる。 x ∈ P とすると、x = y + za + (a^2)b となる。 ここで、y ∈ P^2, z ∈ P, b ∈ A である。 これから、(a^2)b ∈ P となる。a^2 は P に含まれないから b ∈ P である。 よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。 証明終 670 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 18:23:22 ] 命題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するなら、A はDedekind整域(>>601)である。 証明 P を A の零でない素イデアルとする。 a ∈ P, a ≠ 0 をとり、aA = (P_1)...(P_r) とする。 ここで各 P_i は素イデアルである。 I をイデアルとし、P_i ⊂ I, P_i ≠ I と仮定する。 >>669より、P_i = (P_i)I である。>>634 より P_i は可逆だから I = A となる。よって、各 P_i は極大イデアルである。 (P_1)...(P_r) ⊂ P だから P_i ⊂ P となる i がある。 よって P = P_i となり、P は可逆である。 A の任意の零でないイデアルは有限個の素イデアルの積であるから、 これも可逆である。>>613より A はDedekind整域である。 証明終 671 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 22:14:58 ] talk:>>667 おまえもな。 talk:>>668 お前に何が分かるというのか？ 672 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/12(木) 22:17:35 ] マジで荒らすなよ。 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 23:59:39 ] talk:>>671 お前に何が分かるというのか？ 674 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 09:29:05 ] >>661の補題の前に次の補題を書いておいたほうが良かった。 補題 A を環とする。 (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び Q_j は A の可逆な素イデアルである。 このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。 証明 >>661と同様。 675 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 09:45:55 ] >>670 >A を整域とする。 A を体でない整域とする。 676 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 09:47:57 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて 一意的に分解される。 証明 分解の可能なことは、>>616 で証明されている。 一意性は>>611と>>674から出る。 証明終 677 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 12:19:37 ] 定義 A を整域とし、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I が次の条件を満たすとき I を A の分数イデアル と呼ぶ。 1) I ≠ 0 2) K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。 678 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 12:27:38 ] 命題 A を整域とし、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I ≠ 0 が有限生成なら分数イデアル(>>677)である。 A がネーター整域なら逆も成立つ。 証明 明らかだろう。 679 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 13:50:44 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。 A の分数イデアルと K の A-可逆部分加群(>>430) は同じものである。 証明 I を A の分数イデアルとする。 K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。 xI = J とおけば、J は A の非零イデアルであるから >>611 より 可逆である。I = J(1/x) だから I も可逆である。 逆に、K の A-可逆部分加群は、>>504 より A-加群として有限生成 であるから >>678 より分数イデアルである。 証明終 680 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 09:46:37 ] >>676 一意性は>>611と>>674から出る。 >>616の証明からも一意性は明らか。 681 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 10:01:19 ] >>634の補題は次のより一般的な補題の系としたほうがよかった。 補題 A を環とし、B を A の全商環(>>362)とする。 M, N を B の A-部分加群とする。 MN が可逆(>>430)なら、M と N も可逆である。 証明 MN が可逆だから、(MN)L = A となる B の A-部分加群 L がある。 よって、M の逆加群は NL であり、N の逆加群は MLである。 証明終 682 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 10:07:04 ] >>669 の証明は以下のようにほんのわずか修正したほうが分かりやすい。 証明 PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。 I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、 a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。 >>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。 I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、 P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A ⊂ P^2 + aA となる。 よって、x ∈ P とすると、x = y + ab となる。 ここで、y ∈ P^2, b ∈ A である。 これから、ab ∈ P となる。a は P に含まれないから b ∈ P である。 よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。 証明終 683 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 10:17:44 ] >>670 の証明(の本質部分)は、松村(1980年頃)にも Zariski-Samuel(1958年)にも載っているが、 秋月・永田の近代代数学(1957年)にもある。 ただし、この本の証明はやや分かりにくい (本質的には我々のと同じだが)。 この本の備考に、この証明は浅野の代数学１(岩波)からとったとある。 ただし、これだけからは浅野がこの証明の最初の考案者かどうかは 分からない。 684 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 12:02:32 ] 補題 A を整域とする。 I, J を A の分数イデアル(>>677)とする。 IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。 証明 K を A の商体とする。 K の元 x ≠ 0 と y≠ 0 で xI ⊂ A, yJ ⊂ A となるものがある。 x = a/b, a ∈ A, b ∈ A とすると、aI ⊂ bA ⊂ A だから、 x, y は A の元と仮定してよい。 xyIJ ⊂ A, xy(I + J) ⊂ A, xy(I ∩ J) ⊂ A は明らか。 分数イデアルの定義(>>677) より I ≠ 0, J ≠ 0 である。 A は整域だから、IJ ≠ 0 である。 I + J ≠ 0 は明らか。 xyIJ ⊂ xI ∩ yJ ⊂ I ∩ J だから、I ∩ J ≠ 0 である。 証明終 685 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 12:48:22 ] >>681 しつこいけど、この補題は単位半群、即ちモノイドにおける 命題として定式化出来るね。 686 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:02:58 ] 定義 A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。 M, N を B の A-部分加群とする。 B の部分集合 {x ∈ B; xN ⊂ M} はA-部分加群である。 これを、(M : N) と書く。 687 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:03:38 ] 補題 A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。 M, N_1, N_2 を B の A-部分加群とする。 (M : N_1 + N_2) = (M:N_1) ∩ (M:N_2) である。 証明 明らか。 688 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:04:55 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M を K の A-部分加群とする。 x ≠ 0 を K の元とすると、(M : xA) = M(1/x) である。 証明 明らか。 689 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:07:49 ] 補題 A を整域とする。 M, N を A の分数イデアル(>>677)とする。 N が A-加群として有限生成なら、(M : N) も分数イデアルである。 証明 >>684, >>687, >>688 よりでる。 証明終 690 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:52:12 ] 命題 A を環、B を平坦な A-代数(>>221)とする。 L を A-加群、M, N を L の A-部分加群とする。 (M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。 ここで、(M ∩ N)(x)B, M(x)B, N(x)B は、B の平坦性により、 それぞれ L(x)B の部分加群と見なしている。 証明 完全列 0 → M ∩ N → L → L/M + L/N (直和) より、完全列 0 → (M ∩ N)(x)B → L(x)B → (L/M)(x)B + (L/N)(x)B (直和) が得られる。 B の平坦性により、 (L/M)(x)B = (L(x)B)/(M(x)B), (L/N)(x)B = (L(x)B)/(N(x)B) だから、 (M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。 証明終 691 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 14:04:44 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M, N を K の A-部分加群とする。 S を A の積閉集合とする。 N が A-加群として有限生成なら、 (M : N)_S = (M_S : N_S) である。 証明 N が１個の元で生成されるときは、>>688 より明らか。 一般のときは、>>687 と >>690 より出る。 証明終 692 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 14:34:32 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M, N を K の有限生成 A-部分加群とする。 A のすべての極大イデアル m に対して MA_m = NA_m なら M = N である。 証明 A のすべての極大イデアル m に対して NA_m ⊂ MA_m なら N ⊂ M であることを示せばよい。 I = {x ∈ A; xN ⊂ M} とおく。I は A のイデアルである。 N の生成元を x_1, ..., x_n とする。 NA_m ⊂ MA_m より、(s_i)(x_i) ⊂ M となる s_i ∈ A - m がある。 s = (s_1)...(s_n) とすれば、sN ⊂ M となる。 よって s ∈ I となる。s ∈ A - m だから、I は m に含まれない。 m は A の任意の極大イデアルだから I = A である。 よって、特に 1 ∈ I だから、N ⊂ M である。 証明終 693 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 16:00:23 ] 次の命題は >>235 などを使っても証明出来るが、別の証明を述べる。 命題 A をネータ整域とし、K をその商体とする。 M を A の分数イデアル(>>677)とする。 A のすべての極大イデアル m に対して MA_m が K の A_m -部分加群として可逆(>>430)なら、 M は A-部分加群として可逆(>>430)である。 証明 m を A の任意の極大イデアルとする。 MA_m = M_m は可逆だから >>503 より (M_m)(A_m ; M_m) = A_m である。 一方、A はネーターだから、>>678 より M は有限生成である。 よって、>>691 より M(A : M)A_m = (M_m)(A_m ; M_m) である。 よって、M(A : M)A_m = A_m である。 >>689 より (A : M) は分数イデアルである。 A はネーターだから、>>678 より (A : M) は有限生成である。 よって、M(A : M) も有限生成である。 よって、>>692 より M(A : M) = A となる。 証明終 694 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 16:11:49 ] >>611 の命題の別証明 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。 証明 p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の可逆イデアルである。 >>693 より I は可逆である。 証明終 695 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/16(月) 16:21:25 ] いつも何してるんですか。 思い切って聞いてみました。 696 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 17:36:36 ] ゆんゆんちゃんが黙殺されますた。ご愁傷様でつ。 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/16(月) 17:41:44 ] ゆんゆんて誰？　kingみたいな人？ 698 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 17:44:40 ] kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！ 699 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/16(月) 17:48:12 ] talk:>>698 なんだと？ 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/16(月) 18:03:59 ] >>698 ははー、失礼いたしますた。 kingより偉いことはわかったでつ。もう少し、く・わ・し・く！ 701 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 18:06:08 ] >>699 ×：kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！ 〇：king殿はずっと偉いお方じゃ！無礼者め！ 702 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 18:07:22 ] >>700 ふむ。良きに計らえ。 703 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/16(月) 18:52:04 ] >>698 kingとスレ主比べてるんでしょ？ 9208 ◆lJJjsLsZzw さん、お邪魔しました。 704 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/16(月) 19:49:22 ] talk:>>701 I'm the King of kings. 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/16(月) 19:53:12 ] >>704 知らない間にボキャが増えたね。 706 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/16(月) 19:59:27 ] talk:>>705 何だよ？ 707 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 09:30:11 ] >>677の分数イデアルの定義は A が整域とは限らない場合には 以下のようになる。 定義 A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。 B の A-部分加群 M が次の条件を満たすとき M を A の分数イデアル と呼ぶ。 1) M は非退化(>>431)である。 2) A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 708 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 09:54:42 ] 命題 A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。 M を B の A-部分加群とする。 M が A の分数イデアル(>>707)であるためには次の条件が 必要十分である。 A の非零因子 s で sA ⊂ M ⊂ A(1/s) となるものがある。 証明 M が A の分数イデアルであるとする。 M は非退化だから >>434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの がある。一方、分数イデアルの定義より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 st ∈ M で stM ⊂ sM ⊂ A だから M ⊂ A(1/st) である。 よって、stA ⊂ M ⊂ A(1/st) である。 条件が十分なことは明らか。 証明終 709 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 10:41:02 ] >>676の別証 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて 一意的に分解される。 証明 A の極大イデアル p に対して IA_p ≠ A_p となるためには I ⊂ p が必要十分である。これは明らかだろう。 A の非零素イデアルは極大だから、Supp(A/I) は 極大イデアルのみからなる。よって前スレの166より、 Ass(A/I) = Supp(A/I) となるから、Supp(A/I) は有限個である。 Supp(A/I) = {p_1, ..., p_r} とする。 >>585 より各 A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。 J = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) とおく。 容易にわかるように、IA_(p_i) = JA_(p_i) である。 極大イデアル p が集合 {p_1, ..., p_r} に含まれないときは、 IA_p = A_p = JA_p である。 よって、>>692 より I = J である。 証明終 710 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/17(火) 11:38:04 ] A をDedekind整域(>>601)とする。 p を A の極大イデアルとする。 >>585より A_p は離散付値環である。 よって pA_p は単項イデアルである。 この生成元を t とする。t ∈ A_p だから t = a/s, a ∈ p, s ∈ A - p と書ける。 s は A_p の可逆元だから、(a/s)A_p = aA_p である。 よって、t ∈ p と仮定してよい。 x ≠ 0 を K の元とする。xA_p = (t^n)A_p となる 整数 n が一意に定まる。n = ν_p(x) と書く。略してν(x)とも書く。 明らかに ν(x) は t の選び方によらない。 711 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 12:28:33 ] >>710 の ν_p(x) は x = 0 のときに ν_p(x) = ∞ と定義する。 こう定義したとき、ν_p を p で定まる離散付置と呼ぶ。 712 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 12:31:07 ] >>711 >こう定義したとき、ν_p を p で定まる離散付置と呼ぶ。 離散付値 713 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 12:34:06 ] 付値論については後でやる予定。 ここでは単に用語の定義だけ。 714 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 12:50:42 ] A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>585より A_p は離散付値環である。 よって p で定まる離散付置ν_pが >>710 とまったく同様に定義出来る。 715 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 12:59:21 ] 補題 A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１の素イデアルとする。 ν_p を p で定まる離散付置(>>714)とすると、任意の整数 n ≧ 0 に対して p^(n) = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。 ここで、p^(n) = A ∩ (p^n)A_p つまり p の記号的 n-乗(前スレの348)。 証明 (p^n)A_p = {x ∈ K; ν_p(x) ≧ n} は ν_p の定義より明らか。 よって p^(n) = A ∩ (p^n)A_p に注意すればよい。 証明終 716 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 13:03:43 ] 補題 A をDedekind整域(>>601)とし、p を A の極大イデアルとする。 ν_p を p で定まる離散付置(>>711)とすると、任意の整数 n ≧ 0 に対して p^n = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。 証明 >>715 と p^n = A ∩ (p^n)A_p より明らか。 証明終 717 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 16:03:41 ] >>716 >p^n = A ∩ (p^n)A_p より明らか。 これは >>615 からわかる。 718 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 17:27:38 ] 命題 A をネーター整閉整域ととする。 I を A のイデアルで、Ass(A/I) = {p_1, ..., p_r} で 各 i で ht(p_i) =1 とする。IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。 このとき、I = {x ∈ A; ν_p_i(x) ≧ n_i, i = 1, ..., r} となる。 証明 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 ht(p_i) = 1 だから、p_i は Supp(A/I) の極小元である。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。 よって >>715 より本命題の主張が得られる。 証明終 719 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 17:30:40 ] ×離散付置 ○離散付値 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/17(火) 19:34:16 ] このすれに現れたゆんゆんなるもの、実は男らしい。ウゲェー。 721 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 06:28:36 ] ×離散付値 ○離散賦値 722 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/18(水) 07:59:33 ] おはよーございます、9208 ◆lJJjsLsZzw さん。 ちょっと失礼・・・ >>720聞き捨てならねーな。 723 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 09:07:16 ] >>722 ネカマだろ？ 724 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:14:14 ] Dedekind整域のもう１つの特徴付けを述べるのを忘れていた。 以下、それを述べる。 補題 A をネーター局所整域とし、m をその極大イデアルとする。 dim(m/m^2) = 1 なら A は離散付値環である。 ここで、dim(m/m^2) は m/m^2 の 体 A/m 上のベクトル空間として の次元である。 証明 >>569より m は単項イデアルである。 よって >>568より A は離散付値環である。 証明終 725 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:28:19 ] 補題 A を体でないネーター整域とする。 A の任意の極大イデアル m に対して A_m が離散付値環なら A は Dedekind整域である。 証明 m を A の極大イデアルとする。 A_m は離散付値環だから、ht(m) = 1 である。 これから dim(A) = 1 である。 >>612より、 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。 >>607 より各 A_m は整閉だから、A も整閉である。 以上から A は １次元のネーター整閉整域すなわち Dedekind整域である。 証明終 726 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:30:47 ] 命題(園による) A を体でないネーター整域とする。 A の任意の極大イデアル m に対して m と m^2 の間に真のイデアル がないとする。このとき、A はDedekind整域である。 証明 m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって A が体でないことに矛盾する。よって m ≠ m^2 である。 a ∈ m - m^2 をとる。m と m^2 の間に真のイデアルがないから m = m^2 + aA である。よって dim(m/m^2) = 1 である。 よって >>724 より A_m は離散付値環である。 よって >>725 より A はDedekind整域である。 証明終 727 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:43:33 ] >>726 >m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって m = m^2 とすると mA_m = m^2A_m となって、 中山の補題(前スレの242)より mA_m = 0 よって m = 0 となって 728 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 10:57:17 ] レス番号が800になる前に「代数的整数論３」のスレを誰か作って くれないかな。レス番号が800になった時点でそっちに移りたいから。 そうするとこのスレは少しは生き延びるから後の参照に便利だろう。 729 名前：king 氏 mailto:sage [2006/01/18(水) 11:25:37 ] >>728 は？誰の厄にもたたんよ。 730 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 11:34:45 ] 代数幾何の初歩を知っている人向けの解説を行う。 k を代数的閉体、X を k上の既約な代数多様体とする。 つまり、X はk上有限型の既約かつ被約な分離的スキームである。 さらに X は正規、つまり X の各閉点 p における局所環 O_p が整閉 であるとする。 簡単のため X がアフィンの場合を考える。 A = Γ(X) を X の座標環とする。 仮定より A の極大イデアル m に対して A_m は整閉である。 >>612より、 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。 よって A は整閉である。 よって >>584 より S を A の(0を含まない)積閉部分集合とすると、 A_S も整閉である。 W を X の余次元１の既約閉部分集合とする。 W の生成点を p とすれば A_p は dim(A_p) = 1 である。 A_p は上で述べたことより整閉であるから>>555より離散付値環である。 よって>>714により離散付値ν_pが定義される。 K を X の有理関数体とする。つまり K は A の商体である。 f を K の 0 でない元とする。ν_p(f) は、 f の W における零点または極の位数を表すと考えられる。 ν_p(f) > 0 のときは零点の位数をあらわし、 ν_p(f) < 0 のときは、その絶対値が極の位数を表す。 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 11:38:03 ] >>728 (非常に大雑把に言えば)一つスレを立てれば一つスレが落ちる。 スレッドは資源であり、貴方は「他人が見ても役立つだろう」という考えの下 資源を一つ消費してノート代わりにしている立場なのだという意識を忘れずに。 現行スレを一定期間二つ併存させるなんて無駄遣いしないで。 makimo.to/2ch/science4_math/1126/1126510231.html で過去ログは見れるんだし。 トップはmakimo.to/2ch/ 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 11:43:35 ] >>731 アホの相手するなよ。 好きなだけ写経させてやってくれ。 733 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 11:47:12 ] 過去ログがすぐ見れるなら>>728は撤回するけど、どうなの？ 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 11:50:07 ] >>733 確かスレが1000まで行ってから二日か三日くらいで makimo.to/2ch/で見られるようになるはず。 735 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 11:56:20 ] >>734 Thanks。なら撤回する。 736 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 12:49:13 ] 補題 A をネーター整閉整域とし、K をその商体とする。 ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。 A = {x ∈ K; すべての p ∈ P でν_p(x) ≧ 0} となる。 証明 >>605より明らか。 737 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 13:14:27 ] 定義 A をネーター整閉整域とし、I を A のイデアルとする。 Ass(A/I) の各元の高さが１のとき、I を因子的イデアルと呼ぶ。 738 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 13:41:41 ] 命題 A をネーター整閉整域とする。 ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。 (n_p) を各 p ∈ P を添字とする有理整数の列で、 各 p ∈ P にたいして n_p ≧ 0 であり、 有限個の p を除いて n_p = 0 とする。 I = {x ∈ K; 各 p ∈ P において ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、 I は因子的イデアル(>>737)である。 逆に任意の因子的イデアルは、このように表される。 証明 n_p ≠ 0 のとき q_p = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、 q_p = A ∩ p^(n_p)A_p である。つまり、q_p は p の記号的n_p乗 p^(n_p) である(前スレの348)。 前スレの351より、q_p は準素イデアルであり Ass(A/q_p) = {p} である。 よって、n_p ≠ 0 となる p の全体を p_1, ..., p_r とすれば、 I = q_p_1∩...∩q_p_r となる(>>736を考慮する) 。 これから、I が因子的なことがわかる。 逆に任意の因子的イデアルが、命題の主張のように表されることは、 >>718 と >>736 より明らか。 証明終 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 13:46:53 ] >>731 うん、うん。もっと言ってやって。 740 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 14:00:12 ] 荒しには何も言わないで何言ってやがる。 このスレの有用性は俺が宣伝するまでもないだろ。 各命題は可換代数における基礎的かつ重要なものばかり。 それに丁寧に証明を付けている。 741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 14:45:06 ] >>740 荒らし共は、本論が停滞したとき幕間繋ぎに湧き出て来るんだから、相手にするな。 その他は通り掛かりの気紛れだから、適当にあしらい気にするな。 742 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 14:59:55 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。 n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする(同じ値があっても良い)。 A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。 証明 各 i において t_i ∈ p_i - (p_i)^2 をとる。 ν_p_i(t_i) = 1 である。 中国式剰余定理(前スレの341)より、 x = (t_i)^(n_i) mod (p_i)^(n_i + 1) が各 i について成立つような x ∈ A がある。 各 i において、x = 0 mod (p_i)^(n_i) である。 x = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) と仮定すると、 (t_i)^(n_i) = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) となる。 よって、ν_p_i((t_i)^(n_i)) = n_i ≧ n_i + 1 となって矛盾。 よって、x ≠ 0 mod (p_i)^(n_i + 1) である。 以上から、ν_p_i(x) = n_i となる。 証明終 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 15:03:37 ] >>740 荒らされたくなければ sage ろ。 話はそれからだ。 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 15:03:46 ] 208の存在自体があらし 745 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 15:23:42 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。 n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする (同じ値があっても良い)。 K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。 証明 >>742より A の元 x で n_i が非負のとき ν_p_i(x) = n_i となり、 n_i が負のとき ν_p_i(x) = 0 となるものが存在する。 同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、 n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。 x/y が求めるものである。 証明終 746 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 15:31:12 ] >>745は>>730の例において、X の次元が１のとき即ち X が 代数曲線のとき、X の有限個の閉点とそこにおける 零点または極の位数を与えて関数を求める問題の答を与えている。 747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 15:32:54 ] >>746 だから sage ろよ。 748 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 15:34:29 ] sage方教えてくれｗ 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 16:10:41 ] 名前欄にfusianasan E-mail欄にtesttest 本文１行目にtesttest 750 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/18(水) 16:15:35 ] >>726 >m と m^2 の間に真のイデアルがないとする。 m と m^2 の間に真の中間イデアルがないとする。 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/18(水) 16:28:42 ] testtest >>749 あ、本当だ。簡単なんだね。ありがとう！ 752 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 16:29:51 ] ひどい自演を見た 753 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 16:33:22 ] >>749に書いてある通りにするとどうなるの？ 754 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 16:46:45 ] >>683 >浅野の代数学１(岩波) 正確には正田・浅野の代数学Ｉ(1952年)(岩波)。 この本は、van der Waerden と Weil のFoundationの第一章 の写しに近い。一般イデアル論にはわずかに独自性が見られるが。 そのくせ、van der Waerden と Weil の名はどこにも出てない。 こういうの有り？ これを知った上で前書きを読むと面白い。 755 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 17:22:54 ] >>754 前書きにはどんなことが書いてあるのですか？ その本、手元にないもので。。。 756 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 17:29:16 ] 著者独自の工夫を凝らしたが、それがどこまで成功したかは 読者の判断にまかせるというような。 記憶を頼りに書いてるので鵜呑みにされても困るが。 本当のところは本物を読んでもらうしかない。 757 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/18(水) 18:18:46 ] >>756 なるほど、なるほど。背景が透けて見えるのに、ということですね。 758 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/19(木) 09:07:34 ] >>754 >そのくせ、van der Waerden と Weil の名はどこにも出てない。 Weilの名前は出ていた。 759 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 10:07:53 ] >>745 >同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、 >n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。 同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、 n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となるものが存在する。 760 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 10:12:10 ] >>745の命題は次のように改良出来る。 命題 A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。 n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする。 K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となり、 p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0 となるものが存在する。 証明 >>742より A の元 y で n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となる ものが存在する。 n_i が非負のとき ν_p_i(y) = m_i とおく。 >>742より A の元 z で n_i が非負のときν_p_i(z) = n_i + m_i となり、n_i が負のとき ν_p_i(z) = 0 となるものが存在する。 z = z/y が求めるものである。 証明終 761 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 11:24:34 ] 補題 A をDedekind整域(>>601)とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、 x_1, ..., x_r を A の元の列、 n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする。 A の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となるものが 存在する。ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置(>>711)。 証明 中国式剰余定理(前スレの341)より明らか。 762 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 12:02:23 ] 命題(Dedekind整域における近似定理) A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、 x_1, ..., x_r を K の元の列、 n_1, ..., n_r を有理整数の列とする。 K の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となり、 p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0 となるものが存在する。 ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置(>>711)。 証明 各 n_i は正と仮定してよい。 各 x_i = a_i/s と書ける。ここで、a_i ∈ A、s ∈ A。 ν_p(s) ≠ 0 となる極大イデアル p で、p_1, ..., p_r と 異なるもの全体を q_1, ..., q_s とする。 >>761より、 A の元 b で ν_p_i(b - a_i) ≧ n_i + ν_p_i(s), i = 1, ..., r ν_q_j(b) ≧ ν_q_j(s), j = 1, ..., s と なるものが存在する。 各 i で、ν_p_i(b/s - a_i/s) = ν_p_i(b - a_i) - ν_p_i(s) ≧ n_i 各 j で、ν_q_j(b/s) = ν_q_j(b) - ν_q_j(s) ≧ 0 p が、p_1, ..., p_r, q_1, ..., q_s と異なるとき、 ν_p(s) = 0 だから、ν_p(b/s) = ν_p(b) ≧ 0 よって、x = b/s が求めるものである。 証明終 763 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 13:37:36 ] >>710, >>711 の前に次の定義を述べたほうが良かった。 定義 A を離散付値環(前スレの645)とし、K をその商体とする。 m を A の極大イデアルとする。 x ≠ 0 を K の元とする。xA = m^n となる 整数 n が一意に定まる。n = ν(x) と書く。 ν(0) = ∞ と定義する。 ここで ∞ は、任意の有理整数より大きい単なる記号と定義するだけで、 有理整数との演算は定義しない。 ν は、次の性質を持つ(証明は自明)。 1) ν(K^*) = Z、ここで K^* は K の乗法群であり、Z は有理整数環。 2) ν は K^* から Z への群としての射を定める。 つまり、 x ≠ 0, y ≠ 0 を K の元とすると、ν(xy) = ν(x) + ν(y) 3) K の元 x, y に対して ν(x + y) ≧ min(ν(x), ν(y)) ν を A で定まる離散付置とよぶ。 764 名前：king 氏 mailto:sage [2006/01/19(木) 13:57:12 ] 飽田。 765 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 13:58:27 ] 次の離散付置の性質は、定義から簡単に出るが、>>763 の 2), 3) だけからも出る。 命題 A を離散付値環とし、K をその商体とする。 ν を A で定まる離散付置とする(>>763) 。 K の元 x, y に対して ν(x) > ν(y) なら ν(x + y) = ν(y) である。 証明 x ≠ 0 と仮定してよい。 >>763 の 2) から (-1)^2 = 1 より 2ν(-1) = 0 よって ν(-1) = 0 よって ν(-x) = ν(x) である。 >>763 の 3) から ν(x + y) ≧ ν(y) である。 ν(x + y) ≧ ν(x) なら、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x) となり矛盾。 よって、ν(x + y) ≦ ν(x) である。 よって、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x + y) となる。 証明終 766 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 14:14:45 ] >>762から>>760が簡単にでる。 >>760の命題の別証(本質は同じだが) 記号の意味は>>760と同じとする。 各 i において K の元 t_i で ν_p_i(t_i) = 1 となるものをとる。 >>762から K の元 x で ν_p_i(x - (t_i)^(n_i)) ＞ n_i, i = 1, ..., r となり、 p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して ν_p(x) ≧ 0 となるものが存在する。 >>765より、ν_p_i(x) = n_i だから、この x が求めるものである。 証明終 767 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 14:33:21 ] 命題 A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)でDedekind整域(>>601) とする。A は単項イデアル整域である。 証明 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルの全体とする。 I を A の非零イデアルとする。 各 i において IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。 A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。 各 i において IA_p_i = xA_p_i だから、>>692 より I = xA である (>>692 を使わなくても I と xA のそれぞれの素イデアルの積による 分解を考えれば明らか)。 証明終 768 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/19(木) 15:27:51 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とし、I をその非零イデアルとする。 x ≠ 0 を I の任意の元とする。 I = (x, y) となる y ≠ 0 が存在する。 証明 I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。 ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。 xA ⊂ I だから、xA = IJ となるイデアル J が存在する (J = (xA)I^(-1) とすればよい). J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外 のものを q_1, ..., q_s とする。 >>742より、 各 i において ν_p_i(y) = n_i 各 j において ν_q_j(y) = 0 となるものが存在する。 yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。 よって、J + L = A である。 よって、(x, y) = IJ + IL = I(J + L) = I である。 証明終 769 名前：king 氏 mailto:sage [2006/01/19(木) 22:21:44 ] Dedeking 環 770 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/19(木) 22:26:07 ] talk:>>769 私を呼んだか？ 771 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/20(金) 10:51:31 ] 代数体(つまり有理数体の有限次拡大体)の整数論の基礎を学ぶのが このシリ−ズの目的である。 代数体というのは非常に深く神秘的とも言える対象なので、 これをいきなり直接調べるのは得策ではない。 DedekindやHilbert、高木のような古典的、直接的な方法も味があるが、 我々には彼等の時代にはなかった、可換代数やホモロジー代数、 位相群論などの強力な道具があるので、これ等を利用しない手はない。 飯高の代数幾何学(岩波)の序文の比喩をまねて、宇宙人が人間を 調べる場合を考えよう。人間固有の性質を調べるのが最終目的 としても、いきなりこれを調べるのは得策ではない。 まず、人間は動物であり、動物は生物であるから、 生物一般の性質を調べるのが先だろう。 同様に代数体の主整環は、Dedekind整域であるから、 我々はまずDedekind整域を調べることにした。 Dedekind整域はネーター整閉整域であるから、 ネーター整閉整域の一般論も有効である。 さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、 つまり類人猿の研究も有効である。 代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。 代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、 どっちがより深いとも言えないが。 772 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/20(金) 11:05:09 ] クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！ 773 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/20(金) 11:47:45 ] >>730は代数多様体について離散付値の役割を述べたが、 これは既約かつ被約で正規な分離的ネータースキームでそのまま 成立つ。特に A をネーター整閉整域として Spec(A) で成立つ。 このような見方は代数体の整数論でも有効である。 この見方からすると、Dedekind整域 A の極大イデアル p は、 A が定める幾何的対象、つまり Spec(A) の点であり、 A の商体 K の元 f は Spec(A) の有理関数と見なされる。 p が定める離散付値をν_pとすると、ν_p(f) は、f の p における 零点または極の位数を表すと考えられる。 774 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/20(金) 11:50:58 ] >>772 (@_@) ↑king召還の魔法 775 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/20(金) 12:19:46 ] talk:>>772 お前に何が分かるというのか？ talk:>>774 私を呼んだか？ 776 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/21(土) 05:00:19 ] クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！ 777 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/21(土) 05:54:34 ] てゆーか、高校で芭蕉やウェルギリウスを教えてる現状は問題ありかと。 そんなのを廃止したら時間の余裕ができるから、群・環・体にはじまって、 有限体とかｐ進体とか、２次体、円分体くらいまで、高校で出来るね。 778 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/21(土) 09:19:46 ] talk:>>776 何故[>>625]には注意しないのか？ 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/21(土) 09:53:25 ] >>777 芭蕉はわかるが、ウェルギリウスは何をやってるの？ ラテン文学は結構好きだよ。 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/21(土) 21:23:51 ] ブルバキスレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1042548616/ に書いたが、レスがないのでこちらへ。 ブルバキ可換代数第７章に 通常 Fitting ideal と呼ばれている物を絶対にこの言葉を持ち出さずに determinantal ideal としか書いてないのは何故？ 781 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/21(土) 21:41:13 ] >>780 スレ違い。 糞スレ貼るな、蛆虫が！ 誰のスレだと思って嫌がる？ あん？言ってみろ！ 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/21(土) 21:50:43 ] >>781 無知な奴は消えろ 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/21(土) 22:09:19 ] >>782 >>776 > クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ > さぁかかってこいや！クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ > さぁかかってこいや！ 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/22(日) 01:00:30 ] 無知蒙昧で、役立たずな 208 と 9208 は早急に出て行け 785 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 11:02:41 ] 次の命題も >>768と同じ方法で証明される。 命題 A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする (I = J であってもよい)。 J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で IL が単項イデアルとなるものが存在する。 証明 I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。 ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。 J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外 のものを q_1, ..., q_s とする。 >>742より、 各 i において ν_p_i(y) = n_i 各 j において ν_q_j(y) = 0 となる y ∈ A が存在する。 yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。 よって、J + L = A である。 証明終 786 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 11:40:02 ] 補題 A を整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を 含まないものとする。S による A の局所化 A_S が体なら A_S は A の商体 K と一致する。 証明 x を K の任意の元とする。x = a/b とかける。 ここに、a と b ≠ 0 は A の元である。 仮定より、1/b ∈ A_S である。よって x = a/b ∈ A_S である。 よって、K ⊂ A_S である。A_S ⊂ K は明らかだから A_S = K である。 証明終 787 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 11:42:46 ] 命題 A をDedekind整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を 含まないものとする。S による A の局所化 A_S が A の商体 K と 一致しないとする。 このとき、A_S はDedekind整域である。 証明 >>584 より A_S は整閉整域である。 A はネーターだから A_S もネーターである。 前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合} と同一視される。よって、A_S の 非零素イデアルは極大である。 つまり、dim(A_S) ≦ 1 となる。 >>786 より A_S は体でないから、dim(A_S) ≠ 0 よって dim(A_S) = 1 である。 証明終 788 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 12:25:50 ] >>785 から >>768 が容易に出る。 789 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 12:26:41 ] 命題 A をネーター整閉整域とし、p_1, ..., p_r を A の相異なる 高さ１の素イデアルとする。S = (A - p_1)∩...∩(A - p_r) とおく。 このとき、A_S は単項イデアル整域である。 証明 前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合} と同一視される。A - S = p_1∪...∪p_r だから、 T(S) = {p ∈Spec(A); p ⊂ p_1∪...∪p_r } である。 前スレの579より、p ∈Spec(A), p ⊂ p_1∪...∪p_r なら、 p ⊂ p_i となる i がある。p_i の高さは１だから、p = 0 または p = p_i である。よって、T(S) = {0, p_1, ..., p_r} である。 よって A_S は 0 以外の素イデアルを持つから体でない。 よって dim(A_S) = 1 である。 >>584 より 整閉整域である。 A はネーターだから A_S もネーターである。 よって、A_S はDedekind整域である。 >>767 より A は単項イデアル整域である。 証明終 790 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/23(月) 15:17:20 ] あ〜あ 791 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 16:13:52 ] 代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、 特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。 興味ない人は無視しても問題ないだろう。 定義 A を環とする。A の任意の素イデアル p に対して A_p が整閉整域 であるとき A を正規環と呼ぶ。 792 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/23(月) 16:16:20 ] 命題 A をネーター環とする。A の任意の極大イデアル m に対して A_m が 整域なら A は有限個の整域の直積と同型である。 証明 前スレの224より、A の極小素イデアルは有限個である。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。 x ∈ p_1∩...∩p_r をとる。 前スレの212, 213, 222 より、A 任意の極大イデアル m に対して、 p_i ⊂ m となるi がある (前スレの455よりdim(A_m) が有限からも分かる)。 p_iA_m は 整域 A_m の極小素イデアルであるから 0 である。 よって xA_m = 0 である。よって s ∈ A - m で sx = 0 となる ものがある。I = {a ∈ A; ax = 0} とおく。 I ≠ A とすると I ⊂ m となる極大イデアル m があるから矛盾と なる。よって I = A であり、x = 0 となる。 よって、p_1∩...∩p_r = 0。 i ≠ j のとき p_i + p_j ⊂ m となる極大イデアル m があるとする。 p_i ≠ p_j だから p_iA_m ≠ p_jA_m であるが、 上で述べたように p_iA_m = p_jA_m = 0 であるがこれは有り得ない。 よって p_i + p_j = A である。 よって中国式剰余定理(前スレの341)より A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。 証明終 793 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 09:59:37 ] >>768の命題は、次のようにやや拡張して述べたほうが良かった。 命題 A をDedekind整域(>>601)とし、I, J をその非零イデアルとし、 J ⊂ I とする。 I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。 証明は >>768 と同様なので省略する。 794 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 10:09:26 ] >>785は、>>793 からも出る。 命題 A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする (I = J であってもよい)。 J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で IL が単項イデアルとなるものが存在する。 証明(Van der Waredenの教科書より) >>793 から I = IJ + yA となる y ≠ 0 が存在する。 yA ⊂ I だから、yA = IL となる A の非零イデアル L がある。 I = IJ + yA = IJ + IL = I(J + L) よって J + L = A である。 証明終 795 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 10:19:32 ] 逆に >>793 は >>785 から出る。 命題 A をDedekind整域(>>601)とし、I, J をその非零イデアルとし、 J ⊂ I とする。 I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。 証明 J = IL となる非零イデアル L がある。 >>>785 より IR = yA で、L + R = A となる非零イデアル R がある。 よって I = I(L + R) = IL + IR = J + yA である。 証明終 796 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 10:20:51 ] >>794 と >>795 より、>>785 と >>793 は同値である。 797 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 10:25:57 ] >>793 は明らかに次の命題と同値である。 命題 A をDedekind整域(>>601)とし、I をその非零イデアルとする。 A/I の任意のイデアルは単項である。 798 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 11:06:10 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 A は有限個のネーター整閉整域の直積と同型である。 証明 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。 >>792の証明より、 A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。 任意に p_i をとり、p_i ⊂ m となる A の極大イデアル m をとる。 仮定より A_m は整域だから p_iA_m = 0 である。 よって、(A/p_i)_m = A_m/p_iA_m = A_m である。 A_m は整閉だから >>612 より A/p_i も整閉である。 A/p_i がネーターなのは明らか。 証明終 799 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 11:21:51 ] 命題 A を１次元ネーター正規環(>>791)とする。 A は有限個(０個も含む)の体と少なくとも一個の有限個のDedekind整域 の直積と同型である。 証明 >>798 より明らかだろう。 800 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/24(火) 11:52:10 ] >>771 >さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、 >つまり類人猿の研究も有効である。 >代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。 >代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、 >どっちがより深いとも言えないが。 有限体上の１変数代数関数体においてはリーマン予想の類似は ５０年以上前にWeilにより解決されている。 よく知られているように代数体の場合は未解決。 この点で、代数体の方が深いと言える。 801 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/24(火) 11:56:53 ] よく知られているように、 一般の可換環の場合は解決への道はいたって遠い。 この点で、可換環の方が深いと言えるww 802 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/24(火) 13:55:49 ] こんにちは、9208 ◆lJJjsLsZzw くん。 803 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/24(火) 21:12:46 ] >>802 私を呼んだか？ 804 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/24(火) 21:35:21 ] talk:>>803 お前に何が分かるというのか？ 805 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 09:23:18 ] 補題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 C の元 (a, b) が非零因子であるためには、a と b がそれぞれ A と B の非零因子であることが必要十分である。 証明 明らか。 806 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 09:28:35 ] 命題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 Q(C) = Q(A) x Q(B) である。ここで Q(C), Q(A), Q(B) は それぞれ C, A, B の全商環を表す。 証明 >>805 より明らか。 807 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 09:44:24 ] 命題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。 >>806 より Q(C) = Q(A) x Q(B) である。 Q(C) の元 z = (x, y), x ∈ Q(A), y ∈ Q(B) が C 上整(前スレの506) であるためには x と y がそれぞれ A, B 上整であることが 必要十分である。 証明 簡単なので読者にまかす。 808 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 09:47:35 ] 命題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。 C が Q(C) において整閉であるためには、A, B がそれぞれ Q(A), Q(B) において整閉であることが必要十分である。 証明 >>807 より明らか。 809 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 09:53:05 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 A はその全商環において整閉である。 証明 >>798 と >>808 よりでる。 810 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 10:33:02 ] 次の命題は >>555 をやや一般にしたものであり、その証明も 同様である。 命題 A を１次元のネーター局所環とし、 m をその極大イデアルとする。 m の元がすべて A の零因子ではないとする。 A がその全商環 B において整閉なら A は離散付値環である。 証明 a を m の非零因子とする。 p を A の素イデアルで a ∈ p とする。 p が A が極小素イデアルとすると p ∈ Ass(A) である(前スレの146) から a は A の零因子となって(前スレの180)矛盾。 仮定より dim(A) = 1 だから p = m である。 よって Supp(A/aA) = {m} となる。 Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、 Ass(A/aA) = {m} となる。 よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA), mb ⊂ aA となるものがある。 よって m(b/a) ⊂ A となる。 ここで b/a ∈ B である。 b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。 m(b/a) = m と仮定する。>>551 の証明と同様にして b/a が A 上整となって矛盾。よって >>553 の証明と同様に m(A:m) = A である。 >>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。 m は非零因子を含むから >>568 よりA は離散付値環である。 証明終 811 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 11:17:20 ] 補題 A を環とする。 I, J を A の分数イデアル(>>707)とする。 IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。 証明 >>684 と同様なので読者にまかす。 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/25(水) 11:23:51 ] >>802　無視されてやんのｗ 813 名前：9208 ◇lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 11:57:52 ] >>812 荒らすな、クズが！ このスレに書いたことを一つでも理解できるか？ オチこぼれ！ 814 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 12:02:06 ] 次の命題は >>616 をやや一般にしたもの。 命題 A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。 つまり、I は A の非零因子を含むイデアルである。 このとき、I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。 証明 I ≠ A と仮定してよい。 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 I は非退化だから各 p_i は非退化な極大イデアルである。 よって、ht(p_i) = 1 だから、 p_i は Supp(A/I) の極小元である。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる (この記法に関しては前スレの543を参照)。 >>810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。 よって、>>615 の証明と同様にして、q_i = (p_i)^(n_i) となる。 前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。 証明終 815 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 12:05:50 ] >>810 >m の元がすべて A の零因子ではないとする。 m が A の少なくとも一個の非零因子を含むとする。 816 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 12:17:57 ] >>810 >>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として >A に同型。よって m は単項である。 m(A:m) = A だから m は可逆(>>430)である。 よって >>509 より m は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。 >>>361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。 817 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:05:51 ] >>814の証明に不備があったので、それを修正するため いくつかの補題を用意する。 補題 A をネーター局所環で、m をその極大イデアルとする。 m が可逆(>>430)なら A は離散付値環である。 証明 今までに同じような証明を何度もしたから明らかだが念のために 証明する。 >>509 より m は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。 >>>361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。m は A に同型だから m の生成元はべき零では有り得ない。 よって >>568 より A は離散付値環である。 証明終 818 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:06:31 ] 補題 A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 A の非退化(>>431)な極大イデアルは可逆(>>430)である。 証明 >>810と同様である。 819 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:10:28 ] 命題 A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 m を A の非退化(>>431)な極大イデアルとする。 A_m は離散付値環である。 証明 >>818 より m は可逆である。 よって mA_m も可逆である。 よって >>817 より A_m は離散付値環である。 証明終 820 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:11:53 ] 訂正： >>814 >>810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 >>819 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 821 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:21:10 ] 命題 A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 A の非退化(>>431)なイデアルは可逆(>>430)である。 証明 I を A の非退化なイデアルとする。 >>814 より I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。 >>818 より A の非退化な極大イデアルは可逆である。 よって I は可逆イデアルの有限個の積だから可逆である。 証明終 822 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:39:27 ] 命題 A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 A の分数イデアル(>>707)は可逆(>>430)である。 証明 M を A の分数イデアルとする。 定義(>>707) より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 M は非退化だから >>434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの がある。よって st ∈ sM となり sM は非退化である。 よって >>821 より sM は可逆である。 M = (sM)(1/s)A であり、(1/s)A は可逆だから M も可逆である。 証明終 823 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:49:30 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら M は A の分数イデアル(>>707)である。 証明 >>501 より M は非退化(>>431)である。 >>504 より M は有限生成である。 よって A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 よって M は分数イデアルである。 証明終 824 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 16:53:20 ] 命題 A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 A の分数イデアル(>>707)と B の A-加群としての可逆(>>430)部分加群 は同じものである。 証明 >>822 と >>823 より。 825 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 17:04:01 ] >>791 >>代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、 >>特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。 >>興味ない人は無視しても問題ないだろう。 代数的整数論に関係ないこともないな。 有理数体上の有限次代数における有理整数環の整閉包などをは、 代数的整数論の対象と言ってもいいだろう。 826 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 17:19:58 ] 定義 A をネーター環とする。 A の高さ１の素イデアル全体の集合で生成される自由アーベル群 を A の因子群(divisor group)とよび、Div(A) と書く。 その元を因子(divisor)と呼ぶ。 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/25(水) 18:55:44 ] >>813 無意味なスレは落書き帳となる運命にある。2chの法則。 828 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 20:22:31 ] 荒らされたくなければ sage ようや 829 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 21:15:07 ] talk:>>828 お前に何が分かるというのか？ 830 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 21:39:03 ] >>829 荒らすんじゃない。 いい加減に sage を覚えろ。そんなんだからウザキングって言われるんじゃ。 831 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 21:41:44 ] talk:>>830 お前に何が分かるというのか？ 832 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 21:54:22 ] >>831 俺に文句を言うなら sage を覚えてからにしろや。 833 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/25(水) 22:25:25 ] kingはJaneStyleをつかってる（kingが自分で言ってた JaneStyleは最初sageになっている つまりkingはわざとsageチェックをはずすというふうに設定してるわけだ 834 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 22:32:11 ] talk:>>832 お前に何が分かるというのか？ 835 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 22:45:36 ] >834 とりあえず sage ろ。 糞コテってどうしてこう自己顕示欲が強いんだ？ 9208 も sage ようや。 836 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 22:51:09 ] talk:>>835 お前に何が分かるというのか？ 837 名前：9208 ◇lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 22:52:30 ] >>835 仕切るな、オチこぼれ！ 838 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 22:52:51 ] >>836 お前はメール蘭に sage と入れるべきだ。 839 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 22:59:54 ] talk:>>838 お前に何が分かるというのか？ 840 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 23:02:35 ] >>839 お前は sage を覚えろ 841 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/25(水) 23:46:32 ] 俺は誰だ！ 842 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/25(水) 23:48:57 ] 変なことばかり書いて、明日9208くんに叱られるぞ。 843 名前：1 mailto:sage [2006/01/26(木) 00:31:53 ] キングよ。何故その様に一々答えて、スレを荒らすのか？ 病気の所為か？ それとも、2ch に雇われた盛り上げ役なのか？ 844 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/26(木) 07:35:15 ] talk:>>840 お前に何が分かるというのか？ talk:>>843 私を呼んだか？ 845 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/26(木) 09:05:23 ] >>835 sage方を教えてくれ。 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 09:06:06 ] >>845メール欄に半角で sage と入れる。 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 09:10:18 ] sage test 848 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 09:30:19 ] 以下の個所を補足説明する。 >>819 >>>818 より m は可逆である。 >よって mA_m も可逆である。 >>509より m は A 上の射影加群である。 よって >>207 より mA_m は A_m 上の射影加群である。 m は可逆だから非退化であり、>>434 より A の非零因子を含む。 A_m は A 上平坦だから、A の非零因子は A_m の非零因子であり、 mA_m も非退化である。よって >>511 より mA_m は可逆である。 849 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 10:56:54 ] 補題 A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 a ∈ m が A の非零因子とする。 A/aA は A-加群として長さ有限である。 証明 aA ⊂ p となる A の素イデアルをとる。 ht(m) = 1 だから p ≠ m とすると p は A の極小イデアルである。 よって p ∈ Ass(A) である(前スレの146) から a は A の零因子と なって(前スレの180)矛盾。よって p = m である。 Supp(A/aA) = {m} だから、A/aA は 長さ有限である(前スレの345)。 証明終 850 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 11:14:59 ] 命題 A をネーター環とする。 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 p を A の高さ１の素イデアルとする。 A_p/IA_p は A_p-加群として長さ有限である。 証明 I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから A_p/IA_p = 0 は 明らかに長さ有限である。 よって I ⊂ p とする。 >>509 より I は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。 >>355 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の射影加群である よって、>>340 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の自由加群である。 a/s を IA_p の A_p-自由加群としての基底とする。 ここで、a ∈ I, s ∈ A - p である。 明らかに a/s は A_p の非零因子である。 IA_p = (a/s)A_p だから >>849 より A_p/IA_p は A_p-加群として 長さ有限である。 証明終 851 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 11:31:31 ] 命題 A をネーター環とする。 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる A の高さ１の素イデアル p は 有限個である。 証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから leng(A_p/IA_p) = 0 である。 I ⊂ p とする。 I ⊂ q ⊂ p となる素イデアル q があるとする。 ht(p) = 1 だから q ≠ p とすると q は A の極小イデアルとなり、 >>849 の証明と同様にして I の元がすべて A の零因子となる。 これは I が可逆でありしたがって非退化であるから(>>501) 有り得ない。よって、p は Supp(A/I) の極小元である。 前スレの146より p ∈ Ass(A/I) だから、このような p は有限個である。 証明終 852 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 11:48:25 ] A をネーター環とし、I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。 >>850 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、 >>851 により、leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから div(I) は明確に定義される。 853 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 12:04:16 ] >>852 の定義は EGA IV-4 による。 EGAとは記号が異なるが。 EGAでは Div(Spec(A)) は Spec(A)のCartier因子群 すなわち A の可逆分数イデアル群を表す。 854 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 12:24:41 ] 補題 A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 s ∈ m と t ∈ m が A の非零因子とする。 このとき、次の式が成立つ。 leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA) 証明 >>849 から上の式の各項は有限である。 A ⊃ sA ⊃ stA だから sA/stA が A/tA と同型であることを 示せばよい。 A の元 a に sa を対応させて、A-加群としての射 A → sA を定義する。 これは射 A/tA → sA/stA を誘導する。 これは明らかに全射である。 これが単射なことは以下のことからわかる。 s は非零因子だから sa = stb なら a = tb である。 ここで a と b は A の元である。 証明終 855 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:30:05 ] >>854 は s または t が m に含まれない場合もトリビアルに成立つ。 何故なら、s が m に含まれないなら s は A の可逆元であり、 sA = A となり、stA = tA となるから、 leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA) の両辺とも、leng(A/tA) となる。 856 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:37:19 ] 命題 A をネーター環とする。 I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。 証明 div(I) の定義(>>852)と、>>850 の証明、及び >>854 と >>855 から 明らか。 857 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:50:04 ] 補題 A をネーター環とする。 I_1, I_2, J_1. J_2 を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 I_1/J_1 = I_2/J_2 なら、 div(I_1) - div(J_1) = div(I_2) - div(J_2) となる。 ここで、一般に A のイデアル I, J に対して I/J は J^(-1) を J の 逆分数イデアルとしたとき、I(J^(-1)) を意味する。 証明 I_1/J_1 = I_2/J_2 より、(I_1)(J_2) = (I_2)(J_1) である。 よって、>>856 より上記の式が出る。 証明終 858 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:56:41 ] 定義 A をネーター環とする。 >>548 より A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、 I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、 M = I/J と表現される。 div(M) = div(I) - div(J) と定義する。 これは、>>857 により I, J の取り方によらない。 859 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 14:35:38 ] A をネーター環とする。 >>858 により A の可逆分数イデアル群 I(A) から 因子群 Div(A) (>>826) の準同型 div: I(A) → Div(A) が得られる。 860 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/26(木) 14:57:49 ] 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 861 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 16:01:20 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 Ass(A/I) = {p ∈ Spec(A); ht(p) = 1 で I ⊂ p} となる。 証明 p ∈ Ass(A/I) とする。 前スレの 95 より Ass(A_p/IA_p) = Ass(A/IA) ∩ Spec(A_p) である。 よって、p ∈ Ass(A_p/IA_p) となる。 A_p は整閉なネーター局所整域で、IA_p は 0 でない単項イデアル だから(>>850の証明参照)、>>589(及びそれの >>590, >>602 による修正) より A_p は離散付値環である。よって ht(p) = 1 である。 逆に p が高さ１の素イデアルで、I ⊂ p なら >>851 の証明より、 p ∈ Ass(A/I) 証明終 862 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 16:35:49 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 IA_p = JA_p が I ⊂ p または J ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p で成立つなら、 I = J である。 証明 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 >>861より ht(p_i) = 1 である。 よって、p_i は Supp(A/I) の極小元である(>>851 の証明からも分かる)。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる (この記法に関しては前スレの543を参照)。 I ⊂ p とならない高さ１の素イデアル p に対しては IA_p = A_p である。以上から I は A のすべての高さ１の素イデアル p に対する IA_p で一意に決まる。 J についても同様だから、本命題の仮定より I = J となる。 証明終 863 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:11:40 ] 補題 A を離散付値環とし、m をその極大イデアルとする。 任意の整数 n ≧ 0 にたいして leng(A/m^n) = n である。ここで、leng(A/m^n) は A-加群としての A/m^n の長さ。 証明 A-部分加群の列 A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^n を考える。 任意の整数 i ≧ 0 にたいして leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。 m の生成元を t とする。 A の元 x に (t^i)x を対応させることにより、 A-加群の射 A → (t^i)A = (m^i)A を得る。 これに標準射 (t^i)A → (t^i)A/(t^(i+1))A を合成して、 A-加群の射 A → (t^i)A/(t^(i+1))A を得る。 これは明らかに全射である。 この核が tA 即ち m であることも明らか。 よって、A/m = (t^i)A/(t^(i+1))A (同型) である。 証明終 864 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:14:18 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 div(I) = div(J) なら I = J である。 証明 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>555 より A_p は離散付値環である。 よって、IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 がある。 >>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。 よって、div(I) = div(J) なら各 p(高さ１の素イデアル) で IA_p = JA_p である。 よって >>862 より I = J である。 証明終 865 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:17:35 ] >>864 >I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 この行は余計だった。 866 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:24:12 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 >>859の射 div: I(A) → Div(A) は単射である。 証明 M ∈ I(A) とし、div(M) = 0 とする。 M = A を示せばよい。 >>548 より、I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、 M = I/J と表現される。 div(M) = div(I) - div(J) だから、 div(I) = div(J) となる。 よって、>>864 より、I = J である。 よって、 M = A である。 証明終 867 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:27:30 ] 訂正 >>863 >leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。 leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 であることを示せばよい。 868 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/26(木) 18:13:44 ] こりないね 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 18:35:39 ] >>868 だまれ！このうすらが！ 870 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/26(木) 18:41:16 ] うすら？ 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 19:10:14 ] >>868 あげるな 872 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 09:52:08 ] 本論とはあまり関係ないが>>792と関連して次の命題を証明しておく。 この命題は永田の論文 On the closedness of singular loci(1959年) にlemmaとして載っているが証明は A の 零イデアルの準素分解 を考えれば簡単とあるだけで省略されている。 興味のある読者は、私の証明を見る前に証明を考えてみることを勧める。 命題 A をネーター環とする。 A_p が整域となる A の素イデアル p の集合は Spec(A) の開集合 である。 873 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 10:07:38 ] >>872 の証明 Ass(A) = {q_1, ..., q_r} とする。 p を A の素イデアルで、A_p が整域であるとする。 前スレの 95 より Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) である。 よって Ass(A_p) = {q_iA_p; q_i ⊂ p} である。 一方、A_p は整域だから、Ass(A_p) = {0} である。 よって、q_i ⊂ p となる i はただ一個で、q_iA_p = 0 である。 i = 1 と仮定して一般性を失わない。 q_1A_p = 0 と q_1 が有限生成であることから s ∈ A - p で sq_1 = 0 となるものがある。 q_j (j ＞ １) は p に含まれないから、s_j ∈ q_j - p がある。 f = s(s_2)....(s_r) とおく(r = 1 のときは f = s とする)。 f ∈ A - p であり、j ＞ １ のとき f ∈ q_j である。 よって、Ass(A_f) = Ass(A) ∩ Spec(A_f) = {q_iA_f; f ∈ A - q_i} = {q_1A_f} である。 さらに、sq_1 = 0 だから fq_1 = 0 である。 よって、q_1A_f = 0 である。 以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。 これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p} の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。 証明終 874 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 10:15:42 ] 訂正 >>873 >以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。 >これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p >は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p} >の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。 以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。 これから Spec(A_f) の任意の元 qA_f に対して (A_f)_(qA_f) = A_q は整域である。ここに q は D(f) = {q ∈ Spec(A); f ∈ A - q} の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。 875 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 10:17:40 ] >>873 の A_f の定義については前スレの162を参照。 876 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/27(金) 13:48:49 ] あとは転落の一途だな 877 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 15:12:40 ] 定義 A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。 U(B) を B の可逆元のなす乗法群(>>524) とする。 f ∈ U(B) に対して fA は可逆分数イデアルである。 div(fA) を A の単項因子と呼ぶ。 A の単項因子全体は Div(A) (>>826) の部分群をなす。 これを Pr.Div(A) と書く(ここだけの記法)。 Div(A)/Pr.Div(A) を A の因子類群と呼び Cl(A) と書く。 878 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 15:21:51 ] A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。 >>859 の div: I(A) → Div(A) は、 I(A)/P(A) → Cl(A) を誘導する。 ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群である(>>539)。 Cl(A) は A の因子類群(>>877) である。 879 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 15:26:51 ] A がネーター環のときは、I(A)/P(A) = Pic(A) とみなされる(>>541) から、>>878 より div: I(A) → Div(A) は、Pic(A) → Cl(A) を 誘導することになる。 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/27(金) 15:56:07 ] >>876 あげるな 881 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 16:00:49 ] 定義 A をネーター環とする。 D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。 q ∈ Spec(A) とする。D_q = Σ(n_p)p と書く。 ここで、p は q に含まれる高さ１の素イデアル全体を動く。 D_q は A_q の因子と見なせる。 D_q が A_q の単項因子(>>877) のとき D は q において単項という。 D が A のすべての素イデアルにおいて単項のとき D を局所的に単項な因子と呼ぶ。 882 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/30(月) 13:49:31 ] 命題 A をネーター環とする。 I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。 p を A の高さ１の素イデアルで I ⊂ p とする。 p は Supp(A/I) の極小元である。 よって leng(A_p/IA_p) は有限である。 さらに、I ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p は 有限個である。 証明 >>851と同様。 883 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/30(月) 14:40:08 ] A をネーター環とし、I を A のイデアルで非退化(>>431)とする。 A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。 >>882 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、 leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから div(I) は明確に定義される。 884 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/30(月) 14:41:39 ] 880 名前：１３２人目の素数さん ：2006/01/27(金) 15:56:07 >>876 あげるな おれの勝手だボケ 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/30(月) 15:01:27 ] >>884　崩れは消えろ 886 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/30(月) 15:05:28 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。 証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>555 より A_p は離散付値環である。 I は非退化だから IA_p は 0 でないから IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 が定まる。 >>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。 J についても同様であるから本命題の主張は明らか。 証明終 887 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/30(月) 19:04:09 ] akechi mitsuhide 888 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/30(月) 19:06:13 ] shimura goro このgoroはゴロつきのゴロ 889 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/31(火) 10:25:14 ] 定義 A をネーター環とする。 k ≧ 0 を 整数とする。 p が A の素イデアルで dim(A_p) ≦ k なら常に A_p は 正則局所環(>>571) のとき A は 余次元 k 以下で正則 または性質 (R_k) を満たすという。 890 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/31(火) 10:31:53 ] 定義 A をネーター環とする。 A の任意の素イデアルで A_p が正則局所環(>>571) のとき A を正則環と呼ぶ。 891 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 10:39:53 ] 命題 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。 証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>572 より A_p は離散付値環である。 よって後は >>886 と同様。 証明終 892 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 11:34:36 ] 定義 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 M を A の分数イデアル(>>707)とする。 定義(>>707)より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 sM = I とおけば、M = I(1/s) である。 I は非退化イデアルだから、>>883 により div(I) が定義される。 どうように、sA も非退化イデアルだから div(sA) が定義される。 div(M) = div(I) - div(sA) と定義する。 この定義が s の取り方によらないことは、>>891 よりわかる。 893 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 11:48:16 ] 命題 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 M, N を A の分数イデアル(>>707)とする。 MN も分数イデアルであり、 div(MN) = div(M) + div(N) となる。 証明 MN が分数イデアルであることは定義(>>707)から明らか。 div(MN) = div(M) + div(N) も 定義(>>892) と >>891 より明らか。 894 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 12:05:39 ] 定義 A をネーター環とする。 D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 である。すべての高さ１の素イデアル p に対して n_p ≧ 0 のとき D ≧ 0 と書く。D_1, D_2 が A の因子で、D_1 - D_2 ≧ 0 のとき D_1 ≧ D_2 と書く。明らかに、Div(A) は関係 ≧ により順序集合 となる。 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/31(火) 12:49:25 ] あげるなと言っても２０８が定期的にあげるからだめぽ 896 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:01:53 ] >>885は >>895の言うような自明なことがわからない 極め付きのバカ 897 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:03:44 ] うすらが 898 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:05:22 ] あとは転落の一途だ 899 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:06:55 ] 208みたいのを崩れっていうんじゃない 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/01(水) 02:19:15 ] 900 901 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/01(水) 02:59:17 ] Will you discuss local class field theory? 902 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 09:15:51 ] >>901 類体論は局所的と大域的の両方やる予定。 どっちを先にやるかは決めてない。 903 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:18:30 ] 定義 A をネーター環とする。 D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。 D ≧ 0 (>>894) のとき D を正因子と呼ぶ。 904 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:19:40 ] >>903 D は正確には非負因子と呼ぶべきだが慣用に従った。 905 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:21:13 ] 今やろうとしていることは、環の因子とイデアルの関係を調べること。 906 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:29:23 ] このあたりは局所環の深さ(depth)の概念と関係ある。 深さというのは埋蔵随伴素イデアルの有無と結びついてるので。 ただ、深さの概念はホモロジー代数の知識を仮定しないと説明しにくい。 907 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:23:11 ] 定義 A をネーター環とする。 D を A の因子(>>826)とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。 p が A の高さ１の素イデアルのとき、 n_p = multi_p(D) と書く。 908 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:26:09 ] 訂正： >>907 >p が A の高さ１の素イデアルのとき、 >n_p = multi_p(D) と書く。 p が A の高さ１の素イデアルのとき、 n_p を multi_p(D) と書く。 909 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:37:01 ] 定義 A をネーター環とする。 D を A の正因子(>>903)とする。 p が A の高さ１の素イデアルのとき、 標準射 A → A_p による (p^(n_p))A_p の逆像を q_p とする。 ここで、n_p = multi_p(D) (>>907) である。 I = ∩q_p とおく。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル全体を 動く。multi_p(D) = 0 のとき、q_p = A だから、 multi_p(D) ≠ 0 となる q_p のみを考えても I には影響しない。 この I を I(D) と書く。 910 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:51:54 ] 定義 A をネーター環とし、I をそのイデアルとする。 Ass(A/I) の元で Supp(A/I) の極小元でないものを A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶ。 Ass(A/I) の極小元と Supp(A/I) の極小元は同じもの(前スレの166) だから、Ass(A/I) の元で Ass(A/I) の極小元でないものを A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶと言ってもいい。 911 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 12:07:19 ] 命題 A をネーター環とする。 D を A の正因子(>>903)とする。 I(D) (>>909) を I とする。 このとき、以下が成立つ。 1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、 2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。 証明 >>909 の記号をそのまま使う。 I = ∩q_p である。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル で、multi_p(D) ≠ 0 となるものを動く。 前スレの 351 より 各 q_p は準素イデアルであり Ass(A/q_p) = {p} である。 よって I = ∩q_p は I の最短準素イデアル分解である。 これから、上の 1), 2) は明らかである。 証明終 912 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/01(水) 17:48:41 ] 助走をつける 913 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/02(木) 20:15:45 ] 命題 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 I をそのイデアルで以下が成立つとする。 1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、 2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。 このとき、A の正因子(>>903) D が存在して、 I = I(D) (>>909) となる。 証明 Ass(A/I) ={p_1, ..., p_r} とする。 各 i に対して、標準射 A → A_(p_i) による IA_(p_i) の逆像を q_i とする。各 p_i は Supp(A/I) の極小元であるから、 I = ∩q_i である(前スレの198)。 仮定より 各 A_(p_i) の次元は 1 だから正則局所環であり、 従って >>572 より離散付値環である。 よって、IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_1) となる整数 n_i > 0 が 定まる。D = Σ(n_i)p_i とおく。 I = I(D) となることは I(D) の定義から明らか。 証明終 914 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/02(木) 22:39:06 ] バリバリ解析系の俺にはさっぱりだ 代数的整数論ヲタ、一言でまとめてくれ 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/03(金) 03:01:49 ] >>914 >バリバリ解析系 何処に何書いた？専門は何？ 書いてなかったらバリバリ解析系と言うハンネで次に書いてくれよなking! 916 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/02/03(金) 07:29:46 ] talk:>>915 私を呼んだか？ 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/03(金) 09:50:11 ] お前の専門は何だ 微分方程式か？ 918 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/03(金) 11:00:30 ] 僕の専門はε-δ論法です 919 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 13:39:34 ] 命題 ０次元の正則局所環(>>571)は体である。 証明 A を０次元の正則局所環とし、m をその極大イデアルとする。 dim(m/m^2) = 0 である。 よって中山の補題(前スレの242)より、m = 0 である。 よって A は体である。 証明終 920 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 13:46:07 ] >>919 よりネーター環 A が性質 (R_0) (>>889)を持つ、 即ち余次元０以下で正則であるというのは、 A のすべての高さ０の素イデアル、即ち極小素イデアル p に対して A_p が体であるということと同じである。 921 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 13:55:35 ] 命題 A をネーター整域とすると、 Ass(A) = {0} である。 証明 p ∈ Ass(A) とする。随伴素イデアルの定義(前スレの89)より p = Ann(x) となる A の元がある。x ≠ 0 だから p = 0 である。 証明終 922 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:14:47 ] 命題 A を被約(前スレの206)なネーター環とする。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、 0 = p_1∩...∩p_r となる。 証明 前スレの163より、A のすべての素イデアルの共通部分は A の べき零元の全体と一致する。A は被約だから、この共通部分は 0 である。A の任意の素イデアル p は極小素イデアルを含むから 0 = p_1∩...∩p_r となる。 証明終 923 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:25:20 ] 命題 A をネーター環とする。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r としたとき、 0 = p_1∩...∩p_r となるなら、A は被約である。 証明 明らかだろう(>>922の証明を参照)。 924 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:44:03 ] 命題 A を環とし、S を A の積閉集合(前スレの>>63)とする。 A が被約なら、A_S も被約である。 ここで、A_S は A の S による局所化(前スレの>>65)である。 証明 x ∈ A, s ∈ S とし、A_S において、(x/s)^n = 0 とする。 ここで、n > 0 である。 x^n/s^n = 0 だから、ある t ∈ S があって t(x^n) = 0 である。 よって (tx)^n = 0 となる。A は被約だから、tx = 0 である。 よって、x/s = 0 である。 証明終 925 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:53:26 ] 命題 被約な０次元のネーター局所環は体である。 証明 A を被約な０次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルと する。ht(m) = 0 だから、m は A の唯一つの素イデアルである。 よって m は A のべき零元の全体と一致する(前スレの163)。 A は被約だから m = 0 である。 よって A は体である。 証明終 926 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 15:10:50 ] 命題 A を被約なネーター環とする。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、 Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。 証明 >>922 より、0 = p_1∩...∩p_r である。 これは 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)であることが 容易に分かる。 これから、前スレの190より本命題の主張は明らか。 証明終 927 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 15:27:55 ] 命題 A を被約なネーター環とすると、A は性質 (R_0) (>>889)を持つ。 証明 p を A の極小素イデアルとする。>>924 より A_p は被約である。 dim(A_p) = 0 だから >>925 より A_p は体である。 >>920 より A は性質 (R_0) を持つ。 証明終 928 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 15:37:24 ] 命題 A を被約なネーター環とする。 p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元 ではない。 証明 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。 >>926 より Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。 前スレの95より、Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) となる。 よって、Ass(A_p) は p に含まれる極小素イデアルの全体と 同一視される。 ht(p) ≧ 1 だから p は極小素イデアルではない。 よって、pA_p は Ass(A_p) に属さない。 証明終 929 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/06(月) 14:11:06 ] 補題 A を環とし、p をその素イデアルする。 I を標準射 A → A_p の核とする。 A_p が体なら I = p である。 証明 x ∈ I なら sx = 0 となる s ∈ A - p がある。 当然、 sx ∈ p だから x ∈ p となる。 よって I ⊂ p である。 逆に y ∈ p とする。pA_p = 0 だから y/1 は A_p の元として 0 である。よって ty = 0 となる t ∈ A - p がある。 よって y ∈ I である。つまり p ⊂ I である。 証明終 930 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/06(月) 18:02:11 ] 命題 A をネーター環とする。 A が被約であるためには、以下の条件を満たすことが必要十分である。 1) A は (R_0) を満たす、即ち余次元０以下で正則(>>889)である。 2) p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元 ではない。 証明 条件 1), 2) が必要なことは >>927 と >>928 で証明されている。 よって十分なことの証明のみを行う。 A をネーター環で、条件 1), 2) を満たすとする。 2) から Ass(A) の元は全て A の極小素イデアルである。 A の極小素イデアルの全体を p_1, ..., p_r とする。 0 = q_1∩...∩q_r を 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)とする。 ただし、各 i に対して Ass(A/q_i) = {p_i} である。 前スレの198より q_i は 標準射 A → A_(p_i) の核である。 一方、条件 1) より各 A_(p_i) は体である。 >>929 より、q_i = p_i である。 よって、 0 = p_1∩...∩p_r となる。 従って、>>923 より A は被約である。 証明終 931 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/06(月) 18:02:15 ] >D は正確には非負因子と呼ぶべきだが慣用に従った。 アホ 932 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/06(月) 18:30:53 ] king!@!! 933 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/02/06(月) 22:00:26 ] talk:>>932 私を呼んだか？ 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/07(火) 09:14:20 ] >>933 荒しに、いちいち反応するのはちょっとおかしいぞ。 律儀というか神経質というか。 どうでもいい細かいことに異様にこだわる。 脳を読まれるとか言ってるのもおかしいしな。 935 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/02/07(火) 10:12:46 ] talk:>>934 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/07(火) 10:54:49 ] >>935 頼むから荒しにいちいち反応しないでくれ。 937 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/07(火) 12:47:38 ] 頼んでどうする 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/07(火) 16:04:46 ] 頼んでどうすると聞いてどうする 939 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/07(火) 16:47:37 ] そうする 940 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/08(水) 03:08:46 ] kong!@!! 941 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/08(水) 13:14:41 ] 因子論の説明の都合上、局所環の深さ(depth)について簡単に述べる。 深さの概念は代数的整数論にあまり関係ないが可換代数 において重要なので知っておいて損はないだろう。 定義 Aを環とし、MをA-加群とする。 A の元の列 x_1, ..., x_r があり、 x_1 は M に関して正則(前スレの179)であり、 i ≧ 2 に対して x_i が M/(x_1M + ... x_(i-1)M) に関して正則のとき、 この列を M-正則列と呼ぶ。 942 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/08(水) 18:16:53 ] 補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 dim(A) = n とする。 dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。 x ∈ m が、p_1∪...∪p_r に含まれないなら。 dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。 証明 xA はどの p_i にも含まれないから、 xA ⊂ p となる素イデアル p に対して dim(A/p) ≦ n - 1 である。 よって dim(A/xA) ≦ n - 1 である。 一方、前スレの454 より dim(A/xA) ≧ dim(A) - 1 である。 よって、dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。 証明終 943 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/09(木) 11:23:58 ] 定義 A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。 dim(A/Ann(M)) を M の次元 と呼び、dim(M) と書く。 944 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/09(木) 11:51:25 ] >>943 Supp(M) = V(Ann(M)) (前スレの161) だから dim(M) は Supp(M) だけで決まる。 945 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/11(土) 12:09:58 ] king kong bundy.... sugoi wrestler datta..... 946 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/02/11(土) 12:13:42 ] talk:>>945 私を呼んだか？ 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 14:09:59 ] ころ 948 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/14(火) 16:46:22 ] 補題 A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。 p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。 標準射 A → A_p により k を A-加群とみて A 上のテンソル積 M(x)k を考える。 このとき、M(x)k = 0 は M_p = 0 と同値である。 証明 M(x)k = M_p/(pA_p)M_p であり、M_p は有限生成 A_p-加群であるから 中山の補題(前スレの242)より、M_p/(pA_p)M_p = 0 から M_p = 0 が 出る。逆は明らか。 証明終 949 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/14(火) 16:47:36 ] 補題 k を体とし、M, N を k-加群とする。 M(x)N を k 上のテンソル積とする。 M ≠ 0 かつ N ≠ 0 なら M(x)N ≠ 0 である。 証明 x ∈ M で x ≠ 0 なら x は M の k 上の基底の要素となる。 同様に、y ∈ N で y ≠ 0 なら y は N の k 上の基底の要素となる。 よって x(x)y も M(x)N の基底の要素となる。 よって x(x)y ≠ 0 であり、M(x)N ≠ 0 となる。 証明終 950 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/14(火) 16:48:24 ] 補題 A を環とし、M と N を A-加群とする。 B を A-代数とする。 このとき、(M(x)N)_B = M_B(x)N_B となる。 ここで、M_B = M(x)B である。N_B, (M(x)N)_B も同様。 M_B(x)N_B は B 上のテンソル積である。 証明 テンソル積の結合法則と B と B-加群 N_B の B 上のテンソル積 B(x)N_B は N_B に等しいことを使う。 (M(x)N)_B = M(x)N_B = M(x)(B(x)N_B) = M_B(x)N_B 証明終 951 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/14(火) 16:58:59 ] 補題 A を環とし、M と N を有限生成 A-加群とする。 Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。 証明 p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。 標準射 A → A_p により k を A-代数とみる。 >>950 において B を k に置き換えて (M(x)N)_k = (M_k)(x)(N_k) となる。 よって、>>948 と >>949 より Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。 証明終 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 18:31:32 ] ころ 953 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/15(水) 10:28:58 ] 命題 A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。 I を A のイデアルとする。 Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。 証明 M/IM = M(x)(A/I) だから、 >>951 より Supp(M/IM) = Supp(M) ∩ Supp(A/I) となる。 Supp(M) = V(Ann(M)) (前スレの161) だから Supp(M/IM) = V(Ann(M)) ∩ V(I) = V(Ann(M) + I) となる。 証明終 954 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/15(水) 10:59:38 ] >>953の別証明をする。 この別証明は、あまり知られてないのではないか。 少なくとも、私は他で見たことがない。 955 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/15(水) 11:00:28 ] 補題 A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。 I を A のイデアルとする。 Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる (rad の記号については前スレの164参照)。 証明 M の生成元を ω_1, ..., ω_n とする。 x ∈ Ann(M/IM) とする。 xM ⊂ IM となる。 よって、以下の関係式が成立つ。 xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n . . . xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n ここで、各 a(i,j) は I の元。 前スレの505の証明と同様にして、 モニックな n 次の多項式 f(X) ∈ A[X] で、 その X^n 以外の係数がすべて I に属すものがあり、f(x)M = 0 となる。 よって、f(x) ∈ Ann(M) である。 よって、x^n ∈ Ann(M) + I となる。 これは x ∈ rad(Ann(M) + I) を意味する。 証明終 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/20(月) 14:36:42 ] ころ 957 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/20(月) 18:52:01 ] age 958 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/20(月) 21:09:34 ] もう飽きたのか？ 959 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/21(火) 12:27:51 ] >>953の別証明 Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) は明らか。 よって、>>955 より Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる。 一方、V(Ann(M) + I) = V(rad(Ann(M) + I) ) だから V(Ann(M) + I) = V(Ann(M/IM)) である。 この右辺の V(Ann(M/IM)) は、Supp(M/IM) だから Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。 証明終 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/21(火) 17:21:49 ] ころ 961 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/22(水) 14:35:46 ] 次ｽﾚ live19.2ch.net/test/read.cgi/ogame/1140344331/ 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/22(水) 14:50:23 ] 次ｽﾚ終了 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/22(水) 14:52:18 ] ころ 964 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/23(木) 02:07:35 ] このスレ 　〜〜〜終了〜〜〜 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 13:33:21 ] ころ 966 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/23(木) 18:06:46 ] 命題 A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。 I を A のイデアルとすると、 dim(M/IM) = dim(A/(Ann(M) + I)) となる。 証明 >>943, >>944 と >>953 より明らか。 967 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 09:44:38 ] 定義 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x_1, ... x_r を m の相異なる元の列とする。 dim(M/x_1M + ... + x_rM) = dim(M) - r となるとき、 x_1, ... x_r を M に関する切断列(secant sequence) または M-切断列と呼ぶ。 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 09:50:15 ] 話は変わるけど、代数多様体の正規点における局所環の完備化は 正規であるというZariskiの定理の証明ってあまり本に書いてないね。 この定理は代数幾何では重要なんだけど。 Zariski-Samuelには当然書いてある。 969 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 09:56:44 ] 補題 A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x を rad(A) の元とすれば、 dim(M/xM) ≧ dim(M) - 1 となる。 証明 I = Ann(M)、B = A/I とおく。 定義より、dim(M) = dim(B) である。 前スレの446より dim(B) ≧ dim(B/xB) - 1 となる。 B/xB = A/(I + xA) であるから、>>953 より dim(B/xB) = dim(M/xM) である。 証明終 970 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:04:33 ] 補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 I を m に含まれるイデアルとする。 dim(A/I) ＜ dim(A) なら x ∈ I で dim(A/xA) = dim(A) - 1 となるものが存在する。 証明 dim(A) = n とする。 dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。 dim(A/I) ＜ dim(A) だから I はどの p_i にも含まれない. 前スレの579より I の元 x でどの p_i にも含まれないものがある。 >>942 より dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。 証明終 971 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:06:30 ] 補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 dim(A) ≧ 1 なら x ∈ m で dim(A/xA) = dim(A) - 1 となるものが存在する。 証明 >>970 において I = m とすればよい。 証明終 972 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:09:54 ] >>967 の切断列の定義はBourbakiによる。 973 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:24:44 ] 命題 A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x_1, ... x_r を rad(A) の元の列とすれば、 dim(M/(x_1M + ... + x_rM)) ≧ dim(M) - r となる。 証明 r に関する帰納法を使う。 r = 1 のときは >>969 で証明されている。 r > 1 とする。 M/(x_1M + ... x_(r-1)M) = N とおく。 N/x_rN = M/(x_1M + ... + x_rM) である。 >>969 より、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 である。 帰納法の仮定より、dim(N) ≧ dim(M) - r + 1 である。 よって、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 ≧ dim(M) - r 証明終 974 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:45:48 ] A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 S = {x_1, ..., x_r} を m の r 個の元からなる集合とする。 列 x_1, ..., x_r が M-切断列(>>967)になることは、集合 S のみで 定まる。よって、集合 S も（不正確だが）M-切断列と呼ぶ。 x_1M + ... + x_rM を SM と書く。 975 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 10:48:21 ] 記法の定義 集合 S の濃度を |S| と書く。 976 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/24(金) 11:14:03 ] 補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 S と T を m の元からなる空でない有限集合で交わらないものとする。 S∪T が M-切断列(>>974)になることと、 S が M-切断列 であり、かつ T が (M/SM)-切断列 となることは同値である。 証明 N = M/SM とおく。 N/TN = M/(S∪T)M となる。 よって、次の等式が得られる(記法 |S| については >>975)。 dim(M/(S∪T)M) - dim(M) + |S| + |T| = (dim(N/TN) - dim(N) + |T|) + (dim(M/SM) - dim(M) + |S|) >>973 より、この等式の左辺 ≧ 0 であり、 右辺の括弧の中の各項も ≧ 0 である。 さらに、S と T は交わらないから、|S∪T| = |S| + |T| である。 よって本補題の主張が得られる。 証明 977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 15:21:18 ] ころ 978 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/27(月) 14:46:32 ] 9208さん、新スレ立てましたので 引越しをお願いいたします。 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/ 979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/27(月) 21:24:08 ] 梅 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/27(月) 21:24:50 ] ウメ 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 00:02:57 ] メシ 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 00:43:37 ] シマ 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 09:57:11 ] ( ´,_ゝ｀)プッ 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 16:08:30 ] 九十八日。 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 21:49:11 ] （；゜〇゜) 986 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/01(水) 11:00:31 ] king氏ね 987 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/03/01(水) 11:24:43 ] talk:>>986 お前に何が分かるというのか？ 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 11:40:00 ] >>987 たまには数学の話もしてみれば？ 989 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/03/01(水) 11:42:47 ] talk:>>988 何やってんだよ？ 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 12:48:41 ] 　 ε　⌒ﾍ⌒ヽﾌ 　（ 　　( ；・ω・）＝3　呼んだブヒ？ 　　しー し─Ｊ 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 20:37:49 ] kkkinggguuu 992 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/03/01(水) 21:50:52 ] talk:>>991 私を呼んだか？ 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 00:10:52 ] 消えろ 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:20:59 ] ほらほら 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:22:16 ] もうすぐだよ、ほら 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:23:08 ] 後少しで、ほら 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:23:54 ] みんな、寝てるのかな 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:24:56 ] きっとこの先何年たってもこれだけは変わらない！ 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 04:25:49 ] そうこの数学板のみんなも！ 1000 名前： ◆xeS.CIM.Jk [2006/03/02(木) 04:28:16 ] 数学を愛するすべての人は幸せになる！ 小さな希望にも無限の可能性を抱いて頑張れる！ 数学は不滅だ！それを愛するおまいらがいる限り！ 1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread] このスレッドは１０００を超えました。 もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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