現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

1 名前：名無しさん [2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu] ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？ detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513 数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18 「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。 アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。 両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。 ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって u=α+βω+γω＾2 v=α+βω＾2+γω という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。 彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。 皆さまの見解を伺いたいと思います。 ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21 ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。 ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。 ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/22(水) 00:22:49.80 ] >>328 その通り。 >>329 つまり、今までは補助方程式の根を別々に添加していたわけだけど、同時に加えるということ。 俺の挙げた例でいうと、K(r1), K(r2), K(r3) ではなく K(r1, r2, r3) でF(x)を見たらどう分解されるか？ 332 名前：みぃな [2012/02/22(水) 00:23:24.69 ] ｘの１０じょう　÷Ｘの２じょう　ー３ｘ＋２ ができません汗 解説できたらおねがいします１ 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/22(水) 11:11:24.96 ] >>326 >Ｑ２．その時、各因子 f(V,r) の群は？　一致するか否か？ >Ａ２．各因子 f(V,r) の群は、>>290の { e , (12) } 型の位数２の３つの部分群。同型だが、一致はしていない。 そういうことｗ　ガロアは一般的な立場で補助方程式の根の添加、言い換えれば体の拡大を考察している。 334 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/22(水) 21:28:00.83 ] >>333 乙、ありがとう >>331 >つまり、今までは補助方程式の根を別々に添加していたわけだけど、同時に加えるということ。 >俺の挙げた例でいうと、K(r1), K(r2), K(r3) ではなく K(r1, r2, r3) でF(x)を見たらどう分解されるか？ 誘導ありがとう １．まず、K(r1)のとき、>>326でr1=(α-β)^2、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)、f1(x,r1)=（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４） 　　までは、すでに記した通り。 　　で、F(x)＝f1(x,r1)(x-V2)(x-V3)(x-V5)(x-V6)＝f1(x,r1)g(X) 但しg(X)=(x-V2)(x-V3)(x-V5)(x-V6)として、g(X)がK(r1)に属するかだが 　　ラグランジュの定理でいえるね。 　　g(X)＝F(x)/f1(x,r1)と書けて、F(x)とf1(x,r1)とも（α,β）（＝α,βの互換）で変わらないから、g(X)も変わらない。だから、その係数はr1の有理式で、g(X)がK(r1)に属する 　　だがそこまでで、g(X)＝g(x,r1)とは書けるが、これ以上分解はできない ２．で、K(r1, r2, r3) は、r1, r2, r3を全て含む拡大体で、>>326 F(x)=f1(x,r1)xf2(x,r2)xf3(x,r3)で 　　f1(x,r1)=（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）,f2(x,r2)=（ｘ−Ｖ２）（ｘ−Ｖ５）,f3(x,r3)=（ｘ−Ｖ３）（ｘ−Ｖ６）となるが 　　f1(x,r1)、f2(x,r2)、f3(x,r3)は全て、K(r1, r2, r3) に属するので、F(x)=f1(x,r1)xf2(x,r2)xf3(x,r3) （２次式）までの分解ができる ３．では、それ以上（１次式へ）の分解ができるか？　これはできない 　　K(r1, r2, r3) の元は、例えば（α,β）（＝α,βの互換）で変わらないが、V1〜V6は、全て（α,β）で変わるから、K(r1, r2, r3) の元ではない。だから、１次式への分解はできないと 335 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/22(水) 21:33:49.37 ] >>334 補足 ここらは、倉田　ガロアを読む:>>4のP146 16節「根の有理式の添加によるガロア群の簡約」に関連した事項だ で、中間体K(r1, r2, r3)のガロア群がどうなるかだが、P155の対応定理などで見るんだろうね 336 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/23(木) 00:15:47.64 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/23(木) 00:26:39.31 ] >>334 >K(r1, r2, r3) の元は、例えば（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない そうかなｗ　K(r1, r2, r3) は、例えば r2 を含むよね。これに（α,β）を施すとどうなる？ 338 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/23(木) 21:49:15.68 ] >>337 ああ、そうか。誘導ありがとう。君は親切だね ここの理解が不十分だから、すっきりしなかったんだ １．さて、K(r1, r2, r3) ：補助方程式 { x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 の根を、r1=(α-β)^2, r2= (β-γ)^2, r3= (γ-α)^2 >>326 ２．で、ガロア分解式（>>28）にならって V’＝A’r1＋B’r2＋C’r3で、係数A,B,Cは体Kに属するとして、r1, r2, r3の置換すべてで、異なる値を取る様に選んだとする 書き直すと V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2 ３．このV’は、拡大体K(r1, r2, r3)に属する元 これに（α,β）を施すと V1’＝A’(α-β)^2＋B’(α-γ)^2＋C’ (γ-β)^2となり、V’≠V1’となり値は変わる（異なる値を取る様に選んだので） ４．つまり、V’は互換（α,β）で値が変わる。これは、全ての互換にいえる。 ５．また、長さ３の巡回置換（α，β，γ）でも値が変わる。これは、互換とは別の式で値も異なる ６．結局、V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2は、根α，β，γの置換の全てで異なる値を取る ７．ラグランジュの定理>>317で、V’は全ての置換で変わって、これを変えないのは恒等置換ｅのみ（>>289-290参照）で、 　　もとの方程式のガロア分解式V=Aα+Bβ+Cγ >>235 とV’＝A’r1＋B’r2＋C’r3とは、いずれも、恒等置換ｅ以外のすべての置換で値を変えるから 　　お互いに有理式で表される関係（VとV’は同じ分解能力を持つってことか） ８．だから、ＶはV’の有理式で表されるということで、拡大体K(r1, r2, r3)の中で、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)は、１次の式に分解される 　　つまり、V1、V2、V3、V4、V5、V6たちは、拡大体K(r1, r2, r3)の元？ 339 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/23(木) 21:54:01.88 ] >>338 つづき ということは、補助方程式 { x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 を解くことは、即もとの方程式を解くことに また、補助方程式のガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2は、６つの異なる値を取り、補助方程式のガロア群はＳ３（３次の対称群）となる・・ 340 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/23(木) 22:00:21.58 ] >>339 つづき (α-β)^2自身は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない (β-γ)^2、 (γ-α)^2も同様 しかし、この３つを集めて、V’＝A’r1＋B’r2＋C’r3を作ると、V’は根α，β，γの置換の全てで異なる値を取ると 面白ね 341 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/23(木) 22:26:47.98 ] >>340 つづき なお、(β-γ)^2＝(β＋γ)^2−４βγ と書けて ３次方程式：f(x)=x^3+A*x^2+B*x+C=(x-α)*(x-β)*(x-γ)　>>323 で、α+β+γ=A、αβγ=Ｃより β+γ＝A−α βγ＝C/α となり、これを代入すると (β-γ)^2＝(β＋γ)^2−４βγ＝（A−α）^2−４（C/α） つまり、αだけの式になる まあ、(β-γ)^2は、αの化身だと 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/23(木) 23:39:48.29 ] >>338 >８．だから、ＶはV’の有理式で表されるということで、拡大体K(r1, r2, r3)の中で、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)は、１次の式に分解される >　　つまり、V1、V2、V3、V4、V5、V6たちは、拡大体K(r1, r2, r3)の元？ まあそういうこと。あと付け加えると、F(x)はK(r1, r2, r3)の中で F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6) と分解されるよね？　このとき、各因子(x-V1)〜(x-V6)の群はすべて恒等置換よりなることがわかる。 すなわち、補助方程式のすべての根を添加することによって、 >>329　ガロア論文第ＩＩＩ節によれば、「各群において置換は同一である」と。はて？ となっていることがわかる。俺の挙げた例では、恒等置換だけだからおもしろみはないけどね。 なお、ちゃんとした証明は、守屋や矢ケ部の本にあったと思う。お持ちのようだから 読んでみれば？　定理のイメージがつかめたなら、それほど難しくない・・・と思うｗ それでは、>>275からの件はこれで終わりと言うことで。気が向いたらまたコメントするよｗ 343 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/25(土) 09:47:41.21 ] >>342 ありがとう。君は親切だね >それでは、>>275からの件はこれで終わりと言うことで。気が向いたらまたコメントするよｗ 乙 >>上記のような分解ができるということは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ>>268 えーと、ここから始まったんだが。いろいろ誘導ありがとう。おかげですっかり理解できた （（有理式と置換に関する）ラグランジュの定理というのが、ガロア理論の一つの補助線なんだ>>330ということも） １．>>280のように、ある方程式（例えば３次方程式（以下例えばを略する））の根（α、β、γ）のある有理式を考える（ (α-β)^2） ２．倉田>>4のP146のように、この有理式（(α-β)^2）の最小定義多項式（＝補助方程式と見ることもできる）を考える（{ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 ） 　　この有理式が、根（α、β、γ）の全ての置換で取る異なる値を集めて例にならって多項式をつくる 　　そうすると、ラグランジュの定理から作った多項式の係数は、元の体kに属することが分かる ３．そうして、この有理式（(α-β)^2）の添加で、ガロア分解方程式（F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）　）がどうなるかを考える 　　可約になる場合がある（>>323-327） ４．この場合、最小定義多項式の根を全て添加すると、さらに低い次数への分解ができる場合がある（>>338） ５．これを群論の言葉でいうと、この有理式を不変にするガロア群Gの部分群Hがあって 　　Hの左剰余類によるGの分解 　　G=H+s1H+・・・+sk-1H (ここで、s1・・・sk-1は、倉田P146ではシグマに下付の1・・・k-1が添えられたものだが、ギリシャ文字が面倒なので代用) ６．で、３の可約によるガロア分解方程式の因数分解は、上記左剰余類によるGの分解G=H+s1H+・・・+sk-1Hに従う （つづく） 344 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/25(土) 09:51:14.74 ] >>343 つづき ７．で、４の最小定義多項式の根を全て添加するとは、Gの分解G=H+s1H+・・・+sk-1Hで、H、s1H、・・・、sk-1Hの共通部分（最大公約部分群などと書いてある本もある）を考えることになって 　　これは、Gの正規部分群。このとき、正規拡大になっている ８．ということは、ある有理式を考えて、その最小定義多項式（＝補助方程式）を考えると、その最小定義多項式（＝補助方程式）の全ての根が使えるが、それを全て添加すると、Gの正規部分群と正規拡大の話になる ９．これすなわちガロア理論 ”上記のような分解ができるということは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ”>>268 を正しく言い換えると上記のようになる？ これでOK？ 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/25(土) 14:07:13.39 ] >>344 まだやるのか？ｗ　 肝心なことがわかってないかな。 >７．で、４の最小定義多項式の根を全て添加するとは、Gの分解G=H+s1H+・・・+sk-1Hで、H、s1H、・・・、sk-1Hの共通部分（最大公約部分群などと書いてある本もあ ここが違う。H、s1H、・・・、sk-1H に共通部分はない。 手短に書くと以下。 F(x)に補助方程式の根を添加して因数分解されたとき、各因子の根の順列は 各々（上の記号を使えば）、 H　s_1H　・・・　sk-1H となる。このとき、各因子のガロア群は、 Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... s_{k-1}*H*s_1^{k-1} となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_{k-1}で変換したときに できる群のこと。 そして、すべての補助方程式の根を添加したときのガロア群とは、上のｋ個の 群の共通部分をとってできる根のことだよ。なお、この群はGの正規部分群の性質をもっている。 すでにHが正規部分群のときは、上の共通部分はH自身となる。俺のあげた例では 恒等置換となる。 346 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/25(土) 17:06:47.37 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 347 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/25(土) 18:43:47.40 ] >>345 おお、ありがとうよ 君は、親切だし、本当にガロア理論を理解しているね >ここが違う。H、s1H、・・・、sk-1H に共通部分はない。 そうだった。剰余類分解だから、共通部分はない >Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... s_{k-1}*H*s_1^{k-1} >となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_{k-1}で変換したときに うんうん 変換だね ありがとう 348 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/25(土) 19:45:26.61 ] >>345 そうそう >F(x)に補助方程式の根を添加して因数分解されたとき、各因子の根の順列は >各々（上の記号を使えば）、 > >H　s_1H　・・・　sk-1H > >となる。このとき、各因子のガロア群は、 > >Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... (s_k-1)*H*(s_k-1)^{-1} > >となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_k-1で変換したときに >できる群のこと。 ここ、流石だね。（蛇足だが、s_1^{-1}・・・(s_k-1)^{-1}は、s_1・・・(s_k-1)の逆元だね） ”各因子の根の順列は各々（上の記号を使えば）、H　s_1H　・・・　sk-1H”については、 ”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”>>29と関連するけれど、普通に使われる順列を上下２行並べてするコーシーの記法（>>28）で H　s_1H　・・・　sk-1Hで、コーシーの記法の下の順列だけを取るとガロア記法になる ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略されるから、H　s_1H　・・・　sk-1Hで、下の順列だけを取るとガロア記法が即 Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... (s_k-1)*H*(s_k-1)^{-1}、つまりのＨを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_k-1で変換した群を表すんだよね この見方は、ガロアの原論文>>3を読むときに常に意識しておくべき点だ 349 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/02/25(土) 19:46:49.27 ] 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああ！！！！！！！！！ 　ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！！ 350 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/25(土) 19:54:26.37 ] >>343 最小定義多項式の参考に下記を （最小多項式と書かれている本が多い。下記も） www.kishimo.com/math/Galois/p46.html アルティン「ガロア理論入門」を読む・p46の最小多項式の性質 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/25(土) 22:19:34.37 ] >>348 >ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略されるから、H　s_1H　・・・　sk-1Hで、下の順列だけを取るとガロア記法が即 俺はあなたの言いたいことがよく理解できないが、ちょっと違う気がする。 例として、３次方程式の群である３次の対称群をとるとしよう。 H＝｛e, （αβγ), （αγβ）｝、S1=（αβ）とすると、元の群Gは、G = H + H*S1 と分解される。具体的に書くと 　H　　　　　H*S1 −−−　−−−− αβγ　　βαγ βγα　　αγβ γαβ　　γβα となる。ここで、H*S1の順列の中でβαγをαγβやγβαに変換する置換を考えてごらん。 βαγ→αγβ　は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、 βαγ→γβα　は、（αβγ）に等しい。 αγβ→γβα　は、（αγβ）に等しい。 恒等置換を含めると、H*S1に含まれる順列の間を移り変えるような置換は群になることがわかる。 この群は、実際に計算してみればわかると思うが、実は、、 　　S1*H*S1^{-1} に等しくなっているのである！　ちなみにこの例では、Hと等しい。 よくわからなかったら、群論の本の置換の章でも参照してください。 　 352 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 00:43:49.65 ] ネット検索してたら、こんなのがあった 神田神保町の岩波書店に置いてあったのを見たことがある mathsoc.jp/publication/tushin/0801/mitsumatsu.pdf 原田耕一郎著，『群の発見』岩波書店，２００１年，２４８ + xiv 頁　（三松佳彦，中大理工） （抜粋） 本書が出版された２００１年１１月，生協の書籍部で見付けて直ぐに，これは素晴ら しい本だと感じた．以来（特に教室内部では学生，院生たちに）「日本の数学書の中で も特筆すべき名著」などと宣伝していたら，とうとう書評の依頼が来てしまった．改め て読んでみても，最初の印象に間違いはない．この書評などどうでもよいから，とにか く読んで頂きたい，というのが筆者の偽ざる気持ちである．特に若い人には是非読んで もらいたい数学書である．しかも，この本自体が若者たちに読んでもらいたがっている のだ．筆者も（残念ながらまるで若くはないのだが）大きな，しかも多くの意味で感銘 を受けた． 「こういう風に教えてくれれば，僕にもガロア理論はもっと素直に生き生きと分かっ たに違いない！」本書を手にして最初に強く感じたことである．学生時代の自分のでき の悪さを棚に上げるのは，教えて頂いた先生に失礼なのは百も承知であるが，正直な気 持ちである． 353 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 07:11:27.94 ] >>351 >俺はあなたの言いたいことがよく理解できないが、ちょっと違う気がする。 ありがとう、ありがとう 君は親切だね だけど、これは大丈夫だ ガロア記法では、コーシーの記法との関係は、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨>>2で勉強したから P108 「ガロア流のガロア群」のところ 中村先生はガロア記法という表現はしていないが、コーシーの記法と対比するためこう表現した 354 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 07:21:15.86 ] >>353 補足 実は、中村先生の説明は >>348で書いた >ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略されるから、H　s_1H　・・・　sk-1Hで、下の順列だけを取るとガロア記法が即 とは違う説明だ でも>>351で書いていただいた ”　H　　　　　H*S1 −−−　−−−− αβγ　　βαγ βγα　　αγβ γαβ　　γβα となる。ここで、H*S1の順列の中でβαγをαγβやγβαに変換する置換を考えてごらん。 βαγ→αγβ　は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、 βαγ→γβα　は、（αβγ）に等しい。 βαγ→βαγ　は、ｅに等しい。” ってこと 355 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 07:29:43.66 ] >>354 ここは、ガロアの原論文>>3を読むときのキモなのでもう少し書く 今日、置換は普通はコーシーの記法 （a b c d・・・・k） （a b c d・・・・k） （直上の２行は大きな括弧で括られていると思ってください） （コーシーの記法は説明不要と思うが、下記などが参考になろう） homepage3.nifty.com/asagaya_avenue/apl/association/2011/Nishikawa_nov2011.pdf （>>28より再録） で ”βαγ→αγβ　は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、 βαγ→γβα　は、（αβγ）に等しい。 βαγ→βαγ　は、ｅに等しい。” をコーシーの記法で書くと下記 (βαγ) (αγβ) (βαγ) (γβα) (βαγ) (βαγ) となる （つづく） 356 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 07:36:39.29 ] >>355 つづき つまり 　H*S1 −−−− βαγ αγβ γβα　>>354 を”ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略される”>>348と考えることで (βαγ) (βαγ) (βαγ) (αγβ) (βαγ) (γβα) （注：ここは、>>355のコーシーの記法の置換のｅを並び替えて、上のH*S1の順列に合わせた） （つづく） 357 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 07:41:05.18 ] >>356 つづき 同様に 　H　　　 −−− αβγ βγα γαβ のガロア記法を、コーシーの記法で書き直すと (αβγ) (αβγ) (αβγ) (βγα) (αβγ) (γαβ) となる このガロア記法→コーシーの記法の解釈では、常に先頭は恒等置換ｅになる （つづき） 358 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 07:56:18.56 ] >>375 つづき ガロア記法の原論文に忠実な説明は、P108 「ガロア流のガロア群」>>353が正確だ でも、簡略化して”ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略される”>>348と考えることで、ガロア記法が直感的に把握できて、ガロアの原論文の記述は十分理解できる えーと、いま中村先生の本を見ると、P110から111に殆ど同じ表現がある。 違いは、ガロアの原論文の記述 「一つの順列からそれぞれの順列に移る置換の集まりが、どの順列から始めても同じになる」（ここは、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>2ガロアの原論文のP27に少し違う表現で記されているが） に中村先生は忠実に説明されている でも、簡単に言えば 　H　　　 −−− αβγ βγα γαβ のガロア記法を、コーシーの記法で書き直すと (αβγ) (αβγ) (αβγ) (βγα) (αβγ) (γαβ) ってことでOK 359 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 08:16:13.65 ] >>358 補足 ガロアが「一つの順列からそれぞれの順列に移る置換の集まりが、どの順列から始めても同じになる」としているのは、 つづく「それゆえ、置換S,Tが同じ群に属すれば、置換STも確かにその群に属さねばならない」を言いたいためだったのだろう（＝ガロア群のガロア流の定義） ここ、置換の積STで閉じているという話は、中村先生の本でP211に詳しい説明がある でも我々が、ガロアの現論文を読むときは、群論の知識を前提としてガロア群は確立されたものとして、 ガロア記法→コーシーの記法の解釈を上記のようにすることで、現論文を直感的にできるねと中村先生の本で学んだ ここらは、>>59-60にも書いた。その応用編が>>53-58、>>75だ で、中村先生の本とあなたのおかげで、原論文でもやっとしていたところが、かなりスッキリした。ありがとう 360 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 08:32:11.57 ] >>354 補足の補足 ”　H　　　　　H*S1 −−−　−−−− αβγ　　βαγ βγα　　αγβ γαβ　　γβα となる。ここで、H*S1の順列の中でβαγをαγβやγβαに変換する置換を考えてごらん。 βαγ→αγβ　は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、 βαγ→γβα　は、（αβγ）に等しい。 βαγ→βαγ　は、ｅに等しい。” これを”ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略される”との視点から見ると ”　H　　　　　H*S1 −−−　−−−− (αβγ)　　(βαγ) (αβγ)　　(βαγ) (αβγ)　　(βαγ) (βγα)　　(αγβ) (αβγ)　　(βαγ) (γαβ)　　(γβα) つまり、置換S1は、コーシーの記法の上の順列にも作用して、同じように置き換えをしていると見ることができる ここは置換群論の変換”S1*H*S1^{-1}”>>351を学ぶときの重要なポイントだ。S1の逆元が出てきてなにをやっていのか見えないが、コーシーの記法の上の順列もまとめて置き換えているんだと見る 361 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 10:51:56.69 ] ところで、>>29の”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”で少し補足をしておきたい >>325辺りでも使っているが、 ”f(α,β,γ)=（α−β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に） で、（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）がそれ”と つまり、 Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４→式Ｖ４と（α,β）が対応しているという見方が重要だと ここは、ガロア論文の元の記述>>29では見えてこない 現論文>>3のP31の記述だが、ガロアは ガロア分解式（リゾルベント） 　V=Aa+Bb+Cc+・・・ 　a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる>>28 として、 ガロアは、根a,b,c・・・をVの有理式a=φV,b=φ1V,・・・・,am-1=φm-1V (am-1並べた最後の根でm番目の根、m-1は下付き添字) として、 （V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V, （V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V', （V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'', ・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・ （V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*, 注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）>>29 とガロア群（＝根の置換の群）を表す でも、この表現だと、例えばV'に対応する置換φV',φ1V',・・・・,φm-1V',が具体的にどういう根の並びになっているか不明 でも、直感的には例えば、V1=Ab+Ba+Cc+・・・（互換(a,b)）なら、根の並びも b, a, c ・・・（互換(a,b)）が対応するんじゃないかと。それが自然な対応で、そういう自然な対応になっていないと、群の積を考えたときに困るだろうと ここは原論文では詳しく説明されていないが、倉田>>4P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）を考えればそうなる （つづく） 362 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 11:06:48.57 ] >>361 つづき 例えば、 （V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V, （V=Aa+Bb+Cc+・・・　） の左右に、同じ置換σ（例えば互換（a,b））を施すことを考える これをV’と書いて V’＝Ab+Ba+Cc+・・・になるが φV,φ1V,・・・・,φm-1V,は、a,b,c・・・だが、これが互換（a,b）で, b,a,c・・・の並びに変わって、それは即ちφV',φ1V',・・・・,φm-1V',だと それが、倉田>>4P119の命題２の意味だと （我々凡人は、ここまで噛み砕いて言ってもらわないと、天才ガロアの論文は読みこなせない） 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/26(日) 12:22:39.44 ] >>353 なるほど。了解。 364 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 13:19:13.51 ] >>363 ありがとう 君に了解と行ってもらえると安心だ 365 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 13:43:48.89 ] ネットサーフィンをしていると、こんなのが www.mypress.jp/v2_writers/hirosan/story/?story_id=1850669 五次方程式とガロア群論を理解するための“単純な”たとえ話(サイエンス＋数学) / ヒロさん日記 ：2009/8/10 （抜粋） 数学の進歩を100年早めたといわれるガロアの群論は、ときどき気になっている。とりわけ「5次以上の方程式は代数的な一般解が存在しない」という話は、せめて大まかな流れぐらいは理解できないものか。 もっとも薄手の本は133頁からなる『ガロアと群論』（リリアン・リーバー）。冒頭はとてもわかりやすく読めるが、50頁の「不変部分群（正規部分群）」と55頁の「可解群」は頭にスッ〜と入ってこない。結局は、 １つの方程式は、その群が、その方程式の係数を含む体に対して、可解群であるとき、かつ、そのときに限って、ベキ根によって、解くことができる（81頁） ということが理解できればいいらしいが、この１冊だけでは埒が開けそうにない。翻訳調でわかりにくいところもある。そこで次に求めたのが『群論への30講』（志賀浩二）。 これは実にわかりやすく読める。11講以降の記号だらけの証明は読み飛ばしたくなるが、各講の最後にあるTea Timeという休憩コラムがこれまた面白く、なんとか先に進める。 で、問題の5次以上方程式に関しては、 5次以上の方程式にはべき根による代数的解法は一般には存在しないことを示した根拠は、ｎ＞＝５のときに、交代群Ａnは単純群であるという事実であった。（129頁） 「可解群でない」＝「交代群が単純群になる」と因数分解してくれたので、１歩前進だ。 方程式の問題をどのように群論に置き換えているのか、という全体像はチャートでも描いてみないとわからない。私が探した範囲では＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞が全体像をもっともよく俯瞰しているように思える。 このマップを見て、ピンと来ない人はいったん下山したほうがよさそうだ。私もこの夏休みで山越えができると期待して軽装備で歩き回ってきたが、山の怖さを知っているので、ここでいったん引き返したい。 ガロアが証明したのは1820年なので、200周年の2020年までに何とかしよう（笑）。 366 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 13:47:27.21 ] >>365 つづき www.mypress.jp/v2_writers/hirosan/story/?story_id=1850669 コメント抜粋 むむむ、侮れない 2009/8/10(月) 23:37 ピンちゃん ヒロさんが数学好きなひとであるのは知っていたけど、ここまで 本格的な興味をもっているとはおどろきました。 ただいま下山の最中です 2009/8/11(火) 01:21 Hiro-san★ブログ主 いえいえ、侮れないのは数学のほうです。整数、群論、関数、位相、集合・・・という山脈にうっかり迷い込んだら生きて帰って来れません。 でも五次方程式の山ぐらいは、アマチュア登山家のささやかな楽しみとして、体力をつけた上で登ってみたいのです。 ピンちゃんを昔いじめたのは、整数の女王さま？　ベクトルの剣？　三角関数の恋の病？　それとも微積分の羽交い締め？ ＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞（この[物理のかぎしっぽ]は、これ以外のページ（二十面体など）をかなり参考にさせてもらいました。） hooktail.sub.jp/algebra/GaloisTheory/ ガロア理論と代数方程式 367 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 14:09:03.01 ] ネットサーフィンで、こんなのも Wolfram|Alphaってページは初めてだけど、無料登録もあるそうだ 一度は覗いてみる価値ありだね blog.livedoor.jp/dankogai/archives/51507410.html 2010年08月23日 22:30 群の叡智 - ガロア理論を知るための三作 （抜粋） 四次までなら、Wolfram|Alphaも知っている。次数が一つ上がるごとにとてつもなく難しくなっていくことがここからも伺えるだろう。 a_0x+a_1=0 - Wolfram|Alpha　www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%2Ba_1%3D0 a_0x^2+a_1x+a_2=0 - Wolfram|Alpha　www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E2%2Ba_1x%2Ba_2%3D0 a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0 - Wolfram|Alpha　www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E3%2Ba_1x%5E2%2Ba_2x%2Ba_3%3D0 a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 - Wolfram|Alpha　www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E4%2Ba_1x%5E3%2Ba_2x%5E2%2Ba_3x%2Ba_4%3D0 ところが、五次ともなるとお手上げなのだ。 a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0 - Wolfram|Alpha　www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E5%2Ba_1x%5E4%2Ba_2x%5E3%2Ba_3x%5E2%2Ba_4x%2Ba_5%3D0 「天才ガロアの発想力」、「ガロアの群論」と読み継いだ人であれば、本書も落ちついて読めるはずだ。「決して難しくはない」という「ガロアの群論」の紹介は間違っていない。問題に回答集が付いているのも親切だ。 刊行の順番がこうだったらどれほどよかったか。しかし現実は逆である。ガロア理論に限らず。後にかかれた本ほど、難しかったことがやさしく書かれている。 天才とは、それを逆に進めることなのだ。坂を上るのは大変だが、下るのは楽なのに似て。 そして一旦坂を上り切ってしまえば、そこから同じ道を下る必要はない。裾野は四方八方に広がっている。 その裾野が広ければひろいほどすごいということになるが、群論の裾野の広さは群を抜いている。ルービックキューブから宇宙論まで、およそ対称性があるところには必ず顔を出す。 ルフィニもアーベルもこの点では頂上に一歩およばず、そしてガロアも眺望を楽しむ前につまらぬ、実につまらぬことで絶命してしまった。 368 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 14:46:12.02 ] こんなのも wind.ap.teacup.com/skreduhs/253.html ガロア理論　なぜこの方程式は解けないか？ （さくら教育研究所） ■ガロア理論への旅　その１ ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。 おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。 ところが、最近になって急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。 数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。 そして、わかってしまうと、結局は「2次方程式の解の公式」の中にすべての秘密が隠されていることに気がつかされるのである。（某大学の先生） ■ガロア、わが青春の砕けた夢 　いまでも数学というと陶然となる。もちろん高校までの受験数学や教養課程の数学ではない。今でも理解したくても出来ないのがガロア理論だ。 確かにガロアといえばその政治的人生と失恋、決闘による悲劇の最期の生涯ばかりが語られがちだ。これもやむを得ないことでガロア理論、現代数学の真のスタート、があまりに難解で読んでも聞いてもまず常人では理解不可能なしろものだからだ。 これは何もガロア理論に限らず近代から現代数学の諸天才になる数学理論の全てに妥当するがその象徴的、あらゆる意味で象徴的な存在がガロアである。 今はラインナップが整理されたようだが東京図書からは数多くの数学ジャンルの本が出版されていた。その中で「ガロア理論」を高三のとき購入し、読み始めたが余りの難しさに持っているだけの満足感を求めるしかなかった。 「ガロア、その真実の生涯」は数学自体は出てこないに等しいので誰にでも読める。だが、これでは何も理解したことにはならない。 カントールの「濃度の理論」の集合論は分かる。 だが抽象代数学は本当に難しい。 ガロアの群論からさらにリー群論となるとてんで一行も進まない。（某お医者さん） 369 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 15:11:13.68 ] こんなのも。海城ね www.kaijo-academy.jp/press/2011/08/post_311.html 第二回数学科リレー講座「ガロア生誕２００年記念講習会」第六日目　2011.08.28. (海城PRESS) 抜粋 最終日の今日（２７日）は網谷先生が担当（写真１）。ガロア理論のアプローチの方法はいくつか考えられますが、昨日の授業を聞き、その「バトン」を受けて、アンカーはスタートされました。 中間地点にさしかかり、いよいよガロア理論の本題である，体の拡大とガロア群の縮小の関係が登場しました。 「解けていない」方程式を「解けた」方程式にするために，係数体にべき乗根を添加して拡大体の列をつくること。そのとき，各拡大体上のガロア群が縮小して部分群の列が対応すること。 そして，方程式の可解性がガロア群の可解条件で表せることが，見事に示されました。 ともあれ、偉大なガロア先生生誕200年に際し、このような試みができたことに担当者一同、感謝で一杯です。熱心に聴講してくれた受講生の皆さん、有難うございました。皆さんの今夏の思い出のひとつにしてもらえれば、こんな嬉しいことはありません。 【講義を終えて】（網谷先生） 最終日は、ガロアの定理の説明がテーマです。 この定理は、有理数体の拡大体と方程式のガロア群の部分群が対応するということをいうものですが、非常に難解な定理として知られています。 中高生に伝えるとなったとき、全く分からなかったとなると残念なことになるので、「数」の視点から、ガロア理論の意義のなるべく分かりやすい説明を最初に行いました。 結構真剣に聞いてくれている様子でうれしかったです。 そのあとの話の流れは、「方程式のガロア群」→「ガロアの定理」→「3次方程式」 となりました。「5次方程式」は、時間の関係で説明できませんでした。 3次方程式がなぜ平方根と3乗根を1回ずつ使って解けるのかということを伝えたかったのですが、途中でタイムアップ。 ガロア群を見れば、方程式が解けるかどうか、また解ける場合どういう風にべき根を取ればよいかが分かる。 このことが、定理の醍醐味で、ガロアの天才ぶりを表すものです。 プリントなどの準備には、いろいろ悩んだところもあったのですが、数学の奥深さや美しさ、何でもよいので興味をもって皆さんが勉強を進めてくれたら、これ以上の喜びはありません。 370 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 15:20:11.71 ] >>369 網谷先生って、次の早稲田理工の網谷泰治先生かな？ 名前が珍しいから、検索してみた www.wnp7.waseda.jp/cgi-bin/kadai/KadaiShowDetails.cgi?LANG=JPN&ENV=REAL&DATA=5100&HS=&QS=LANG%3DJPN%26ENV%3DREAL%26END_YEAR%3D%26KADAI_NUMBER%3D%26KYOUIN_S%26next%3D5000 課題番号: 2007A-874 研究課題 高次数 Castelnuovo 多様体の構造に関する研究 研究者所属 資格 氏名 (代表者) 理工学術院 助手 網谷　泰治 371 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 15:52:58.32 ] >>365-370 ネットサーフィンはこれくらいにして なかなかガロア理論を全体的かつ直感的に理解するのはむつかしいという声が多いので、ここまでのスレをまとめてみよう >方程式の問題をどのように群論に置き換えているのか、という全体像はチャートでも描いてみないとわからない。私が探した範囲では＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞が全体像をもっともよく俯瞰しているように思える。 >このマップを見て、ピンと来ない人はいったん下山したほうがよさそうだ。私もこの夏休みで山越えができると期待して軽装備で歩き回ってきたが、山の怖さを知っているので、ここでいったん引き返したい。 このマップは、現代ガロア理論のものなんだよね ガロアは体論はもって居なかった。持っていたのは、>>361-362の体論の代用となるV=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）>>28と、Vと置換との同型対応（例えば（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',） それを通して、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がどうなるかを見る>>33 これが、ガロア理論の足場>>198-200 そして、ラグランジュの定理というのが、ガロア理論の一つの補助線なんだ>>330 ラグランジュの定理は、>>314の定理3.3にあるが 定理3-3 有理式f(x1,x2,・・・,xn)を変えない置換で，有理式g(x1,x2,・・・,xn)を変え ないならば，有理式gはfの有理式になる。係数はx1,x2,・・・,xnの対称式である． （つづく） 372 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 16:11:33.11 ] >>371 つづき １．V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28 　　だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ ２．ここで代数的可解性の原則を認めて、元の方程式が解けるためには、根a,b,c・・・の有理式から補助方程式を作って、補助方程式の根を添加することで、方程式を解くことを考えてみよう ３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント） ４．で、>>343 　・ある根の有理式を持ってくる 　・その有理式で根a,b,c・・・の置換を行なって、値の異なるものを集める 　・そうして、最小定義多項式（＝補助方程式）を作る（補助方程式は根と係数の関係から、元の体の数になる） 　・最小定義多項式には、有理式の置換で異なる値（補助方程式の共役な根）が含まれる 　・補助方程式を全部添加して、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）の因数分解（可約性）を見ると、因数分解できるときは補助方程式のガロア群をHとしてHがもとの方程式のガロア群Gの正規部分群になってしまうんだと 　ここは、上記の>>345-348だ つづく 373 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 16:59:42.77 ] >>372 つづき ５．繰り返しになるが、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっている 　　で、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）で、代数的可解性の原則から根a,b,c・・・の有理式を持ってきても、全部Vとガロア（分解）方程式F(x)の土俵の上に乗っている 　　つまり、ガロアはVとF(x)で、根の有理式が全部乗る土俵を作った。代数的可解性の原則を認めれば、ここからこぼれるものはない ６．そして、根の有理式から補助方程式を作ってF(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*の因数分解（可約性）を見るとガロア群Gの正規部分群になるように分解するしかない 　　つまり、ガロア群Gが正規部分群を持つという良い群としての性質を持っていないと、いくら補助方程式を作ろうと思っても、それは元々無理だと ７．これを具体例で見ると、>>323-342だ 　　>>280のように３次方程式の根の有理式(α-β)^2 を考える。根の置換を考えると、 　　補助方程式 g(x)={ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0ができる 　　ここで、有理式(α-β)^2 だけなら２次式で簡単だけど、置換をすると、共役な(β-γ)^2、 (γ-α)^2達が出現する 　　で、補助方程式は３次式で根は３つになる 　　この補助方程式の根全てを添加するとは、>>328補助方程式 g(x)のガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2 を作って（係数A、B、Cは置換で値が異なるように取る） 　　V’を添加することと同じ 　　ところが、ガロア分解式V’は、根α、β、γの置換全てで異なる値を取り、６つの異なる値を取ることに ８．上記７を要約すると、簡単な有理式をとってきても、そこから補助方程式を作るときに、共役な仲間達が出てきて次数が上がる。 　　そして、ガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2 を作ってその取る値を見ると、また次数が上がる場合がある。 　　この場合は、結局６次まで次数が上がってしまって、VとV’は同じ分解能力を持つってことになってしまった（つまり、方程式を解く視点からは役に立たないと） つづく 374 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 17:10:50.91 ] >>373 つづき ９．ここで、一般の５次方程式のガロア群は、５つの根の全ての置換120個からなるS5（5次の対称群）で、S5の正規部分群はA5（位数60の5次の交代群）のみで、A5は単純群で非可解だということを認めよう １０．となると、上で述べたように、どんな有理式を作って補助方程式を作っても、元々の群がいい性質を持っていないから無理だよと １１．この事情を、上記にならってお話風に言えば、一般の５次方程式のガロア群は、置換の組み合わせが120、交代群で60もあって、根の有理式をよってたかって沢山値を作ってしまう 　　　沢山値を作ってしまう仕組みは、根の有利式の共役な仲間達と、その仲間達と作る補助方程式のガロア分解式V’の組み合わせの作用 　　　一口で言えば、置換の組み合わせが多すぎて、次数は下げられないよと 375 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 17:21:32.82 ] >>374 補足 １．S5の正規部分群はA5（位数60の5次の交代群）のみは、５次以上ではそうなると証明できるそうだ 　　A5は、偶置換全体の成す群だと。残りが奇置換全体。 　　この事情は、根の全ての差積からなるΔ（＝判別式Dを√で開いたもの。というか、Δの自乗がDという方が正しいかも）を添加することで、ガロア分解方程式が120次から60次に下げられるということにつながる ２．根の全ての差積からなるΔは、全ての奇置換で値を変える（正負の符号が変わるだけ）。しかし、偶置換では値を変えないという性質がある。で、Δの自乗Dは、偶置換でも奇置換でも値は変わらないと 376 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 17:31:21.27 ] >>372 代数的可解性の原則は、下記のP26などをご参照。倉田>>4なら、P154など homepage2.nifty.com/cakravala/historyofequation.pdf　>>321 方程式論の歴史（平成１４年） 377 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 18:07:49.61 ] >>376 訂正 >>321 　↓ >>317 378 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/26(日) 18:50:52.97 ] 俺の８６を賭けて決闘だーーーーーーーーーーーー！ 379 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 19:27:17.28 ] >>375 > １．S5の正規部分群はA5（位数60の5次の交代群）のみは、５次以上ではそうなると証明できるそうだ えーと、この件は下記、URLの定理をご参照 定理4.15. n ? 5 ならば，交代群An は単純群である．すなわち，An 自身と{1} のほかに正規部分群をもたない． 定理7.3. n ? 5 のとき，交代群An は可解群ではない．また，対称群Sn も可解群ではない． mathematics-pdf.com/pdf/ PDF形式の数学ノート : MATHEMATICS.PDF mathematics-pdf.com/pdf/symmetric_grp.pdf 対称群(154KB) 380 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 20:40:53.09 ] >>379 補足 お話風には、対称群や交代群は、次数が上がると、置換の絡み合いが増えて、正規部分群が減るってことなのだが 次の正多面体との関係も参考になる 交代群A5が、正２０面体群と同型で、楕円関数を使えば解けると（それくらい根の絡み合いが複雑になっていると） www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/450_20.htm ５次方程式・再訪 (07/02/07) クラインの見た正２０面体（正２０面体方程式） 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/27(月) 09:35:00.25 ] 集合を分解して細かくしていく、という一つの過程の中で、 なかには特殊な性質の集合もありました。そして偶然にも ワレワレが昔から知っていたのはその特殊なモノだけだったのです。 382 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/27(月) 16:09:36.39 ] 初学者を騙くらかすような表現が多くて怒りを覚える。 定性的な言い回しは禁欲的に。 383 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/27(月) 20:46:25.92 ] >>381 乙す まあ、そういう見方もあるね 低次元と高次元では性質が違うという見方もできるかも 384 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/27(月) 20:47:21.32 ] >>382 乙 そういうなら自分でも何か書いてみな 批判はそれからにしてくれ！ 385 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/27(月) 22:32:44.62 ] >>143-144 >さて、今日の本題は、「数学史 (数と方程式)」小杉肇 >このP118にLagrangeの方程式論が詳しく書かれている >日本語の文献としては、Lagrangeの方程式論がもっとも詳しく書かれていると思う 最近気付いたが、下記Jean-Pierre Tignolも詳しい というか、P156の定理10,7など、ガロア論文>>3のP39のラグランジュ分解式のn乗を扱っていることや補助方程式の次数が(n-2)!になることと、完全に一致している 一致という意味では小杉の方がお話風で読みやすいが ともかく、こういうラグランジュが到達していた地点を見ると、ほとんどガロアに近い というか、ガロアは完全にラグランジュを下敷きにしていると思う その痕跡をかなり消しているが ただし、方程式のガロア群とその分解を明確に意識して理論を展開したという点では、やはり天才ではあるのだが www.kyoritsu-pub.co.jp/shinkan/shin0503_03.html 代数方程式のガロアの理論 （ISBN4-320-01770-6） Jean-Pierre Tignol　著 新妻　弘　訳 A5，360頁，3200円 第10章　ラグランジュ 10.1　方程式の理論の成熟 10.2　既知の方法に対するラグランジュの考察 10.3　群論とガロア理論の最初の成果 386 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/27(月) 22:50:35.35 ] >>385 ガロアは、ラグランジュの理論も、ガウス理論（円分論）もアーベル理論（５次方程式の非可解とアーベル方程式）も見ていたのだろう そして、 ガロアリゾルベント V=Aa+Bb+Cc+・・・ 置換群のガロア記法>>28 a b c d・・・・k b c d・・・・k a ・・・・・・・・・・・ ガロアリゾルベントと置換群のガロア記法との対応>>29 （V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V, （V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V', ・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・ ガロア（分解）方程式 F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*） を道具として、元の方程式の根の有理式を添加したときのガロア（分解）方程式の変化を、群論（正規部分群）として捉えた それは、やはりラグランジュや、ガウスやアーベルよりも高い地点に到達したということだろう 補助方程式の根を全て添加して、ガロア（分解）方程式が可約になるためには正規部分群の存在が必要なのだと そこから、べき根添加の場合にどうなるかをガロアは正しく把握した ラグランジュとガロアの差は、パラダイムシフトと見ることができるかも・・ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%80%E3%82%A4%E3%83%A0%E3%82%B7%E3%83%95%E3%83%88 パラダイムシフト（英: paradigm shift）とは、その時代や分野において当然のことと考えられていた認識や思想、社会全体の価値観などが革命的にもしくは劇的に変化することを言う。 387 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/27(月) 23:02:02.41 ] まあ、アインシュタインが特殊相対論を提唱したことに例えられるかも ポアンカレも「ローレンツ収縮」には到達したが、アインシュタインのように空間と時間が相対的に変化するというところへは、到達できなかった 「空間と時間が相対的」ということは、一種の物理における補助線だった この補助線で、物理の世界の見え方がすっかり変わってしまったのだった ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96 ローレンツは1900年に「マクスウェルの方程式から導かれる電磁気学の法則はローレンツ変換に対して不変である」（ローレンツ不変）ことを発見した。 力学の法則はガリレイ不変であるが、電磁気学の法則はローレンツ不変であるという矛盾に対し、数学者のアンリ・ポアンカレはローレンツ変換に対して不変とした力学の法則を提示した。 この力学では、光速に近い速度では物体の長さが減少するという「ローレンツ収縮」が導入されている 388 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/27(月) 23:10:13.24 ] >>384 これらの文章を自分の責任で書き直すならば、書き足しはしない。ただただ大量に削る。 389 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/27(月) 23:18:51.15 ] >>384 補足 ここは２ちゃんねる。大学の講義と同じ内容を期待しているなら、期待はずれ というか、大学の講義と同じ内容なら、このスレの存在意義はないよ 初学者を騙くらかすだ？　初学者はいつまでも初学者じゃないだろうよ 入手可能な書籍およびネット上の情報は提示している。このスレをきっかけに自分で勉強するんだよ。このスレだけで完結すると考える方がなんだかへん 定性的な言い回しが良いんだよ。ここは、２ちゃんねる 難しい厳密な表現と証明は、世の中の数学書にあふれている それと同じ内容なら、このスレの存在意義はないよ 定性から厳密な定量へ（それは主に本の該当箇所の提示になるだろうが）、厳密な定量から定性へ この行ったり来たりがこのスレの存在意義だよ 定理の積み重ねで数学が出来上がっているというのは、数学の一面に過ぎない もっと自由に、もっと直感的に！>>199-203 >>76 ”「数学に直感を取り戻そう！」>>25 難しいことをやさしく、複雑なことを本質を抽出して単純化する>>26 複雑なことを図式化し、見える化する>>27 細部に立ち入る前に全体像を把握する これぞ数学の真髄（こころ）”ということ それがこのスレの存在意義 390 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/27(月) 23:24:13.26 ] >>388 評論家は世の中に沢山いるんだ 巷の野球評論家は、プロ野球選手と同じプレーはできなくとも、口先だけは一人前さ 391 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/27(月) 23:58:47.55 ] ここは2chだと分かっているのにスルースキルは無し 392 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/28(火) 06:12:07.72 ] >>391 乙！ スマソ。荒らしをあおった、おいらがバカだったorz 393 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/29(水) 00:01:29.58 ] >>361 >でも、この表現だと、例えばV'に対応する置換φV',φ1V',・・・・,φm-1V',が具体的にどういう根の並びになっているか不明 >でも、直感的には例えば、V1=Ab+Ba+Cc+・・・（互換(a,b)）なら、根の並びも b, a, c ・・・（互換(a,b)）が対応するんじゃないかと。それが自然な対応で、そういう自然な対応になっていないと、群の積を考えたときに困るだろうと > >ここは原論文では詳しく説明されていないが、倉田>>4P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）を考えればそうなる これ少し考えて見たが 倉田>>4の７節「ラグランジュの定理」の証明に使う分母に微分が来る式があるんだが、その筋で直接照明できるね 時間があるときに書く 394 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/29(水) 00:13:22.55 ] >>386 >ラグランジュとガロアの差は、パラダイムシフトと見ることができるかも・・ ガロア第一論文の最後は、素数次数の既約方程式への応用で、位数n(n-1)の線形群のときに、累乗根で解けるとしている これも、ガロアリゾルベントを使って考えた方が、見やすいかも 後日、時間のあるときに 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/29(水) 10:01:27.39 ] ↓のレスを見て思い当たった。このスレはお節介が過ぎるのだ。 141: 猫は馬鹿が憎い ◆MuKUnGPXAY [age] 2012/02/23(木) 00:19:38.13 >>139 ブルバキのスタイルは私は大好きですね。余計なお節介が一切ないので。 396 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/29(水) 21:49:08.54 ] >>395 乙 「お節介」の定理かね？ その定理を自分に当てはめてみたら？ 自分が余計な３行（正確には４行か）を書いたとは思わないのかね？ なに？ おいらのレスがお節介だと天の声！ 失礼しましたorz 397 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/29(水) 22:22:12.53 ] >>395 吉田輝義さんのガロア理論というのが落ちていた これでも読んで、感想文でも書いてくれ www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/2010_Galois_M24/2010_Galois_M24.pdf GALOIS THEORY MICHAELMAS 2010 (M.W.F. 11AM, MR3) TERUYOSHI YOSHIDA www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/algebra/GaloisbySH.htm 398 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/29(水) 22:35:37.51 ] Maximaを使っているこんなページもあった www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/perm/glgrp.htm Galois 理論の数値実験 最後に 多くのGalois 理論の教科書は抽象的過ぎると考えます。人間の抽象化能力は具体的事実とのペアで働きます。具体例を伴わない抽象化は無意味です。論理だけでは抜けが入り込むからです。 399 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/29(水) 22:55:16.39 ] こんなのがあった repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/handle/10132/1612 repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf 可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/29(水) 23:14:17.34 ] >>398 ＞多くのGalois 理論の教科書は抽象的過ぎると考えます。 細菌の教科書はバカ丁寧なほど実例が挙げられていると思うけど、 具体的にどのような本のことを言ってる？ 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/29(水) 23:29:11.83 ] そういや昔クマーがガロア理論に方程式論は必ずしも必要はないっていうようなことを 言ってたと思うんだけど、俺もそれには同意だな。かなり叩かれてたけどｗ 方程式論までしか知らない人にはガロア理論はそれがすべてなんだろうけど、 いまはもっと広い意味で使われてるんですよ。 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/29(水) 23:40:43.99 ] 昔なら読めるもんなら読んでみろって感じだったんでしょうか 今は読んでください丁寧に説明します、ですかね 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/29(水) 23:57:49.12 ] 初学者にとってのモチベーションが失われるような意味もある もっと上のレベルの事を勉強してたら広い応用があることがわかるはずだ、 とか言ってたら、数学を既に知っている人しか教科書を読めなくなる 実際そういう本は多いけどね 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/01(木) 00:01:59.43 ] 398の意図を読み損なったと思ったので、401のレスをしました。 今の教科書が不親切云々ではなく、体論に基づいたガロア理論が抽象的だという 話だったのかなと思ったので。 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/01(木) 00:16:53.22 ] ガロア理論は多くの人が関心をもっているだけに、具体的でていねいな教科書が多いと思うけどね。 当然そうでないのもある。そういうのがだるいという人もいるので。 自分にあったのを選べば良いわけで、少なくともガロア理論はそれが可能なだけの数はあるんじゃない？ 406 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/01(木) 06:39:01.36 ] >>400 乙 >＞多くのGalois 理論の教科書は抽象的過ぎると考えます。 これは、引用元の人が言っていることだよ、おいらじゃなく だが、”自分で具体例を手を動かして計算しなさい”という意図だよ まあ、教科書はページ数の制約もあるから（それは出版社からの営業上の要請（ページ数と値段がほぼ比例）もあり）、ある程度ページ数は削らざるを得ない。だが、ネット上はそういう制約はなしだ >>401-405 視点が違う スレタイ”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む”だ 現代ガロア理論ではなく、古典としてのガロア論文を読むことを主眼とするスレだよ、ここは！ 407 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/01(木) 07:43:10.97 ] >>393 >でも、この表現だと、例えばV'に対応する置換φV',φ1V',・・・・,φm-1V',が具体的にどういう根の並びになっているか不明 >でも、直感的には例えば、V1=Ab+Ba+Cc+・・・（互換(a,b)）なら、根の並びも b, a, c ・・・（互換(a,b)）が対応するんじゃないかと。それが自然な対応で、そういう自然な対応になっていないと、群の積を考えたときに困るだろうと >倉田>>4の７節「ラグランジュの定理」の証明に使う分母に微分が来る式があるんだが、その筋で直接照明できるね 今日はこれ。>>315>>317倉田>>4§７より （ラグランジュの定理） 体ｋ上のｎ（＞１）次の多項式の根α１、・・・、αｎは重根を持たないとする。 α１、・・・、αｎのｋ上の有理式 β＝φ（α１、・・・、αｎ）、γ＝ψ（α１、・・・、αｎ）において βを不変にするすべての（α１、・・・、αｎ）の置換によって、γが不変ならば、 γはβのｋ上の有理式で表される。 証明は、 デデキント、ラグランジュの論法を使う βを不変にするSn（ｎ次対象群）の部分群をHとし、 Sn＝H＋σ1H＋・・・＋σk-1H とする。 β1＝σ1β、β2＝σ2β、・・・、βk-1＝σk-1β とおけば、 β、β1、β2、・・・、βk-1は、Snの置換によって生じる量の全部である。 γから同様にγ1＝σ1γ、γ2＝σ2γ、・・・、γk-1＝σk-1γを作る。 このとき、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1も、Snの置換によって生じる量の全部である。 但し、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1の中に等しいものはあり得る。 F(ｘ)＝（ｘ−β）（ｘ−β1）・・・（ｘ−βk-1） を作ると、根と係数の関係から、F(ｘ)はｋ上の式。 F(ｘ)（γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））＝G(ｘ) を作ると、G(ｘ)もSnの置換によって不変だから、ｋ上の式。 これから、 γ＝G(β)／F’(β) 即ち、γはβのｋ上の有理式 F’(β)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分) 408 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/01(木) 08:04:07.16 ] >>407 このデデキント、ラグランジュの論法は、すこぶるエレガントなんだ 409 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/01(木) 22:20:46.91 ] >>407 補足 （γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））の式で、分母と分子が同じ置換で生じた値でペアになるようにしている これがミソ つまり、ある置換で分母分子がくっついて同じように動くから、式（γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））は置換で項の順序が入れ替わるだけで、和として値は同じ だから、式（γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））は、ｋ上の有理式だと このやり方は、「数III方式ガロアの理論」矢ケ部 巌>>198の P210-211にもある。 最初これを読んだとき、なにをしているのか、さっぱり分からなかった印象がある でも、今見るとエレガントだなと 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/01(木) 22:35:09.47 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 411 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/01(木) 22:49:36.70 ] >>407 訂正 F’(β)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分) 　↓ F’( x )＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分) >>409　つづき >>372 「１．V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28 　　だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ」 「３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント）」 V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントで、>>407にならって、Snの置換によって生じる量の全部 V、V1、V2、・・・、Vk-1　（k=n!） で、元の方程式の一つの根aがa＝φ(V)という有理式で表されたとして、上記同様Snの置換によって生じる量の全部を考え φ(V)、φ(V)1、φ(V)2、・・・、φ(V)k-1　（k=n!） ここで、この中には同じ値のものが存在する。例えば、一般５次方程式なら根は５つ(例 a,b,c,d,e)であるから、異なる値は５で２４づつ同じ値が存在する。 F(ｘ)＝（ｘ−V）（ｘ−V1）・・・（ｘ−Vk-1）として F(ｘ)（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））＝G(ｘ) φ(V)＝G(V)／F’(V) F’(x)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分) 412 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/01(木) 23:27:49.76 ] >>411　つづき で、分かりやすく一般５次方程式で根５つ a,b,c,d,eで考える。 １．ある置換σがあって、根aがbに置換されたとする そのとき、ガロアリゾルベントVの値が変わるがその式をVbと名づけよう Vb＝Ab＋・・・（後の・・・は根b以外の項） F(ｘ)（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））＝G(ｘ)　（k=5!） で、この式の両辺に置換σを施す この式全体は、ｋ上の有理式だから、左右両辺は全体としては変わらず等号は成り立つ ただ、（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））の並びが変わる φ(V)／（ｘ−V）は、φ(Vb)／（ｘ−Vb）に変わる φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb) ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb) つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb) ２．逆にある置換σでaが不変なら、上記の論法でφ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)は、aのまま ３．同じことが、aがc、ｄ、eに変わるときにも言える。つまり、ある置換σとそれに対応するガロアリゾルベントでのaの変化は完全に対応している ４．上記の論法（φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)）で、同じことは他の根（b,c,d,e）の全てに言えて、ある置換σにおける根の入れ替わりと、その置換に対応するガロアリゾルベントでの根の入れ替わりは同じ 413 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/01(木) 23:38:20.54 ] >>412 なので、>>325でしたように ”f(α,β,γ)=（α−β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に） で、（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）がそれ” と、置換（α,β）（＝α,βの互換）を考えて、それをベースに素直に（ガロア論文にある根の有理式を経由しないで）ガロアリゾルベントで直接根の置換を考えて良いということになる そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ） ここは、前述>>361のように 倉田>>4は、P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）で扱っている >>409-412が証明になっているかどうか不明だが、分かりやすい説明にはなっているだろう 414 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/02(金) 07:15:34.96 ] >>412 補足 >ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb) >つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb) ここは、 φ(V)=aで、φ(V)／（ｘ−V）は、デデキント、ラグランジュの論法>>407のもともとの式の定義から、分母と分子は一つの置換で連動して動くことになっていたから>>409 分子aがbに置換されれば、分母のVの式中のaもbに置換されると そういう見方もできる >そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ） V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a,b,c,・・・）が対応し V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a',b',c',・・・）が対応し この順列と下記の置換が対応する （a,b,c,・・・） （a',b',c',・・・） （ここは、置換のコーシー記法で、上段と下段とを大きな括弧で括っていると見てください） V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベント 　↓ （a',b',c',・・・）順列 　↓ （a,b,c,・・・）置換 （a',b',c',・・・） という三点セットで、ガロアは置換群をガロアリゾルベントの集合として捉え、ガロアリゾルベントを体論の代用として使った これがガロアの見ていた原風景ではないだろうか 415 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/02(金) 07:43:29.83 ] >>414 ガロアリゾルベントを体論の代用として使うメリットもある 例えば、ガロア論文の最後の定理 「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、（この方程式の）根の任意の二つがわかれば、他（の根）はそれから有利的に導かれることが必要十分である」と つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は V=Aa+Bb　と二つの根で十分だと とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった 416 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/02(金) 21:29:40.88 ] >>415 とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった 補足 ガロア群Gの位数がn(n-1)として、nは素数 とすると、シローの定理(下記)により、ガロア群Gは素数n次の巡回群を部分群として含むことになり、Gは線形群が出るのだろう ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 シローの定理 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/03(土) 02:12:13.43 ] これだけ古典的数学に造詣をお持ちの方というとＴ氏なんでしょうか？ 418 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 07:27:36.47 ] >>417 乙です Ｔ氏がどなたか存じ上げませんが、別人です 419 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/03(土) 08:13:06.94 ] test 420 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 09:32:06.95 ] >>415 補足 ガロア論文>>3の第VII節は、原文ままでは分かりにくい 倉田>>4 P164の解説がお勧め ガロアは、素数P次の既約方程式に対し G=H1＞H2＞・・・＞Hμ-1＞Hμ＝（e） （ここで＞などは、群論の含む記号のアスキー代用。また、Gは方程式のガロア群、（e）は単位元のみからなる群） という、べき根添加による正規拡大列を見ていた そして、（e）の直前のHμが素数P次の巡回群であることを述べ、Hμ-1が線形群になることを述べる 倉田P166（エドワーズ）の証明では、Hμ-1が素数P次の巡回群の正規拡大であることを使って、線形性を導いている 直感的でわかりやすい ガロアは時間が無かったのか、あるいは現在のように群論を表現する記法が十分発達していなかったのもあると思うが、お話し風に書いてあるので分かりにくい 一度、解説を読んで、それから原文を読むのが良い ガロアは間違いなく、倉田（エドワーズ）が示すような風景を見ていたことは確かだろう。だが、見ている風景を表現する記法は当時十分発達していなかったのだった なお、第VII節のP39の最後のラグランジュの分解式（正確にはそのn乗）を使う解法は、ラグランジュがすでに得ていたことは、 「数学史 (数と方程式)」小杉肇や「代数方程式のガロアの理論」Jean-Pierre Tignol>>385に記されている 倉田>>4は、P206「22. ラグランジュとガロア」で、両者の関係について詳しく述べている ２説あるという。一つは、ガロアがラグランジュ理論の完成者だと 上記の小杉肇やJean-Pierre Tignolを読むと、この説に近いかなと個人的には思う （倉田は、P208で当時ガロアが逮捕されていたときの釈放要求の新聞記事でガロア論文は 「ラグランジュの解釈できなかった困難を取り除くもの・・・」を引用している） ”記者がこれらのことに通じているとは考えられないから、これはガロア自身が語ったことだろう”と 421 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 09:33:09.85 ] >>420 （さらに補足） しかし、そうだとしても、群論の創設は革命的であり、パラダイムシフトと見ることが出来る>>386 まあ、アインシュタインが特殊相対論を提唱したことに例えられるかも>>387 （特殊相対論によって物理学は、単なる数式でしかなかった「ローレンツ収縮」>>387 を大きく超えて発展したのだった） 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/03(土) 13:51:48.78 ] >>421 群論（正確には置換群）はルフィニやアーベルも使ってるよ。 423 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 21:03:55.60 ] >>422 >群論（正確には置換群）はルフィニやアーベルも使ってるよ。 なるほど、そういう意味で遡ると、群論の始祖はラグランジュだろうな 「代数方程式のガロアの理論」Jean-Pierre Tignol>>385 P146 「10.3 群論とガロア理論の最初の成果」に、 「・・・ラグランジュ・・・。実際、彼は根の置換に関する計算に着手しており、群論とガロア理論における最初の成果を得ている。」と認定している ところで、有名なペレルマンが、「ハミルトンのリッチ・フロー発見に対する評価が十分でないことなど、数学界の不公平さに異議があることをその主たるものとして」ミレニアム賞の受賞を断ったとか ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3 2010年3月18日に、クレイ数学研究所は、ペレルマンがポアンカレ予想を解決したと認定して、ミレニアム賞（副賞として100万ドル）授賞を発表した。 彼は2010年6月8日の授賞式に姿を見せなかったが、クレイ数学研究所の所長は「選択を尊重する」と声明を発表し、賞金と賞品は保管されるという。 同年7月1日にロシアのインテルファクス通信がペレルマンの話として伝えたところによると、受賞を断った理由は複数あるが、ハミルトンのリッチ・フロー発見に対する評価が十分でないことなど、数学界の不公平さに異議があることをその主たるものとしてあげたという。 （引用おわり） つまり、「数学界では、大伽藍の最後のタイルを貼り付けて、証明を完成した者が評価される」という性癖があると言われる ペレルマンは、「自分はハミルトンという巨人の肩の上に登って、仕事をしたのだ」と言いたかったのかも さてガロアの例で言えば、ラグランジュは置換群論の始祖であって、彼が最初の成果を得たことは、Jean-Pierre Tignol>>385認定の通りだろう そして、おいらも「ガロアがラグランジュ理論の完成者だと」思う>>420 だが、数学界一般では、ガロアを群論の創始者とする人たちも多いみたい。それは、ガロアが大伽藍の最後のタイルを貼り付けて、目覚しい成果を数学界の人々に見せたからだろう ガロアが、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたことは確かだと思う だが、大伽藍の成果を目に見える形にしたのはガロアだ 424 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 21:08:05.91 ] >>423 >ガロアが、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたことは確かだと思う >だが、大伽藍の成果を目に見える形にしたのはガロアだ 現代では、誰もが先達の巨人の肩の上にいる それを否定しては、何事も成り立たない 巨人の肩の上に乗っていいが、礼儀がある 先達のオリジナリティーを尊重し、きちんと引用を明確にすること この点、ガロアはラグランジュの引用が少なすぎると思う だが、彼は若かったし、時間がなかったのだろう。この点はスルーとしたい 425 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 21:26:54.09 ] >>424 補足 巨人の肩という言い方は、ニュートンの言葉として有名だ（下記） ja.wikiquote.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%B6%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3 私がさらに遠くを見ることができたとしたら、それはたんに私が巨人の肩に乗っていたからです。--ロバート・フック宛書簡、1675年2月5日（ユリウス暦、グレゴリオ暦では1676年2月15日） If I have been able to see further, it was only because I stood on the shoulders of giants.　 q.hatena.ne.jp/1209546713 ニュートンの有名な言葉「巨人の肩の上に〜」について、その典拠を調べています。 ライバルであるロバート・フックあての1676年2月5日付けの手紙だそうです。 ただし、この言葉はニュートンの独創というわけではなく、1159年にすでに引用の形で残っているとのこと。 426 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/03(土) 21:32:30.52 ] >>423 単純に、有名な問題を解いたというだけで賞金を出す クレイの売名行為が嫌いだったんだろう。 グロタンディクが、軍から研究所への資金援助を嫌って 隠遁生活に入ったようなもんだ。 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/03(土) 22:05:01.01 ] >>423 >なるほど、そういう意味で遡ると、群論の始祖はラグランジュだろうな もっと遡ると、いわゆる対称式の対称性を初めて認識した人ではないだろうか？ つまり、対称式ではどんな置換をしても式の形が違わないということに気付いた人だね。 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/03(土) 22:13:18.70 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 429 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 23:28:06.07 ] >>426 乙。そうかも >>427 対称式ね。そうなのか。根と係数の関係（基本対称式）はいつから意識されていたんだろうか？ そういえば、有名なニュートンも対称式を研究していたようだが？ >>428 乙！　いつもご苦労さまです！　できれば、”age”にしてもらえるとありがたい！ 430 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 23:32:54.84 ] 正20 面体について検索していたら、こんなのが。メモ代わりに貼っておく www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/ ENCOUNTERwithMATHEMATICS 第51回 正 20 面体にまつわる数学--その 2 -- 2009年10月2日(金), 3日(土) 431 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/03(土) 23:39:52.75 ] 物理学や天文学の発展がなければ 数学上の重要な発見もどうなっていたか？ 432 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 23:46:49.39 ] 同じく しかし、数学展望 IIの講義資料は、だれかタイプアップしてやれよ、おい＞学生、手分けして　（シラバスは同感） ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=55&page_type=materials 講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=materials 講義資料 | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=syllabus シラバス | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) 歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。 20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。 本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。 433 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 23:49:21.40 ] >>431 うん、ちょうど>>432をアップしたところだ ”歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。”（粟田英資 准教授）だと 434 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 00:03:38.90 ] >>433 おお、ありがとう！！ 解析力学とかベクトル解析も数学として学ぶことも 出来るが矢張り、数学科でも物理的観点を教えるべき。 435 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 08:01:14.76 ] >>430-432 A5（５次交代群）が、正20面体群に同型というのは有名だが、詳しい説明を探していたんだ 下記が良いね 図があるので、それを見ながら読んでください hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/ 正多面体群２ [物理のかぎしっぽ] （抜粋） 正十二面体と正二十面体 正十二面体や正二十面体でも，(正四面体で先に示したように)頂点の動きに着目すれば，5次の交代群に同型だということが分かります． P(20)〜P(12)〜A5 （つづく） 436 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 08:02:12.91 ] >>435　つづき hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/ 正多面体群２ [物理のかぎしっぽ] （抜粋） 正十二面体が 次の交代群に対応することは，当初面倒なので結果しか示さなかったのですが，要望があったのでここに補足します． 正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます． この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります． 正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね． さて，上の図のうちの一つだけに注目しましょう．正十二面体群の元のうち，内接する正六面体を正六面体自身に移す変換は，もちろん正十二面体も正十二面体自身に移します． そこで，正十二面体群の元で，内接する正六面体をも保つものをまず考えます．左から四番目のものが見やすいと思います． まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります． 次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります． P(6)と違うのは，正六面体の各辺の中点を結んだ線を中心に回す変換が無いことです．このような回転は正十二面体の対称性を崩してしまうことがわかるでしょう． 結局，上記の二種類に恒等置換を加えて，正十二面体群のうち，正十二面体も内接する立方体も両方不変に保つものには8+3+1=12種類あることが分かりました． 24のちょうど半分ですから，位数からだけでもこれが交代群であることが証明できそうですが，念のため，頂点に番号を振って，ここで求めた変換が偶置換であることを示しましょう． 正十二面体に正六面体を内接させるさせ方には 種類ありましたから，次式が成り立ちます． P(12)〜5xA4=A5 437 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 08:35:03.60 ] >>434 乙です そうそう でも、粟田英資 准教授 講義資料 | 数学展望 II ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=materials で、初回にもう少し全体像を話す時間を取った方が良いだろう シラバス ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=syllabus ”歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。 20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。 本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。” の時間を、そしてそのレジュメを 初回で、数学と物理の関係の全体像をレビューする たとえば ニュートンが、天体力学の要請から微分積分を発展させた それから解析力学が出てきた（ハミルトニアン） 分数関数の積分の要請から、分母の因数分解が強く求められ、方程式論から群論に発展した 電磁気学が出てきた その刺激で、数学はベクトル解析やテンソル解析が発展した 微分方程式を解くための演算子法が出てきた （これは工学から） 熱伝導方程式を解くためにフーリエ変換が出てきた その下で、相対論が出た 量子論もハミルトニアンをベースに発展した 数学が多次元空間や無限次元空間を扱えるように発展した ディラックがデルタ関数の有用性を示した シュワルツが超関数を考えた 佐藤幹雄がhyperfuctionを考えた ワインバーグサラム理論（非可換ゲージ理論）が出た ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A0%B4%E3%81%AE%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96#.E9.87.8F.E5.AD.90.E8.89.B2.E5.8A.9B.E5.AD.A6.E3.83.BB.E3.83.AF.E3.82.A4.E3.83.B3.E3.83.90.E3.83.BC.E3.82.B0.E3.82.B5.E3.83.A9.E3.83.A0.E7.90.86.E8.AB.96 南部 陽一郎がstring theoryを考えた ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A6%E7%90%86%E8%AB%96 ウィッテンがこれを発展させて、どういうわけかフィールズ賞をもらった （つづく） 438 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 09:36:53.84 ] >>437 つづき アインシュタインが、当時馬鹿にされながら統一理論を追求して、カルツァー・クライン理論になった それが、ウィッテンのM理論に ワインバーグサラム理論は、４次元位相空間の研究に使われたそうだ 量子力学のランダム行列理論とリーマン予想との不思議な関係 ゴレイ符号（デジタル通信に用いられる誤り訂正符号。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。）→リーチ格子→散在単純群→モンスター群→ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャn−ズの証明という流れもある ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%AC%E3%82%A4%E7%AC%A6%E5%8F%B7 ゴレイ符号（英: Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。 en.wikipedia.org/wiki/Binary_Golay_code en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice ソリトンも落とせないかな フェルミ・パスタ・ウラムの問題→ソリトン→可積分系 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BB%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C 950年代にロスアラモス研究所で電子計算機を用いて、この問題に取り組んだ3人の物理学者エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラムに名に因む。 当初の予想では相互作用が非線形な系ではエルゴード性によって、長時間経過後に各モードにエネルギーが等分配された平衡状態に達するはずであったが、 計算機実験の結果はそれに反し、初期状態のモードに戻る再帰現象が観測された。後に、この再帰現象はKdV方程式の研究から可積分系におけるソリトンと関連した現象であることが明らかにされた。 en.wikipedia.org/wiki/Soliton In 1965 Norman Zabusky of Bell Labs and Martin Kruskal of Princeton University first demonstrated soliton behaviour in media subject to the Korteweg?de Vries equation (KdV equation) in a computational investigation using a finite difference approach. They also showed how this behavior explained the puzzling earlier work of Fermi, Pasta and Ulam.[3] （つづく） 439 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 10:07:26.35 ] >>438 つづき ヴィラソロ代数→頂点作用素代数　みたいな流れもあると思うんだけど ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%82%BD%E3%83%AD%E4%BB%A3%E6%95%B0 数学・物理学においてヴィラソロ代数（ヴィラソロだいすう、英語: Virasoro algebra）は円周上定義される複素多項式ベクトル場の中心拡大として与えられる無限次元複素リー環で、弦理論において広く用いられる。名称は物理学者のミグエル・ヴィラソロen に由来する。 www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0867-09.pdf 頂点作用素代数入門 最近では、ペレルマンのポアンカレ予想の解決に、熱力学のエントロピーや熱浴の概念が用いられたという www15.ocn.ne.jp/~janpal/webdoc/HtmlDoc/materilist.html Grisha Perelman Ricci フローのエントロピー公式とその幾何学的応用 www15.ocn.ne.jp/~janpal/webdoc/PDF/gp1.pdf で、話はてんこ盛りになるけれど、全部は話せないので、話題を絞って話すと つまり、全体像→部分像という流れを押さえておくことが要点 それから、物理から数学、数学から物理の行ったり来たりの歴史も入れて 毎回読み切り：今日の講義を聞いて、まとまったなにか「なるほど」と思う要素を入れる こんなことに気をつけると面白いと思うよ 440 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 10:49:23.43 ] >>436 話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと >正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます． >この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります． >正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね． >まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります． >次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります． >P(12)〜5xA4=A5 P(12)〜5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５ だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！　これかなと まとめると、 ５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416 そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb　と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ 441 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 10:53:30.29 ] >>440　訂正スマソ ５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと 　↓ ・・・組み合わせから成る群だと しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、 　↓ ・・・、それはA5に落とせるが、 442 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 11:41:11.77 ] >>440 補足 >５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と・・ A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）で シローの定理>>416により、位数２の部分群が含まれ、位数２の部分群との組み合わせで、位数10の部分群があることがわかる（これが図形の中でどう見えるかまだ自分には見えていないが） ここらの事情は、エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)に詳しいが （エム・ポストニコフで、検索してたら、下記が・・・ d.hatena.ne.jp/nankai/20110805　 2011-08-05 ガロア理論 雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している．ガロア生誕200年を記念してのものである．そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した． （抜粋） ガロア理論については思い出がある． エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)を高校3年生のときに買った． 大学に入ったらこの本を読もうと，それを励みに受験勉強した． ・・証明に感心した他はすらすら読める．・・ガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった． そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった． 今回，吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」を読んで，若いころの自分の思いを整理することが出来た．また論考の中の基本定理の証明にも，あのときこのようなことを自分でするべきだったという悔恨とともに，心を動かされた． 今から思えば，あのとき，19歳の夏にガロア理論を読んであのように思ったのなら，ガロア理論がどのような公理的前提のもとに示されるのかとか，5次方程式の根の公式の不存在の証明に何が用いられるのかとか，その根幹の定理は何かとか， 自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ． それをしなかった，あるいはそのような問題意識は持ちえなかった．これらのことをいろいろ思い起こし考える機会となった若い吉田氏の論考に感謝する．） （つづく） 443 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 12:08:18.53 ] >>442 横道にそれたが、雑誌『現代思想』4月号 吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動ですか しかし、おそらく大半の人はそこまで行くまいが、読んでみたい気はする で、エム・ポストニコフは >>72 staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf 5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01 で、元吉文男も引用している なぜか、これ書棚のこやしになっていたんだ いま読むと、なかなかいい本です ポストニコフP145から、５次の推移群として 位数５　C5巡回群 位数10 B5 半メタ巡回群 位数20 B'5 メタ巡回群 これらが、べき根で解かれる群だと >>399 repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf 可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003 大迎規宏くんは、ポストニコフを引用していないが、内容重複している部分があるよ それと、元吉文男も引用していないが、元吉文男を読んでいれば、ポストニコフには気付いたろう それはおいておくとして、我々はありがたく大迎規宏「可解な5次方程式について」を読ませていただければ なお、大迎規宏はジラードの標準型まで落としているが 元吉文男は４次項を落とすだけに止めて係数が有理数体から拡大することなく、可解性が高速判定できるように工夫しているのだった （これは、大迎規宏も4.2節で扱っているかな？） 444 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 12:39:24.00 ] >>442 >雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している これだね www.seidosha.co.jp/index.php?back-pensee10-19 back-pensee10-19 - 「ユリイカ」「現代思想」の雑誌発行、人文諸科学の専門書の出版社「青土社」 2011/04　ガロアの思考　若き数学者の革命 www.seidosha.co.jp/index.php?%A5%AC%A5%ED%A5%A2%A4%CE%BB%D7%B9%CD 特集＝ガロアの思考　　若き数学者の革命 【ガロアの思考】 ガロアの考えたこと　／　上野健爾 ガロア理論体験記　／　砂田利一 ガロア理論の基本定理　／　吉田輝義 数学における抽象化とは何か　アーベルの具象とガロアの抽象を包むもの　／　高瀬正仁 【現代数学へ】 絶対ガロア理論　／　黒川信重 謎をもって謎に答える、或いは問題の解消　／　高瀬幸一 空間の 「形」 を知るための武器　位相空間のガロア理論　／　小島寛之 リーの理論と可積分性　解析学におけるガロアの影響　／　竹縄知之 【現代物理学へ】 存在から関係へ　現実の軽さ　／　佐藤文隆 ガロアは現代物理学の源流だ！　／　竹内薫 【現代哲学へ】 問い・身体・真理　カヴァイエスとドゥルーズの問題論　／　近藤和敬 ヴュイユマン 『代数学の哲学』 における哲学的方法論の探究 　フィヒテの哲学とラグランジュからガロアに至る代数方程式論の変遷　／　原田雅樹 445 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 12:45:24.22 ] >>444 「現代思想」のパックナンバーにこんなのが。年に１回くらい理系の特集かな 「現代思想」は現代哲学系の雑誌だな。理系の読者もいるんだろうね www.seidosha.co.jp/index.php?back-pensee10-19 back-pensee10-19 - 「ユリイカ」「現代思想」の雑誌発行、人文諸科学の専門書の出版社「青土社」 2012/01　ニュートリノ／相対性理論　観測がひらく新世界 2010/09　現代数学の思考法　数学はいかにして世界を変えるか 446 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 13:35:25.90 ] >>442 >雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している．ガロア生誕200年を記念してのものである．そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した． ネット検索でこんなのが・・ sugakujuku.blog109.fc2.com/blog-category-2.html びっくり数学島 日記 （抜粋） 解説記事の紹介『現代数学のめざすもの』 2012-01-22 Sun 以前のブログで吉田輝義さんという方（と言いつつ実は，吉田さんは僕の大学院時代の同級生で，今もお付き合いをさせてもらっているのですが）の論説を紹介しました． 吉田さんが『現代数学のめざすもの』というタイトルで再び現代数学の解説を書いておられます．それを案内しようと思います．前回は雑誌の記事でしたが，今回は吉田さんのwebsiteから直接取ってこれます： ご本人のwebsite → 『現代数学のめざすもの』(PDFファイル, 12ページ)　www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/Yoshida_2011_Tsukukoma.pdf ご本人の高校での講演が基になっていて，高２ぐらいまでの数学（＝文系・理系共通範囲の数学）に慣れ親しんだ記憶のある方なら読み通せると思います． 目玉の一つは，２次・３次・４次方程式の解法を基にした，ガロア理論（と現代数学）の考え方の説明で，ここまでシンプルにまとまった解説はなかなか見たことがありません． 大学数学科の花形とも言われるガロア理論ですが，『ガロア理論は，方程式のもっている「形」，その本来の姿を人類史上初めて「見た」理論だった』（文中より）ということが，実にうまく説明されていると思います． 習うときはタンタンと 2011-09-26 Mon しばらく前に仲間に言われたこと． できあがった理論や，他人が研究で新しく編み出したテクニックを習得するときは，何てすごいアイディアなんだ！と驚嘆したり感動したりせず， 「フーン，そうやればいいのか．」と冷静に，当たり前のように受け止めたほうがよいらしい． なぜなら，それをスゴイ理論だと思うほど，自分には難しくて使いこなせないのでは，という心理的な壁ができてしまうから．うーんなるほど，そうだなぁと思った． （つづく） 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 13:38:16.96 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 448 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 13:40:34.55 ] >>446　つづき sugakujuku.blog109.fc2.com/blog-category-2.html びっくり数学島 日記 論説の紹介『ガロア理論の基本定理』 2011-06-04 Sat 分数の話の途中ですが，雑誌『現代思想』の４月号に掲載されている，吉田輝義さんの『ガロア理論の基本定理』という論説が読んで興味深かったので，簡単に紹介したいと思います． ガロア（Galois,1811-1832）というフランスの天才数学少年によって生み出された，ガロア理論という理論があります． これはその後の数学の流れを変えたほどの重要な"革命的"理論だったのですが，ガロア理論の抽象的な性格もあって，その意味を実感することは数学科の学生にとっても簡単でない（200年近くも経つというのに）のが現状です． アインシュタインの相対性理論は100年も経たないうちにＣＧとなり，テレビの科学番組で解説され，科学好きの中高生の心を掴んでいる--それと比べると数学者としてはちょっとクヤシイ． そんな中この論説は，ガロア理論の本質を損ねることなしに，ガロア理論とその意義を一般の読者向けに描き出そうと試みた野心作です． （引用おわり） 449 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:06:02.63 ] >>250 ”正規部分群はどういう意味があるか”の著者がこんなことを書いているので紹介する wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-1295.html Author:かずゆき 京都大学理学部を数学専攻で卒業 わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用) これを参考に効率ではなく『拘りを捨てて出来ることをやる』を常に念じて自分にあわせてやってください。 問題を見てすぐに解答、解説を読みます。 英語なら英語を読んですぐに対応する日本語を読みます。 最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。 1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ〜って感じで読むだけで超高速で終わらせます。 2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。 3,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 4,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 5,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 …こんな感じで7周ぐらいやってみてください。 これで、だんだん理解出来ていったり、処理が速くなったり、覚えられてきたら成功です。 拾えるものだけ拾うって言うのは ○こういう意味だから、こうなのか ○これとあれは似てる ○こういう計算になるから、こうなる ○語呂合わせ などです。 目安タイムは最初の1周目で 白チャートなら1例題10秒 シンプルな英単語帳の例文は1つ1秒 大学受験の数学の二次試験の過去問なら1問20〜40秒 数学の専門書なら1ページで10〜30秒 最初の周は意味わからないスピードにするのがポイントです(限界突破) 2周目からは、スピードを余り落とさないで意味を拾えるだけ拾っていきます。 ほんまに速すぎたり、めっちゃ難しいのは、何も拾えずに出来ないので注意して下さい。拾えるものを拾おうとしたり、計算を紙に書いて確認して結構時間かかっても大丈夫です。 繰り返すたびに整理していって、話を簡単にしていくようにします。 450 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:28:31.48 ] >>449 補足 昔、糸川英夫先生が「数学は暗記科目」みたいなことを言ったが、それに似ているかも （因みに、小惑星が「イトカワ」（日本の探査機はやぶさは、この関連）の名前の由来。また、”はやぶさ”も、彼の設計した戦闘機にちなんだものかも） ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B3%B8%E5%B7%9D%E8%8B%B1%E5%A4%AB しかし、両方要ると思うんだよね じっくり理解するところと、暗記してでも覚えることを優先するところと >>395 >ブルバキのスタイルは私は大好きですね。余計なお節介が一切ないので。 なにが、余計なお節介なのかどうか、人によると思うんだよね その人の置かれている事情にも それから、ブルバキのスタイルは結構だが、ブルバキで必要十分なら、世の中他の教科書は売れないか消えているわけで 世間一般の事情は、そうじゃないという証明なのではないかな ブルバキはそれなりに意義はあると思うが 一時ほど、ヨイショされなくなったような気がする じっくり理解するというところに戻ると、>>442 ”・・証明に感心した他はすらすら読める．・・ガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった． そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった．” これ、結構共感できる。ガロアの理論あって、それぞれ立派。そして、書いていることは一つ一つは理解できるが、全体像が自分の中で細部まですっきり形成できなかった（自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ．>>442） ”群盲象をなでる”という。個々の定理は、象の部分だ。うちわのような耳、ホースのような鼻、柱のような足・・・、それらの部分の記述を元に自らの心象風景として、象の姿を描くことができるか 現代ガロア理論（拡大体と群の対応）は、なんとなく出来た。しかし、ガロア原論文は理解できなかった A5が単純群で、べき根拡大では到達できないということはアタマでは分かった。しかし、なんとか目に見えるような形で納得できないかと考えていた （つづく） 451 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:35:51.40 ] >>450 つづき >>1を見て、ベストアンサー： ”ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。” ベストアンサー氏は、おそらく数学科の出身者だろう ならば、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨>>3で、なんとなくガロア理論が見えた気がしたので、いっちょうスレを立ててみるかと 452 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:43:26.40 ] >>450 ブルバキの整理されたスタイルは、結局理論が出来上がった後の知恵なんだよね 理論が出来上がる進行形のときは、そうじゃない だから、ブルバキの整理されたスタイルでしか論文読めない書けないないようじゃ、そいつは使えないだろう よって両方あって良いんじゃないか そして、このスレで重視しているのは、全体的な理解、直感的な理解だ 全体から部分へ、部分から全体へ 直感から精密な論理へ、精密な論理から直感的理解へ 数式からお話へ、お話から数式へ この行ったり来たりが自由自在にできる それがベストだろう 453 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 14:56:22.42 ] >>405 ＞ガロア理論は多くの人が関心をもっている が、大抵は「なんで根の公式がないのか」という程度の関心だから 結局「なんかわからんが、根の公式があるとすると矛盾するらしい」 で終わる。素人は、公式は理解できても、公式がない理由は 理解できないし、ないならないで仕方ないと思うだけ。 454 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 14:58:27.45 ] ガロア理論の面白さを知るには、一度 「５次以上の方程式の解の公式は存在しない」 とかいうのを忘れる必要がある。 そこは今や本筋でもなんでもないから。 455 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:01:50.60 ] >>452 ＞ブルバキの整理されたスタイルでしか論文読めない書けないないようじゃ、 数学の論文を一度でも書いたことがあるなら、 ブルバキのスタイルでなんて書けないことは 当然わかるがな。 456 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:12:25.93 ] 何度追い詰められても復活する 探査機はやぶさの執念は凄いわ。 457 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:13:03.91 ] >アインシュタインの相対性理論は100年も経たないうちにＣＧとなり， >テレビの科学番組で解説され，科学好きの中高生の心を掴んでいる 双曲幾何はエッシャーの版画作品にもなったがね。 ガロア理論より双曲幾何のほうが分かりやすい。 理屈ぬきに、ポアンカレモデルで、２本の平行線も図示できる。 合同変換もＣＧで示せる。要するに計算できる。 素人に分かるのは計算の方法とその結果。 計算できないという結果を示す論理なんて理解しようがない。 458 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:13:04.64 ] >>455 そりゃサボってるだけだろ 書こうと思えば書けるけどプロ相手だからあえて書かないというだけで。 それがアダになって間違いとか平気で書いてるがｗ 459 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:18:04.21 ] >>458 サボってるわけじゃないな。 同業者に「ああ、確かに正しいね」と 確認させるために書くんで、 別にアホ学生向けの教科書を 書くわけじゃないからな。 そもそも研究に間違いはつきものだ。 一度も間違った結果の論文を書いたことがない 数学者なんてのは皆無ではないが稀少。 460 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:24:25.36 ] >>459 だからそれが落とし穴なんだって トリビアルと思ってたのが実はトリビアルでなかったというのはよくある。 というかそれがほとんどの間違いの原因 461 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:30:15.67 ] 明確に定義されたものから論理的に命題を導くというのがブルバキの整理されたスタイルというのなら そうでないスタイルは常識的には現代数学とは認められない。 462 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:39:17.33 ] >>460 学生？そんな重箱の隅つついてるようじゃ クソ論文しか書けねぇぞ。 間違いを怖れてちゃいい結果は出せねぇよ。 463 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:42:44.10 ] >>461 現代数学という言葉が、数学書の記述を指すなら 論文の記述は、そのようなものとは程遠い。 数学業界の常識。知らない奴はモグリ。 464 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:51:28.62 ] >>463 数学書だろうと論文だろうと論理的に証明されてなければ駄目だろ エッセーならいいが 465 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:54:12.72 ] >>462 誰も間違いを恐れろと言ってない 間違いは自分のノートで思い切りやればいい ただし、それを論文でやるのは大馬鹿 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:19:09.16 ] >>459 誤植、ミスプリ、計算ミスの類は多々やらかしてるが 主結果が間違ってる論文のほうが、数学では稀ですよ。 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:24:51.62 ] >>463 ブルバキの「数学原論」の文体で論文を書くことは、昔も ほとんどなかったし、今もまずない、という意味では正しい。 が、ブルバキ以前の数学の論文のスタイルは、今より もう少し雑然としており、現代では定義や主定理とその証明を 明確に書くようになっている。その意味で、現代の論文の 大半は、ブルバキの影響の下にある。 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:31:04.16 ] >>461 別にそれはブルバキスタイルではないな。ユークリッドの原論からそのスタイルじゃん。 ブルバキスタイルってよく言うけど、どういうものかわからずに言ってる人多いよねｗ 469 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 17:49:04.33 ] >>468 でブルバキスタイルとはどういうもの？ 470 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 17:50:00.98 ] >>466 それはあんたが無知なだけｗ 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:51:57.12 ] >>470 無知のあんたに、勝手に決めつけられてもなあｗ 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:53:29.79 ] 集合論を基礎におき、集合にある数学的構造を定め、それによって数学的現象を説明しようとする態度。 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:55:14.76 ] >>468 ユークリッドの原論のスタイルも、また独特だから 比較に使っても仕方ないでしょう。 19世紀から20世紀前半の、数学の論文のスタイルは、 ユークリッド原論とも、ブルバキ以降の近年の論文の スタイルとも異なり、現代になれた人には読みにくい。 やっぱり、今の論文のスタイルは読みやすくなってるね。 474 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 17:56:31.37 ] >>471 >主結果が間違ってる論文のほうが、数学では稀ですよ。 Wiles知らないの？ 475 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:01:03.94 ] >>472 それは現代数学そのものじゃん 圏論もブルバキは表立って使ってないが裏では使ってる 476 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:10:01.16 ] 大体、空集合の記号φとか Z、Q、R、C はブルバキの考案だからね。 現代数学はブルバキの強い影響下にある。 別にそれを知らなくてもいいが思いっきり否定するのはアホ 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:14:05.75 ] 定義や公理から出発して論理的に、演繹的に数学を構築していくやり方をもって ブルバキスタイルって言ってるのが、形式だけ見て中身を見ていないって言ってるんだよ。 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:18:49.30 ] >>474 だから、稀なんだろ。 アホですか、あんたｗｗ 479 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:20:53.43 ] >>477 集合論を基礎においてるのはそのとうりだが、 それ以前にあんたの言う定義や公理から出発して論理的に、演繹的に というのがブルバキを特徴付けてるだろ。 Elementsという名前からしてユークリッド原論を意識してるのは明らか。 GrothendieckのEGAも同様 480 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:22:28.97 ] >>478 意味不明 悔し紛れに何言ってるんだかｗ 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:26:36.77 ] >>479 ブルバキが原論を意識してるのは有名な話ですね。 なら、そのような体系を話題にするなら原論スタイルとでも言うべきですね。 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:32:25.98 ] >>474 ワイルズの論文は、査読を経て修正された正しい形で Ann. Math.に掲載されている。 今の多くの雑誌は、査読がなされているので、 掲載された論文が深刻な誤りを含んでいることは少ない。 名古屋の藤原氏の論文も不掲載となった。 が、査読をスルーして出版されてしまうケースは皆無ではない。 もちろん、不注意によるくだらないミスは山ほどあるｗ 483 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:36:38.99 ] 要するにブルバキは公理主義ということ これに収まらない数学があることは確かだがそれはその数学がまだ成熟していないと見ることも出来る 484 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:38:32.44 ] >>482 甘いな 査読されてるからってｗ 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:40:28.97 ] >>483 成熟すればすべてを収めることのできる体系ができるとでも？ 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:42:42.48 ] 非線型の偏微分方程式とかは、ずっと収まらんだろｗ テレンス・タオを収めるには、20世紀のブルバキじゃあ 古くさくて枠が狭いんだろね。 ポアンカレ予想とかもあんまりブルバキっぽくないが、 リッチフローとか、多様体の崩壊とか、別に数学として 成熟してる、してないとかじゃないだろ。 487 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:44:11.37 ] >>485 その分野が成熟すれば体系化されるというほぼ当然のことを言ってる 488 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:47:35.96 ] >>486 代数幾何も昔は体系化は望み薄と思われていたがGrothendieckが現れて（略 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:49:31.54 ] >>488 でも、結局、今の代数幾何って、体系的というより 具体的な対象の研究に戻ったような。 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:53:52.00 ] >>483 公理主義は別にブルバキに限らないってことを言いたかったわけです。 491 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:58:10.76 ] >>489 Grothendieckが去ったから 492 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/03/04(日) 18:59:47.80 ] 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！ 　ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！ 493 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 19:01:13.38 ] >>492 キチガイは病院行け 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 19:07:28.04 ] >>491 結局、ブルバキもメンバーが替わってしまい、 全ての数学を体系化するとか、もう言わなくなった。 代数幾何で、Grothendieckがやったことが例外的 だったんでしょうね。今世紀に、第2、第3のGrothendieckが 現れて、微分幾何や非線型PDEを体系化する！なんて ことはないと思いますよ。 495 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 19:18:08.40 ] あれは元気者で気の合うものどうしが集まって 気炎を上げた弾みでできたものだから そう深い意味はないものと思う 496 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 19:21:03.27 ] >>453-478 みなさん、乙です！ >>442 >A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）で >シローの定理>>416により、位数２の部分群が含まれ、位数２の部分群との組み合わせで、位数10の部分群があることがわかる（これが図形の中でどう見えるかまだ自分には見えていないが） 分かりました ”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）は、クラインの四元群ですね（下記） hooktail.sub.jp/algebra/KleinQuaternion/ (抜粋) 具体的にはクラインの四元群は x,y,z各軸回りに180度回転させる回転操作の群として表現されます． クラインの四元群の元 はどれも二乗すると になりますから位数は だと言えます．クラインの四元群は，巡回群ではない群としては最小のものです． （引用おわり） 下記P2によれば、A4の部分群で（位数４）は、二つあるが巡回群でない方だから、{ e , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)}で、これはクラインの四元群そのもの。で、位数２の部分群は、{ e , (12)(34) }となる www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf 2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類 497 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 20:02:18.04 ] >>479-495 みなさん、乙です。スレが進む日だな >>496 繰り返しになるが、べき根拡大で解けるのは、ガロア群G=C5xV （V:クラインの四元群 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4 ） （C5は、５次巡回群） の場合のみ 一般の５次方程式では、ガロア群G=S5=C2xA5　（A5は位数60の交代群で、これは単純群で、非可解。C2は、２次の巡回群） となってしまうので、解けないと 498 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 20:11:32.05 ] >>494 詳しくないけど代数解析は佐藤とか柏原により少しは体系化されてるでしょ。 数論の一部（類体論その他）も数論幾何が発展することによりLanglands programの下に 体系化されるのではと夢想してる。 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 20:30:29.86 ] >>498 代数解析でも、非線型はまだまだ妄想の範囲ｗ ソリトンとパンルヴェの一部くらい。 500 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 20:38:45.46 ] >>497 つづき 位数119 までの群の分類が下記にある www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf 位数119 までの群の分類　Red cat　平成23 年10 月3 日 >>372-380 V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式） 一般５次方程式では、Vは120の値を取る。この120個の値を集めて ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）で、代数的可解性の原則から根a,b,c・・・の有理式を持ってきても、全部Vとガロア（分解）方程式F(x)の土俵の上に乗っている つまり、ガロアはVとF(x)で、根の有理式が全部乗る土俵を作った。代数的可解性の原則を認めれば、ここからこぼれるものはない そして、元の方程式を解くことは、ガロア（分解）方程式F(x)が解けることと同じ V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、根の置換と対応している>>414 そして、方程式のガロア群の構造は、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に反映されている 元の方程式がべき根で解けるとは、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がべき根で解けること つまり、”ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がべき根で解ける”→”ガロア群Gが、巡回群の拡大で構成される構造を持っているべき”だと しかし、上記”位数119 までの群の分類”にあるように、一般に群には巡回群以外のいろいろな群があり、巡回群の拡大で構成される構造を持っている群ばかりではない その一つが、位数60の５次の交代群A5で、これは巡回群の拡大になっていない。つまり、非可解であり、単純群でもあった ５次の既約方程式で解ける最大の群は、位数20 B'5 メタ巡回群の場合で、それならべき根で解ける>>443（ガロア原論文では線形群とされている） これが、一般の５次方程式が解けなず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな 5次方程式の可解性の高速判定法は>>443 また、可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003>>443では、根の公式が導かれている 501 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 20:42:15.49 ] >>500　訂正 これが、一般の５次方程式が解けなず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな 　↓ これが、一般の５次方程式が解けず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 20:48:41.92 ] >>497 G=S5=C2xA5　 とはならないよ 503 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 21:09:24.99 ] 下記は随分参考にさせてもらいました hooktail.sub.jp/ 物理のかぎしっぽ hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8 代数学 - [物理のかぎしっぽ] 504 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 22:09:33.40 ] >>502 おお、ありがとう しっかりチェックしてくれる人がいて、安心だ 対称群S5 位数120に対し、交代群A5 位数60は正規部分群なので、商群Hが定まり S5/A5＝Hとして、Hの位数は２。位数２の群は巡回群C2に同型なので G=S5=C2xA5　と書いたんだが 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/05(月) 19:33:15.70 ] 直積ではなく半直積だ 506 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/05(月) 22:01:28.33 ] >>505 なるほど、納得 半直積ね 掲示板では、あまり数学記号が文字化けのため書けないので手抜きしたのもある ところで、半直積の参考資料を検索したら、こんなのがあった homepage2.nifty.com/narukawa/bicrossed.pdf 群と群から群を作る話 成川淳（なるかわあつし） （抜粋） 数学の世界ではしばしば、2 つの群から1 つの群を作る場面があります。方法としては、 「直積」という概念が最も自然で、最も頻繁に見かけるのですが、少し複雑な「半直積」とい う概念も頻繁に見かけます。しかし、半直積の定義は2 つの群それぞれの役割が非対称で、 気持ち悪いなという印象が私にはありました。その気持ち悪さを解消し、直積・半直積を包 括する概念として、群のBicrossed Product というものがあります。この概念を知って感心 した覚えがあるので、ここで紹介することにしました。本稿では群の定義と直積の定義は省 略して、作用という概念の紹介から話を進めます。 5 最後に 私は半直積という非対称な概念が嫌いでした。しかし、一度Bicrossed Product という概 念を知り、対称性の高さに感心しつつも厳しい条件(11)-(14) を考えると、逆に半直積の有 用性が理解できました。半直積が素晴らしいのは、(13) が退化した(5) が「準同型」という 扱いやすい性質だからです。逆に(5) を仮定するためには、H のK への右作用が自明でな ければなりません。つまり、半直積は二項演算としての対称性を犠牲にしつつも、扱いやす い別の対称性を構成する手段と言えます。実用的ではなさそうな群のBicrossed Product で すが、半直積の特殊性を浮き彫りにできるだけでも、価値のある概念だと私は思います。 homepage2.nifty.com/narukawa/jindex.html 成川淳の文書集へようこそ！ 507 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 06:26:09.03 ] >>506 補足 ご指摘ありがとう www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/kogi2004_zenki/2/group07.pdf 抜粋 群G の部分群H とK が与えられたとする。 K がさらにG の正規部分群ならば、HK はG の部分群になる。 ・・・がなりたつとき、G はH とK の半直積であると呼び、G = H △ Kと書かれる。（△は、半直積の記号） H とK の両方がG の正規部分群のときはどうだろうか。 H も正規部分群のときにG はH とK の直積であると呼ばれる。 （引用おわり） （この資料はちょっと読みにくいが） なので、直積はH とKの両方が正規部分群になる場合、半直積はKが正規部分群になる場合の群の構造ってことでしょうか だからG=S5=C2xA5と書いたとき、正規部分群は両方ではなく、A5のみが正規部分群だから、半直積だと 508 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 22:15:54.25 ] >>507 補足の補足 半直積は、下記にも解説がある シューア・ザッセンハウスの定理が、半直積理解の要点だろうな ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E7.BE.A4.E3.81.AE.E7.9B.B4.E7.A9.8D.E3.81.A8.E5.8D.8A.E7.9B.B4.E7.A9.8D 群 H と群 N と準同型写像 f: H → Aut(N) が与えられているとき、直積集合 N × H 上に で積を定めると群となる。これを H と N の f による半直積 (semi-direct product) といい、 で表す。なお、この群で N は正規部分群となる。群の拡大も参照。 シューア・ザッセンハウスの定理： Nを有限群Gの正規部分群とし、|N|と|G:N|が互いに素であるとき、Gの部分群Cが存在して、GはNとCの半直積となる。 509 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 22:42:14.15 ] >>440 >で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416 >そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb　と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ >しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とせるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる >これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ ガロア論文>>3p38第VII節 ここが、おそらく普通の人はなにが書いてあるか、なかなか読めないだろう 守屋の解説もなかなか難しい ところが、おいらの本で守屋の解説のところに、”アルティンP102”とメモしてあった。うんうん、なるほど・・・ アルティンといえばこれしかないよね・・・？？？ na-inet.jp/weblog/archives/001482.html 上野健爾「数学の視点」東京図書，E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫 www.kishimo.com/math/Galois.html アルティン「ガロア理論入門」を読む 文庫本が出たのをきっかけに，30年前から読みたかった「ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)」を読む決心をしました。 ”文庫本が出た”？ おいらの持っているのは東京図書のハードカバーだ P102は、定理43の後（定理44の前。定理44が線形群の話）だ これは、なかなかわかり易いよ だから、ガロア論文>>3p38第VII節を読む前に、アルティンの該当箇所を読んで、それからこれを読めば、多少ガロアの言いたいことが分かるだろう ガロアは、アルティンと同じものを見ていたことは間違いない が、見ているものを表現する方法がまだ未熟だったのだろう 510 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 22:51:35.94 ] >>509 補足 ガロア論文>>3p38第VII節は、訳文もこなれていないのか あるいは、ガロアも決闘が迫っていて時間が無かったのか 結論は正しいが、途中あまり証明らしくない・・・というか、分かる説明になっていない メモを書いたのは、おいらが守屋先生の解説が理解できなかったので、別の本を漁ったのだろう 511 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 21:35:28.44 ] >>509 >定理43の後（定理44の前。定理44が線形群の話）だ >これは、なかなかわかり易いよ アルティンは、 「Kを任意の体とし、f(x)を素数次数qのK内の既約多項式で、そのガロア群は可解とする。 このときのGの構造は非常に簡単である。 まず、Gは可解であることから正規部分群列 G=G0>G1>G2>・・・>Gs=1　（注：>は集合の包含記号のアスキー代用） が存在して、相続く２つの群による商群はアーベルである。」 と、始める 実に明快。これをスタートとして、アルティンは線形群を導く（これはさすがにガロアには難しいだろう。群論の用語や記法が当時未整備だったから） ところで、このアルティンの記述が、べき根で解かれる群の構造と、なぜ５次既約方程式が一般の解かれないかの説明になっている つまり、５次既約方程式が可解であるとき、Gの構造は非常に簡単でなければならない 即ち、正規部分群列が存在して、G=G0>G1>G2>・・・>Gs=1で、相続く２つの群による商群はアーベルであるという しかし、一般の５次既約方程式のガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の対称群A5のみで、A5の構造は複雑でとてもべき根添加で解けるほど簡単ではないと （ここらの事情は、>>496>>442>>440辺りをご参照） これも、５次方程式がべき根による根の公式を有しない大衆向けの一つの説明だろう 512 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 21:38:09.08 ] >>511 訂正スマソ ガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の対称群A5のみで 　↓ ガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の交代群A5のみで 513 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 22:35:49.29 ] >>437 >ニュートンが、天体力学の要請から微分積分を発展させた >それから解析力学が出てきた（ハミルトニアン） （思い出したときに追加しておく） 天体力学から摂動計算が出て、後の量子力学へつながった 量子力学のハイゼンベルグの行列力学から固有値によるシュレージンガー方程式との同等性証明 天体力学の三体問題などから、ポアンカレの位相幾何学へ 514 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 23:01:38.54 ] >>385 >最近気付いたが、下記Jean-Pierre Tignolも詳しい >というか、P156の定理10,7など、ガロア論文>>3のP39のラグランジュ分解式のn乗を扱っていることや補助方程式の次数が(n-2)!になることと、完全に一致している >一致という意味では小杉の方がお話風で読みやすいが >ともかく、こういうラグランジュが到達していた地点を見ると、ほとんどガロアに近い 繰り返しになるが ガロア論文>>3のP39のラグランジュ分解式のn乗と、補助方程式の次数が(n-2)!になること（５次方程式の場合(n-2)!＝６次）、この方程式が有理敵に解ければ、５次方程式は代数的に解けること（十分条件） ここまでは、ラグランジュがすでに確率していた ５次方程式の可解性とこの６次方程式が有理敵に解けることが必要十分であることは、ガロアが初めて示したが ラグランジュはもう一歩というところまで行っていた ガロアは、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたんだと思う 守屋>>3がP76で 「ガロア時代の数学者に難解と思われても無理とはいえない。当時の科学学士院がこの論文を受理しなかったのも、論文の内容を十分理解しえなかったためだと思う。 この点について、当時の科学学士院の無力を攻めるよりは、むしろはるかに遠く時代に先行していたガロアの天才を讃えるべき・・」と書いているが 書き方が雑ということも大きいように思う おそらく時間が無かったのと、ガロアは若かった 論文が革新的であれば、よけい丁寧に書かなければ理解は得られない ただ、ガロアがあと１０年存命であれば、ガロア理論はもっと早く理解を得られたと思う 「科学学士院がこの論文を受理しなかった」のではなく、書き直しを命じたのだった。決闘で若くして命を無くすとは思わず また、ガロアの時代は現代のようにワープロやコピー機はなく、手書き原稿を紛失されると痛い（がっくりするよね） それは手書き原稿時代に、原稿を紛失され書き直しを言われるとは、なんとも腹立たしいことだったろうとは思う 515 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 00:18:39.00 ] >>80 >近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治 www.amazon.co.jp/%E8%BF%91%E4%B8%96%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E8%AB%87-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB-%E9%AB%98%E6%9C%A8-%E8%B2%9E%E6%B2%BB/dp/4003393910 「ガロアの方程式論は彼が期待したように四十年後にジョルダンが「判読」してぼう然たる置換論（1870）の述作をなした」と高木は書いている ”ラグランジュはもう一歩”>>514と書いたけれども、ガロアの後四十年群論を理解する人思いつく人は出なかった ガロアの遺稿がなければ、もっと遅れていただろうか だが、もし遺稿がなくとも、いずれガロア理論はだれかが書いたろうと思う、ジョルダンよりずっと後になったかも知れないが・・ 516 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 00:45:20.55 ] >>515 >ガロアの後四十年群論を理解する人思いつく人は出なかった 置換群論はCauchyが1844年にやっている。 そこで有名なCauchyの定理（有限群の位数が素数 p で割れればその群は位数 p の元を持つ）を証明している。 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/08(木) 01:04:15.88 ] 群という概念自体はガロア以前にあったんじゃなかったっけ？ ガロアの評価されるべきところは正規部分群という概念を発見したところ っていうのをどっかで見たようなキガス。２ちゃんソースかもしれんがｗ 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/08(木) 01:58:53.69 ] >>516 自分のスレでは相手にされないから、ちょっかい出しに来たのか？ｗ 519 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 06:38:35.67 ] >>516 Kummerさん、乙です なるほど そういえば、倉田>>4がデデキントについて書いていたね ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88 デデキントは1855年にゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義を行ったことでも知られている[1]。 [1]^ 佐武一郎「解説「ガロア理論」について」、エミール・アルティン 『ガロア理論入門』 寺田文行訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2010年4月、p. 215。ISBN 978-4-480-09283-0。 （引用おわり） 近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治>>515によれば いわゆる第一論文は「1846年にリウーヴィルの手で発表された」とあるので、発表後９年でデデキントが最初の講義を行ったんだ >>517 乙 その見方も正しい ある事象Aについて、見る視点によって、見え方が違うという場合がある というか、多少複雑な事象については、視点を変えてみる必要がある場合が多い 例えば、Aが四角形の形に配列された煙突だとすると、視点によっては３本に見えたりする 上空から見れば、配列は一目瞭然としても、上空に上がれない場合にはその配列を周囲から調べるしか配列を知る方法はない 520 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 07:46:58.19 ] >>519 補足 これがまとまっているね ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 歴史 ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。 その後、1846年になって、リューヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。 デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[1]。 早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。 カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traite des substitutions et des equations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。 また、デデキントとウェーバーは1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した[1]。 ソフス・リーによって導入されたリー群はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。 その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。 アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。 521 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 21:54:24.43 ] >>519 >近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治>>515によれば 近世数学史談で面白い記述を見つけた ”１８．パリ便り”というアーベルの手紙に関する節だ。1826年10月24日付け ・・次の一般的の問題を解く手掛かりが見つかったようだ。 それは「代数的に解きえる凡ての方程式の形を決定すること」というのだ。 僕は、五次、六次、七次等々のそれらを無数に見出した。 今までそれを嗅ぎつけたものはあるまいと思う。 同時に僕は最初の四つの次数の方程式の最も直接的なる解法を得た。 それに由れば、何故にこれらだけが解けて、他のものは解けないかが甚だ明白に理会されるのである。 特に、五次方程式に関しては、若しもそれが代数的に解かれるならば、根の形は次のようでなければならないことが分かった。 ｘ=A+(R)^(1/5)+(R')^(1/5)+(R'')^(1/5)+(R''')^(1/5) ここで、R、R'、R''、R'''は一つの四方程式の四つの根で、それらは平方根ばかりで表されるのだ。 （注：(R)^(1/5)などの項は、原文ではRの五乗根（ルート記号）を用いて表されているが、掲示板の制約でエクセル記法を用いた。） （引用おわり） >>440-441、>>443、>>496に書いたが 五次の既約な方程式で、解ける場合はガロア群は位数20 B'5 メタ巡回群であって 位数20 B'5 メタ巡回群（＝線形群（アルティン>>511））は、一つの５次巡回群C5とクラインの４元群Vとの積（直積でいいのかな？）からなるので アーベルの述べた上記の根の形は、位数20 B'5 メタ巡回群の姿を確かに捉えているのではないだろうか アーベルは、1829年4月6日は亡くなったが、生きていれば、ガロアより先に五次方程式に関してなにか書いたかも知れない（それはおそらく上記を発展させたものだろう） ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB ニールス・ヘンリック・アーベル（Niels Henrik Abel、1802年8月5日 - 1829年4月6日）はノルウェーの数学者である。 522 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 22:21:13.18 ] 楕円関数は代数関数論の一部として理解しなけりゃ真の意義が分からないだろ。 もっと言うと代数関数論はコンパクトリーマン面、非特異射影代数曲線、１変数代数関数体 この三つを総合して考える必要がある。 これ等は一つの実体の異なる化身と考えられる。 いわば三位一体 523 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 22:23:11.83 ] スレを間違えたｗ まったく無関係というわけじゃないが 524 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 22:43:09.82 ] GaussはDisquisitiones Arithmeticaeにおいてレムニスケートの等分理論についてほのめかしている。 Abelはそれに触発されて楕円関数の研究に向かったと思われる。 楕円関数の等分方程式の可解性の問題がAbelの方程式論の背後にある。 Galoisの問題意識も恐らくそこにあったと思われる。 525 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 22:46:56.28 ] >>521 補足 ラグランジュは、素数ｎ次の既約方程式について、補助方程式で次数が(n-2)!のものが解ければ、５次方程式などは代数的に解けること（十分条件）を示していた>>514 だから、これが必要十分条件であることを示せば、ガロアの得た結果と同じになる そして、５次方程式の一般の代数的解法が不可能（べき根による根の公式がない）なことはアーベル自身が証明している だから、アーベルはラグランジュよりさらに半歩、ガロア理論に近づいていたのだ あるいは、手が届いていたのかも ラグランジュも、５次の根の公式があると思い込んでいるから、記載ぶりや結論があやふやになった ５次の根の公式の存在を否定してしまえば、ラグランジュ自身が示した６次の補助方程式が有理解を持つことが必要十分という方向へ行ったろう まあ、一般５次方程式の代数的解法がないことを証明したアーベルだから、 それがガロアのような群論を用いたものになったかどうか不明だが、少なくとも>>521の手紙に記したようなことは、存命ならいずれ発表したろう ガロア論文の出版が遅れたから、おそらくガロア論文が世に出る前にアーベルの理論が出版されたのではないか となると、アーベル存命でアーベルの方程式論が発表されそれが発展すれば、ガロア論文に対する評価も現在とは違った形になったかもしれない 526 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 22:48:49.34 ] >>522-524 Kummerさま、投稿乙です！ 527 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 11:13:55.42 ] >>367 >a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 - Wolfram|Alpha　www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E4%2Ba_1x%5E3%2Ba_2x%5E2%2Ba_3x%2Ba_4%3D0 Maxima>>283で同じ問題を解かせると a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+c=0は、” << Expression too long to display! >>”となる ３次の項を落として a*x^4+c*x^2+d*x+c=0は解けるが、かなり長い結果表示で、上記のWolfram|Alphaの方が見やすいね。さすがに、こっちの方が上で、使いやすいか 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 15:06:00.79 ] >>524 人が言ったことをさも自分の考えのように言っちゃってｗ さすが、コピペスレのスレ主は違う。 529 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/10(土) 15:15:12.64 ] >>524 失せろくんまー 通報するぞ 530 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 17:11:31.85 ] ドキュンはこれだから 誰の考えかは無関係 問題はその内容 531 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 17:19:51.14 ] >>529 お前はもう死んでいる 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 19:11:58.15 ] >>530 >問題はその内容 どれもどこかで聞いた内容ですがｗ 533 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 19:40:22.50 ] Abelの方程式論の背後には明らかに楕円関数の等分方程式の可解性の問題がある。 Galoisの書いたものから判断して彼も同様だと思われる。 この問題はKroneckerの青春の夢につながり最終的には高木により解決された。 534 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/03/10(土) 19:53:41.11 ] 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああ！！！！！！！！ 　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああ！！！！！！！ 535 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 19:59:52.44 ] >>528-532 おいらは、Kummerさんも歓迎だよ 但し、定理の証明は自スレでやってもらえば それから”通報するぞ”は無意味だ 通報してから、書くように もっとも、この程度では通報しても荒しとは認められないだろうな 536 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 20:11:48.70 ] >>525 こんなのが、あった ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 （抜粋） アーベル-ルフィニの定理（Abel-Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。 より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。 1770年　ラグランジュが代数方程式の解法と根の置換について考察し、代数方程式が解けるための条件を初めて見いだす。 1799年　ルフィニが最初の不可能性の論文を発表。同年ガウスが代数学の基本定理を証明した学位論文中で五次方程式の不可能性について予言。 1824年　最初の論文によりアーベルによってルフィニの欠陥が解決される。定理の成立。 1829年　アーベル没。ガロアが代数方程式の可解性について最初の論文を書く。 1832年　ガロア没。 1846年　リウヴィルによりガロアの仕事が世に出る。 同時期の貢献としては他にガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。 代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。 なおガウスは後年アーベル、ガロアの論文を受け取っているが、全く関心を示さなかったという。ガウスにとって既に重要な問題とは見えなかったらしい。 ラグランジュを学んだアーベルは、当初五次方程式の解法を発見しようとしていたが、そのうちに不可能かも知れないと考えるようになり、研究の方向を転換する。 一方ガロアはアーベルとは独立でほぼ同じ経路を辿っていた。アーベルの仕事については知らなかったが、後に恩師に薦められて存在を知る。 コーシーが自分の時と同じく、アーベルの論文も紛失したことに憤慨する手紙が残されている。 どちらの証明も、本質的にはガロア群の構造に触れることで不可能性を証明しているが、アーベル、ルフィニらには「群」という意識がまだ存在しておらず、技巧的な証明に留まっていた。 537 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 20:28:25.80 ] >但し、定理の証明は自スレでやってもらえば ここでやるわけないｗ 538 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 20:28:58.07 ] >>536 >同時期の貢献としては他にガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。 >代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。 ガウスは、作図可能な正多角形の研究を通じて、円分方程式論を展開している。これは、正にべき根と巡回群に関する研究である。それを通じて、べき根拡大には限界があり、一般の５次方程式はべき根では解けないことがガウスには直感的に分かったのではないだろうか ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E8%A6%8F%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E4%BD%9C%E5%9B%B3 （抜粋） 作図可能な正多角形 正三角形と正五角形、この2つの正多角形の頂点の数の最小公倍数の値と同じ数の頂点を持つ正十五角形、正方形、 およびこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能である事は古代ギリシアの数学者エウクレイデス（ユークリッド）が著した『原論』に記されており、よく知られていた。 長い間それ以上のことは判明しなかったが、ガウスが1796年3月30日に、正十七角形が作図可能であることを発見した[3][4]。 同時に正五十一角形、正八十五角形、正二百五十五角形、及び17もしくはこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能であることも発見されたことになる。 ガウスはさらに1801年に出版した『整数論の研究』において、正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件が、n が2の冪と相異なるフェルマー素数の積、すなわち n = 2mFaFb…Fc（Fa , Fb , … ,Fc は全て異なるフェルマー素数、m は非負整数） の形であることを示した[5]。 これは 1 の原始 n 乗根 ζn のガロア群の構造が 2 次拡大の繰り返しによって得られることの特徴付けとして得られる。 539 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 20:31:26.35 ] >>537 Kummerさん、乙です >ここでやるわけないｗ だよね ま、よろしくね 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 20:33:44.01 ] >>533 知ったかぶり乙ｗ 541 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 20:40:21.95 ] >>536 >学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。 これだね ja.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae (抜粋) Disquisitiones Arithmeticae（ディスクィジティオネス・アリトメティカエ、ラテン語で算術研究の意、以下 D. A. と略す）は、カール・フリードリヒ・ガウス唯一の著書にして、後年の数論の研究に多大な影響を与えた書物である。 1801年、ガウス24歳のときに公刊された。その研究の端緒はガウス17歳の1795年にまでさかのぼり、1797年にはほぼ原稿は完成していた[1]。 ラテン語の arithmetica（アリトメティカ）は通常「算術」と訳される[2]が、ガウスの意図したものは、今日「数論」もしくは「整数論」と呼ばれる学術的領域である[3]。 D. A. を『数論研究』と訳している書物もある[4]し、高瀬正仁による最初の D. A. の完全な日本語訳の書名は『ガウス整数論』である。 最後の第7章は、円周の等分に関する理論であり、1の冪根や円分多項式について議論している。特に、正多角形が定規とコンパスによる作図で構成可能であるための条件を与えている（最終第365条、366条）。 ガウスは、高次の合同式に関する、第8章に相当するものを書いていたが、完成することなく、死後に部分的に公表された[5]。 542 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 20:41:52.78 ] >>540 オマエの様な奴が一番いやらしいワ。そやし攻撃したる。 猫 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 21:19:07.40 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 21:47:42.29 ] >>542 痴漢にそんなことをいう資格はない。痴漢はいやらしくないのかｗ 545 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 21:53:40.49 ] >>544 攻撃するのはわしの勝手や。そやし気に入らんかったらオマエがワシを 攻撃したらエエのや。そうやってスレが焦土と化して行くだけや。 どや、文句アルかァ！ 猫 546 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 21:57:21.27 ] >>542 オマエをズタボロになるまで追い詰めて潰したる。許さんからナ。 猫 547 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 21:59:23.43 ] アンカーを間違えたワ。攻撃の目標は>>540やったワ。 猫 548 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 22:00:10.23 ] >>540 オマエをズタボロになるまで追い詰めて潰したる。許さんからナ。 猫 549 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 22:01:45.16 ] >>540 オマエみたいな発想の奴が一番憎いんだヨ。徹底的に追い詰めたる。 猫 550 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 22:05:45.26 ] >>545 ねこさん、乙！ おいらも、ねこさんに賛成だな まあ、この程度は焦土とは呼ばないが。焚き火だね。ちょっとホットにあったまって適温だな 999まで、先はまだまだ長いし、それで足りなければ次スレ立てるから 551 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 22:09:17.32 ] ああ、そうですか。なるほど。 猫 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 22:27:34.53 ] >>545-549 よほど痴漢と呼ばれたの答えたらしいなｗ キチガイぶりでは、猫と熊はよく似ている。 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 22:29:55.99 ] >>549 世の中には、人のいったことを、さも自分が考えたようにいう輩がいる。 痴漢猫はその仲間ｗ 554 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 22:36:48.07 ] >>511 補足 アルティンが、線形群の補題を書いている 定理44の直前だ 補題　qを素数とし、Hをq個の文字の置換群とし、Hの正規部分群Nが線形であるとする。するとH自身も線形である これのアルティンの証明もなかなか鮮やかだが ともかく、「qを素数とし、Hをq個の文字の置換群とし」＝Hは素数次の対称群Sqの部分群ってことで 線形群は、いくらべき根で正規拡大しようとしても、線形群以上にはならない で、線形群の位数の最大値は、q(q-1)にしかならない（これは、アルティンの定理45の直前の記述） なので、べき根で解けるのは、ガロア群がこの程度（位数の最大値q(q-1)）まで 一般のガロア群では、対称群Sqの位数はq!(qの階乗)だから、それは線形群よりもっともっと複雑ってことがわかって、「なるほどべき根では解けないね」と 555 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 22:37:27.13 ] >>552-553 おまえ、そうとう馬鹿だな 556 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 22:48:44.71 ] >>554 補足 ガロア論文>>3の第VII節で、ガロアはアルティンの補題や定理44から45にかけての説明と同じ趣旨のことを書いている しかし、ガロアの時代正規部分群という用語も線形群という用語や概念もはっきりしていないから、その表現がわかりづらい アルティンや守屋解説>>3、倉田>>4などを読んでからでないと、とても読めたしろものではない 557 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 22:57:52.93 ] >>556 だが、守屋先生の解説も分かりにくい えーと、守屋先生を検索すると・・ 守屋 美賀雄（もりや みかお）、洗礼名は「ミカエル」か・・。「ミカエル」→美賀雄かも・・。高木貞治門下の一人か。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%88%E5%B1%8B%E7%BE%8E%E8%B3%80%E9%9B%84 守屋 美賀雄（もりや みかお、1906年3月 - 1982年10月18日）は、日本の数学者。高木貞治門下の一人。 専攻は整数論。父親は守屋荒美雄（すさびお）で、帝国書院、関東第一高等学校、吉祥女子中学校・高等学校の創立者。 洗礼名は「ミカエル」。理学博士。 1949年から始まったイールズ事件（1949年占領軍総司令部民間情報部最高教育顧問官イールズが全国の大学をまわって、講演の中で共産主義者を大学から追放すべきだと主張していた）では、 1949年5月15日に北海道大学でイールズの講演に対し、カトリック信者として真っ向から反対している。 経歴 1923年 開成中学卒業。 ・第一高等学校卒業。 1929年 東京帝国大学理学部数学科卒。 1931年10月 ドイツのマールブルク大学へ留学、ヘルムート・ハッセの下で学ぶ。 1934年3月 ドイツより帰国し、直ちに北海道帝国大学（のちの北海道大学）理学部数学科助教授 1938年 帝国第一高等女学校（のちの吉祥女子中学校・高等学校）の初代理事長に就任。（設立者） 1941年 北海道大学理学部数学科教授 1950年5月 岡山大学理学部数学科教授 1957年8月 東京大学教養学部教授 1965年3月 東京大学定年退官 1965年4月 上智大学理工学部数学科教授←数学科新設に伴い 1968年11月12日−1975年3月31日 上智大学第6代学長 1971年1月 ローマ教皇庁より聖グレゴリオ大勲章受章 学位 1938年 理学博士（東京大学） 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 23:06:57.22 ] >>555 >なので、べき根で解けるのは、ガロア群がこの程度（位数の最大値q(q-1)）まで こんないい加減なことを書いておいてどっちがバカなんだかｗ 559 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 23:15:57.29 ] >>557 >だが、守屋先生の解説も分かりにくい 守屋先生1906年3月 - 1982年10月18日ですか お亡くなりになっている人を悪くいうつもりはないが P113の解説 「22)・・これ以降本節でガロアの述べていることは意味が明確でないし、また原文のままでは必ずしも正しくはない。 ・・、もとの方程式のガロア群の元が線形置換とは断定できない。そのためには、以下に示すようにある制限が必要である。」 としておきながら、どんな制限かあいまい。この後、”制限”というキーワードが出ないまま、23)の解説になってしまう ”ガロアの述べていることは意味が明確でない”と批判した解説であるから、自分はもっとしっかり（意味明確の）手本を示すつもりで書いて欲しかったね 560 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 23:16:39.79 ] >>558 おまえに決まっているじゃん 561 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 23:22:35.53 ] >>558 >>なので、べき根で解けるのは、ガロア群がこの程度（位数の最大値q(q-1)）まで まあ、正確には、アルティン先生は 「よって、Gの位数はdqであり、Gの構造は位数dqによって一意に定まる。位数の最大値は(q-1)qである」（定理45の直前に）と書いてあるが、面倒なので縮めたんだよ 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 23:24:56.83 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/11(日) 00:27:16.21 ] >>560 いい年したオッサンが、じゃんとかおいらとか恥ずかしいぞ。 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/11(日) 00:32:31.01 ] >>561 バカｗ　肝心なことがわかっていない。 565 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 04:55:28.74 ] >>528 数学史の専門家でない俺が数学史について述べてるんだからオリジナルでないことは明らか。 似たようなことは高木の近世数学史談にも書いてある（ソースはそれだけじゃないが）。 しかし、高木の本にしたって歴史部分は高木のオリジナルじゃないだろ。 高木が超能力者なら別だがｗ 566 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 05:12:15.40 ] >>565 阿呆 通報 567 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 08:07:47.69 ] >>563 馬鹿だな、おまえ。ここは２ちゃんねるってこと。全てはそのコンテキストで考えるべし。”おいら”は、かつて２ちゃんねるを立ち上げた西村の常套句でそれを借りているんだよ、おばかさん >>564 馬鹿だな、おまえ。”肝心なことがわかっていない”か。 だが、「>なので、べき根で解けるのは、ガロア群がこの程度（位数の最大値q(q-1)）まで こんないい加減なことを書いておいてどっちがバカなんだかｗ」>>558と、アルティン先生からの引用>>561にインネンつけたお前の負けだ ”肝心なことがわかっていない”という指摘が何を意味するのか不明だが（おそらくそれを書けば反論されるのを恐れてボカシているのだろうが）、当たっているかも知らんし別に否定はしない だが、「こんないい加減なことを書いておいて」→”肝心なことがわかっていない”は成り立たないぞ そして、ここは２ちゃんねるってこと。全てはそのコンテキストで考えるべし。ここは学会ではない。専門書の記述そのままでは面白くない場合が多い。適当に（不正確でも可）変換すべし 正確さを求めるならアルティン先生を読めば良いだけだから >>565-566 Kummerさんの勝ち 566のオッサン馬鹿だから、相手をしない方がいい。馬鹿が感染るぞ！　おいらも今後馬鹿が感染らないようにスルー（無視）するよ 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/11(日) 08:11:22.47 ] >>567 阿呆ｗ 569 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 08:40:06.76 ] >>559 >P113の解説 「22)・・これ以降本節でガロアの述べていることは意味が明確でないし、また原文のままでは必ずしも正しくはない。 >・・、もとの方程式のガロア群の元が線形置換とは断定できない。そのためには、以下に示すようにある制限が必要である。」 >としておきながら、どんな制限かあいまい。この後、”制限”というキーワードが出ないまま、23)の解説になってしまう 補足 倉田>>4が、P179で 「すなわち、ガロア群が線形置換群であるための必要十分条件は、方程式G(X)がkの元を根に持つことである。 　ただし、A(r)からSpの置換によって生ずる相異なる量がちょうど　p！/(p(p-1)) 個あるように有理数rを選ぶことができるという仮定のもとであることは、[守屋]によって指摘されている通りである」と書いている １．守屋先生の記述との対応がイマイチはっきりしないが、P133の下から６行目の「m=1・2・・・・・(n-2)」のことだろうか ２．倉田もこれだけでは、言いたいことが分からない ３．ここは、エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)>>442のP146に書いてある通り、 　既約な５次方程式で可解になるのは、メタ巡回群B’5（＝線形置換群、位数20＝5・4）、半メタ準海群B5（位数10）、C5巡回群（位数５）の３通りで、 　”既約な５次方程式で可解→メタ巡回群B’5（＝線形置換群）”に限らないってことを言いたいのだろう 　ここは、staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf　5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01　にも引用されている まあ、先生がたは分かりすぎていて、いわずもがなということなのでしょうが、初めてガロア理論に触れる人には分からないだろうと 570 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 08:40:31.77 ] 意味のない書き込みｗ 571 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/11(日) 09:07:25.39 ] >>568 >>570 コラ、邪魔したらワシがシバいたるさかいナ。そやし静かにせえや。 猫 572 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 09:15:22.46 ] 芳雄に完全敗北ｗ 573 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 09:31:48.37 ] >>571 猫さん、乙です。論理的反論も書けない、品性も知性も低いオッサンですが、568、570は。まあ、よろしくお願いします 574 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 09:37:13.71 ] >>573 悔しいのうｗｗｗｗ 致命的な数学的間違いが散見される「害」のある書き込みばかりじゃないか、君。 もう少し知性を向上させたまえ。 575 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 09:56:08.63 ] >>569 因みに、守屋>>3のガリア論文の本文第VII節P39で 「この[群（G）の直前の]群について、前の群についてと同様に論ぜられるであろう。 その結果、[群の]分解の順序で第一の群、すなわち方程式の実際の群は xk, xak+b という形の置換だけを含むことができることになる。」 と、書かれているが、ここはちょっとおかしいだろう つまり、ガロアは>>554アルティン「補題　qを素数とし、Hをq個の文字の置換群とし、Hの正規部分群Nが線形であるとする。するとH自身も線形である」を明確に意識し、 ”線形群の正規拡大はまた線形になる”ので、結局べき根で解ける素数n次の既約方程式のガロア群は線形群だと主張していると思う とすれば、 「この（正規部分群列（方程式のガロア群=G0>G1>G2>・・・>Gs-1>Gs=1 by アルティン>>511 ））について、前の群（Gs-1 by アルティン＝群（G）の直前の群 by ガロア）についてと同様に論ぜられるであろう。 その結果、[群の]分解の順序で第一の群、すなわち方程式の実際の群は xk, xak+b という形の置換だけを含むことができることになる。」とされるべきだったろう。ガロアの原文が悪いのか、訳がどうなのか不明だが 576 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 10:03:35.78 ] >>558と、アルティン先生からの引用>>561にインネンつけたお前の負けだ。だから、具体的な指摘ができない。具体的な指摘をすれば、>>561のようにアルティン先生の本に還元されるからね 再度確認しておく「アルティン先生からの引用>>561にインネンつけたお前の負けだ」 なおこのレスは、>>558の再確認にすぎない 577 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/11(日) 10:06:20.19 ] >>573 ちゃんと読ませて貰ってます。出来る事は協力します。 猫 578 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 10:09:23.35 ] 芳雄に連戦敗北・・ｗ 579 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 10:10:08.09 ] >>575 訂正スマソ 因みに、守屋>>3のガリア論文の本文第VII節P39で 　↓ 因みに、守屋>>3のガロア論文の本文第VII節P39で （イカン、馬鹿が感染ってきた） 580 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 10:11:54.24 ] >>577 猫さん、乙です 間違いがあれば指摘してください よろしくね　（間違いを過度に恐れていては書けないので） 581 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/11(日) 10:44:43.84 ] >>580 気付いた事があれば書き込みますが、余り頼りにはしないで下さい。 でもその『間違いを恐れない』というのはとても大切な事だと思います。 私も何かをする時はそのポリシーですね。頑張って下さいまし。 猫拝 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/11(日) 11:54:59.72 ] >>579 移る前からバカだろ？キモいおっさんｗ お前はいい加減なこと書きすぎだ。もう一度勉強し直してから書き込めよｗ 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/11(日) 12:04:44.59 ] >>567 >ここは２ちゃんねるってこと。全てはそのコンテキストで考えるべし。 だからバカと皆さん指摘している。 >”おいら” おっさんの年って、５０前後なのか？　”おいら”は、さすがに恥ずかしいｗｗ 584 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 12:13:16.15 ] >>532 もちろん>>530はアホでない限り常識 >>528がその常識をわきまえてないから言ったまでｗ 585 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 12:17:40.87 ] >>583 >おっさんの年って、５０前後なのか？　”おいら”は、さすがに恥ずかしいｗｗ ”おいら”って古い言葉だろ（ビートたけしも使ってるし） 田舎なら今でも若いやつが使ってるかもしれないが 俺は田舎に詳しくないんで知らないｗ 586 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 12:19:30.25 ] >>Kummer 消えろ。俺を怒らせんうちにな。 587 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 12:20:21.78 ] www 588 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/11(日) 12:49:59.37 ] >>586 オマエが怒っても誰も困らん。そやし逆上して怒れや。ワシが攻撃したるがな。 猫 589 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 12:54:10.20 ] >>585 Kummerさん、乙です ”おいら”は、下記「２ちゃんねる鉄の掟」に由来する由緒ある言葉です info.2ch.net/guide/ ２ちゃんねる鉄の掟 出されたご飯は残さず食べる。 転んでも泣かない。 おいらのギャグには大爆笑する。 590 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 13:02:03.62 ] >>588 猫さん、乙です ”俺を怒らせんうちにな”って、笑える。お茶目なおっさんだね。知能低そうだが >>581 猫さん、乙です >でもその『間違いを恐れない』というのはとても大切な事だと思います。 >私も何かをする時はそのポリシーですね。頑張って下さいまし。 間違ったことも書いているかも知れないし、誤解もあるかも知れない なので、極力引用元を明確にして、正確性の担保にしている まあ、このスレだけで終わらせずに、原本か他の文献に当たられることをお薦めします 元々、このスレだけで完璧になるように書くつもりはないので （そんなことをすれば、数学の教科書と同じになるので、スレの意味がない。スレはもっと気楽に書き気楽に読むものだと思うから） 591 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/11(日) 13:05:52.56 ] >>590 どんな事をする場合でも、間違いを恐れてはいけません。間違いと判っ た時にきちんと訂正をすれば、ソレで良いので。 猫 592 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 13:19:49.36 ] ”おいら”ってもともと田舎の言葉だろ 東京じゃ昔から”おいら”は子供も大人も普通は使わない。 だから俺なんかビートたけしの”おいら”に違和感がある。 593 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 19:47:15.03 ] >>591 猫さん、乙です。ありがとう >>592 ”おいら”は、書きをご参照。因みに、ご存知西村博之が２ちゃんねるの創始者 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E%E3%81%AE%E4%B8%80%E4%BA%BA%E7%A7%B0%E4%BB%A3%E5%90%8D%E8%A9%9E#.E5.B7.B1.E7.AD.89.EF.BC.88.E3.81.8A.E3.81.84.E3.82.89.EF.BC.89 日本語の一人称代名詞は、日本語において、一人称すなわち話し手を指す代名詞である。 英語、フランス語、中国語など他の多くの言語と異なり、現代日本語には文法的に名詞とはっきり区別される代名詞がなく、様々な語が一人称代名詞として使え、それぞれ文体や立場が異なる[1]。 また同じ語でも平仮名か漢字かでも読み手に与える印象が異なる。 3.2.9 己等（おいら） 主に地方の男性が使用する。かわいこぶるときに男女とも使用する事もある。ちなみに「俺等」もしくは「俺等」「俺ら」と書いて「おいら」と呼ぶ表現もあるが、「おれら」とまぎらわしいので最近はあまり使われない。 映画「嵐を呼ぶ男」で石原裕次郎が唄った主題歌「嵐を呼ぶ男」（作詞：井上梅次）が有名。 常用している著名人としてはビートたけしや西村博之、上地雄輔、モーニング娘。 在籍当時の矢口真里、ブログ内での真鍋かをりが有名。 3.2.10 俺ら（おら） 「おいら」から派生[要出典]した。使用されるのは主に関東以北で、現代では「俺ら（おら）東京さ行ぐだ」という歌詞にもあるように、役割語として使用される場合が多い。 昭和初期の首相・陸軍大将の田中義一は山口県出身だが、一人称が「おら」だったことから「おらが大将」といわれた。 594 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 19:48:06.53 ] >>593 訂正 ”おいら”は、書きをご参照。 　↓ ”おいら”は、下記をご参照。 595 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/03/11(日) 19:55:55.31 ] 　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもは、福島原発の作業員となって、 　少しでも、人の役に立て！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 596 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 22:13:17.52 ] >>569 補足 staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf　5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 にも記されているが、 エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)>>442のP155には、 標準型 x^5 +px+q=0 の場合の係数の助変数を使った表示が与えられている ただし、P154からP155の記述が分かりにくい 重根を持つ場合と重根を持たず決定多項式が基礎体Pに根を持つ場合の区別が明確でない（P154が重根を持つ場合でP155は重根を持たない場合と思う） >>443 repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf　可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003 を併読すると良い。ポストニコフとは違う表現が与えられている 597 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 22:28:19.15 ] >>596 補足 なお、大迎規宏は、”計算はMathematicaによる”などと書かれている 下記、関口 次郎先生もあとがきで、計算をMathematicaで再確認していったとある Mathematicaなどの数式処理ソフトは、現代では必須なんだろう www.amazon.co.jp/%E6%AD%A320%E9%9D%A2%E4%BD%93%E3%81%A85%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F-%E6%94%B9%E8%A8%82%E6%96%B0%E7%89%88（長すぎるので勝手に改行する。必要な人はネット検索乞う） -%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B7%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9-F-%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3/dp/443171118X 正20面体と5次方程式 改訂新版 (シュプリンガー数学クラシックス) [単行本] F.クライン (著), 関口 次郎 (翻訳), 前田 博信 (翻訳) 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/11(日) 22:37:36.44 ] >>593 一応忠告してやる。いい年して、リアルで”おいら”とか”じゃん”とか使うなよ。 あんたの年齢４５以上だろ？ 599 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 22:57:45.56 ] >>598 >一応忠告してやる。いい年して、リアルで”おいら”とか”じゃん”とか使うなよ。 忠告ありがとうよ。当然だよ。”おいら”なんて、あくまで２ちゃんねる用語だよ。”私は”じゃ硬すぎるだろ >>あんたの年齢４５以上だろ？ 当然だわな。書いている内容見ればある程度年齢は分かるだろうよ ところで、こちらから一つ忠告しておいてやる ここで、おいらに突っかかってきても、返り討ちになるだけだぜ。そして、猫氏とKummer氏と３人から袋叩き。馬鹿を晒して、他のスレでの発言力にも影響するだろうよ・・ 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/11(日) 23:19:26.57 ] おいらには解けない 601 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/11(日) 23:41:57.81 ] >>596-597 これでほぼ、ガロア論文>>3の最後まで話は通した あとは、適当に落穂拾いをして行く 602 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/12(月) 04:12:17.39 ] DDDD 603 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/12(月) 22:40:24.78 ] >>385 Jean-Pierre Tignol「代数方程式のガロアの理論」P307に ”付録：ガロアによる置換群の表現”としてガロア記法>>28-32の解説がなされている これはなかなか興味深いね P311には、 「順列群というガロアの記述において、疑いのない明確な点は部分群、特に正規部分群の概念がこれから見ていくようにかなり自然なやり方で発生することである。」と書かれている 　つまり、正規部分群こそがガロアの理論の核心であり、オリジナルな点だが、それはガロア記法があったればこそと言えよう なお、ブルーバックス「ガロアの理論」中村亨>>2は高校生向けのガロア記法の解説であり、 Jean-Pierre Tignolは、大学の講義用の専門的な解説になっているので、両方読まれることをお勧めする 604 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/13(火) 05:37:41.40 ] >>603 >「順列群というガロアの記述において、疑いのない明確な点は部分群、特に正規部分群の概念がこれから見ていくようにかなり自然なやり方で発生することである。」と書かれている >　つまり、正規部分群こそがガロアの理論の核心であり、オリジナルな点だが、それはガロア記法があったればこそと言えよう アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>3のアーベルの論文を見ると 置換を上下２段の文字で表すコーシーの記法>>28（それは今日普通に使われる記法でもあるが）が、使われている だが、ご存知のようにコーシーの記法の文字列は、常に同じ（例えば（a b c d・・・・k）>>28）なのだ だから、ガロアはコーシーの記法の上段を省略する省エネ記法（＝ガロア記法）を編み出した そして、それを使って置換群を調べたのだろう ガロア記法から、Jean-Pierre Tignolの指摘のように、正規部分群の概念がかなり自然なやり方で発生するのだった ガロアは、省エネ記法として上段を省略するガロア記法を考案し、それを使って置換群を調べるうち、自然に正規部分群の概念に気付いた 数学では、新しい記法が進歩を促すことがある。これは覚えておいた方が良い。ガロア記法もこの例だろう。もしガロアが長生きしたら、ガロア記法はもっと広まっていたかもしれない優れものなのだ 605 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/13(火) 05:48:54.88 ] >>604 訂正 ご存知のようにコーシーの記法の文字列は、常に同じ（例えば（a b c d・・・・k）>>28）なのだ 　↓ ご存知のようにコーシーの記法の上段の文字列は、常に同じ（例えば（a b c d・・・・k）>>28）なのだ 606 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/13(火) 06:31:12.19 ] >>604 Jean-Pierre Tignolの専門的な解説は>>603だが おいらも、>>355-361に一般向けの解説を書いたので、ご参照ください 607 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/13(火) 21:58:42.99 ] >>536 >同時期の貢献としては他にガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。 >学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。 Jean-Pierre Tignol「代数方程式のガロアの理論」>>385 P217に、ガウスについて同じこと（５次方程式の一般解法に対する懐疑）が書かれている 608 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/14(水) 06:14:48.60 ] >>607 ガウスは、べき根による可解性について、かなり深く理解し、直感的に５次方程式の一般解法に対する懐疑を深くしたのだろう Jean-Pierre Tignol「代数方程式のガロアの理論」>>385P200に「12.5 べき根による可解性」という節がある D. A. ：『ガウス整数論』を取り上げた節だ Kummer氏が>>533に書いているように、”背後には明らかに楕円関数の等分方程式の可解性の問題がある”と 近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治>>60にあるように、ガウスはD. A. を書いた時点ですでに楕円関数論を得ていた そして、円分方程式と同様に楕円関数を用いて同じようなことが可能だとD. A. に暗示した（近世数学史談「9.書かれなかった楕円函数論」のSchumacherへの手紙） 円分方程式論や楕円関数論でのべき根による可解性の研究を通じて、ガウスはべき根による可解性の限界（＝解かれるべき方程式と解かれざる方程式との違い）を直感的に理解していたのだろう 一般の５次方程式は解けないと 609 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/14(水) 22:28:30.63 ] >>509 アルティン「ガロア理論入門」をあらためて眺めていたんだが これ、群論の知識を前提として、群論部分はほとんど記述がないね・・ アルティン氏による”まえがき”に 「その初版のドイツ語訳の提案を受けたときに、私はついでに現代代数学の理論への入門をつけ加えるのが良いのではないかとも考えた。」 　しかし、熟慮ののち、私は当初の方針を堅持し、前と同様の読者層を対象とすることを決意した。 　今日世の中に現代代数学の基礎理論を与える教科書は十分なほどに用意されているからである。」と書かれている 前と同様の読者層＝ノートルダム大学の夏期学校で行った講義 だと ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%A0%E5%A4%A7%E5%AD%A6 ノートルダム大学（University of Notre Dame）は、アメリカ合衆国、インディアナ州サウスベンド近郊にあるカトリック教会創設の名門私立大学。 1842年エドワード・ソリンによって創設された。現地では英語式に、「ノーターデイム」と発音する。エモリー大学などとともにヒドゥン・アイビー（Hidden Ivies）に数えられる。 （引用おわり） ご存知米国は９月入学。とすれば、夏期学校の対象は、最低１年の大学教育は終えた者 おそらくは、数学科だろう なお、「ガロア理論入門」のドイツ語の題は入門はついていないのだった とすれば、群論は履修済みとして、そこは飛ばして夏期学校の短い時間で担当直入に「ガロア理論」を展開した本だと ”入門”というより、”概括”とでも言った方がいいかも知れない 骨太にガロア理論のエッセンスを、数学科で最低１年の大学教育は終えた者に教えるのだと 索引に群論関係の用語がほとんどないこともうなづける 索引はおそらく原書のままで、ページだけを調整したのだろう P37の節の見出しになっている「群指標」さえ索引にはない。巡回群もない。本文には、群の定義は与えられていない＝知っているのが前提だと アルティンは、そういう本なのだと思って読むことだね（＝”まえがき”にある「現代代数学の基礎理論を与える教科書」を併読すべきだと） 610 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/14(水) 22:40:10.99 ] >>609 寺田文行のあとがきに 問題は訳者のつけたものであり・・・、また各節のはじめに[概説]をつけて・・ とある [概説]は、アルティン氏によるものだと思って読み進めると、あれ？と思う記述が出てくる 本のまえがき、あとがき、目次は最初に目を通すべきもの！という教訓だ 611 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/14(水) 22:57:20.67 ] >>610 ジグソーパズルを知っているだろう 数学の本を読んでいると、次から次に定義・定理が出てくる ジグソーパズルの一つのピースみたいなもの 早く全体像を掴んで、その一つのピースが全体のどこにはまるのかを考えないと ジグソーパズルの各ピースを見ていても理解は進まない だが、各ピースを見ないと、全体像が理解できない。数学の本を読むのはなかなか大変だ（一部の天才は別として） わんこら式>>449というのも一理ある 前の方で分からないところが出てくる。だが、最後まで読むと、後ろの方で関連したところが出てきて、「ああ、そうか」と分かる場合がある 早く最後まで読んで、また前から読むべし。全体像を掴みながら これが良いのでは・・ 612 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/14(水) 23:08:20.53 ] >>611 subsite.icu.ac.jp/people/hsuzuki/science/class/algebra3/algebra3.html （ガロア理論、体論の参考書） スチュアート 「ガロアの理論」共立全書 問題が多く自習にも適する。 （引用おわり） これ、倉田>>4も文献に引用しているが、最初に章立ての構造図が入っている なかなかユニークだ けど、これいまは下記に変わっているかな？ 出版社と訳者が変わってるかな。章立ても変わっているから、内容もだろう・・ www.bookclub.kodansha.co.jp/bc2_bc/search_view.jsp?b=155770X 明解ガロア理論　［原著第３版］　 講談社 著者： イアン・スチュアート 翻訳者： 並木雅俊 翻訳者： 鈴木治郎 発行年月日：2008/03/15 613 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/14(水) 23:13:28.94 ] >>612 それから、天才は別として、一つの本だけで理解しようとしないこと 誤植や誤記があるかも知れないし 分からないところがあれば、別の本に当るか、だれかに聞くかだろう 聞くときも、「教えてください」ではなく「自分はこう思う（こういう解釈でよろしいか）」と聞くこと 「教えてください」では、教える側も相手がどの程度理解しているか分からないので どのレベルの説明をしたら良いか、分からず困ることになるから 614 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/14(水) 23:34:48.34 ] >>521 >近世数学史談で面白い記述を見つけた >”１８．パリ便り”というアーベルの手紙に関する節だ。1826年10月24日付け (中略) >特に、五次方程式に関しては、若しもそれが代数的に解かれるならば、根の形は次のようでなければならないことが分かった。 >ｘ=A+(R)^(1/5)+(R')^(1/5)+(R'')^(1/5)+(R''')^(1/5) >ここで、R、R'、R''、R'''は一つの四方程式の四つの根で、それらは平方根ばかりで表されるのだ。 >（注：(R)^(1/5)などの項は、原文ではRの五乗根（ルート記号）を用いて表されているが、掲示板の制約でエクセル記法を用いた。） >>443 repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf　可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003 のP76の五乗根を使った実根表示を見ると、アーベルの手紙に近いかなと思う アーベルは、やはりかなり山の頂上（＝ガロア理論）付近まで来ていたのではないか もし、アーベルが長命だったなら、ガロア論文が世に出る前にかなりレベルの高いアーベルの論文が余に出たのではないかと思う 615 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/14(水) 23:36:17.80 ] >>614　訂正 かなりレベルの高いアーベルの論文が余に出た 　↓ かなりレベルの高いアーベルの論文が世に出た 616 名前：仙石60サポータ mailto:はい [2012/03/15(木) 01:29:32.39 ] 寺田文行さんのつけた問題と解凍はすばらしい。 さすが心技ともにすぐれた先生方はすばらしい。 おかげでガロア理論の理解もかなり進んだ。 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/15(木) 06:40:36.86 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 618 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/15(木) 06:46:59.90 ] >>616 乙です 619 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/15(木) 07:50:03.07 ] >>609　訂正 そこは飛ばして夏期学校の短い時間で担当直入に「ガロア理論」を展開した本だと そこは飛ばして夏期学校の短い時間で単刀直入に「ガロア理論」を展開した本だと 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/15(木) 10:31:35.73 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 643 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/17(土) 10:52:12.16 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 645 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/17(土) 11:01:01.51 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 646 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/17(土) 11:01:31.26 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 655 名前：仙石６０ mailto:阿呆 [2012/03/17(土) 11:07:19.70 ] お前ワシより年下だろ。 俺は60歳の社会の重鎮だ。格が違う。 656 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/17(土) 11:07:57.83 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 662 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/17(土) 12:55:32.31 ] >>655 これ（下記）、オッサンか？ ”ここもいずれ熊に飲み込まれるか・・・”>>48 ”いやあ、こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ スレ潰しには猫召喚が一番さ”>>83 完全に目論見ハズレの馬鹿晒し で、あるときは、仙石60サポータ>>616 ”寺田文行さんのつけた問題と解凍はすばらしい。 さすが心技ともにすぐれた先生方はすばらしい。 おかげでガロア理論の理解もかなり進んだ。”と あるときは、AA貼り付け ”あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？” とやるのか？ オッサン暇か？ 社会の重鎮さんよ>>655 なんかキモイね 663 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/17(土) 13:00:53.31 ] >>83>>662 ×猫召喚 ○招き猫 664 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/17(土) 13:01:52.75 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/17(土) 13:17:33.27 ] 「オウムは統一教会をラジカルにしたもの」 「オウムが行く前に統一教会が、ロシアに進出していました。ところが、そういう連中が、どうも何時の間にかオウム信者とすりかわってしまった。」 　【殺された石井こうきの発言から】 オウム、北朝鮮、麻原サブリミナル、左翼政権誕生→阪神大震災、サリン 韓流信奉、韓国、韓流サブリミナル、（反日）左翼政権誕生→東日本大震災、原発事故 似ているね てかそのものか。　そうか、統一教会、朝鮮総連、民団→朝鮮人だらけの民主党 666 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/17(土) 13:21:08.27 ] >>662 補足 >”ここもいずれ熊に飲み込まれるか・・・”>>48 >”いやあ、こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ スレ潰しには猫召喚が一番さ”>>83 >完全に目論見ハズレの馬鹿晒し 目論見ハズレで、自ら”あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?”のAA貼り付けでスレ潰しですか 60歳の社会の重鎮、仙石６０>>655のオッサンよ！ おいらの挑発に乗って、また馬鹿晒したね。オッサンの発言力はかなり低下しただろうな 667 名前：β [2012/03/17(土) 13:25:13.34 ] 仙石６０はあかんわ もう発言しても誰からも信用されることなく無視されるだけやろな 668 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/17(土) 13:26:38.99 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 669 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/17(土) 14:12:30.17 ] βさん、乙です 同意 仙石６０のおっさんが、人を批判するなんて、チャンチャラおかしいよ 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/17(土) 15:08:31.89 ] おいら・・・ネットで使っても恥ずかしいｗ 671 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/17(土) 20:01:59.56 ] 仙石６０って、これ？　ゴミだな logsoku.com/thread/kamome.2ch.net/math/1294901071/ 60才からの数学への理解 1 : 仙石６０: 2011/01/13(木) 15:44:31 　いまや　毎日が日曜日。 職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。 しかし数学は大學理科（非数学）れべるに止まっている。 ジャルゴンだけなら、数学用語もしっているが本質はしらん。 そこで数学勉強を始めようとおもう。 情報処理能力は若い奴に葉ソフトハードともにまけん。 よろしくご教示指導願いたい。 　遊民的暇つぶしなどと言わないでよろしくお願いする。 （引用おわり） 672 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/17(土) 20:04:27.10 ] で、仙石６０って、コテと匿名（１３２人目の素数さん）とageとsageとを使い分ける多重人格かよ？　全く信用できないオッサンだな 673 名前：β [2012/03/17(土) 20:11:56.32 ] 仙石６０，これも自業自得だぞ 自分を恨みなさいよ 674 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/17(土) 22:10:38.69 ] この辺で演習問題を出しておこう。 G を 4 次対称群 S_4 の transitive subgroup とする。 その時有理数体 Q 上 4 次の既約多項式 f(x) で、 その根の Galois 置換が G と置換群として同じになる物が存在する。 同様の命題は n = 10 位いや、もっと多く迄まで云えたはず。 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:いや [2012/03/17(土) 22:13:31.86 ] ↑　お前まだ定職がないのか！！ 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:いや [2012/03/17(土) 23:01:05.79 ] 彡　　　　　　　　ミ{､{v､⌒ヽ､　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　 xイ　　　　　　　　　　　　�_ｲヽ、　ヽ.　　　　　| 　〃　　　　　　　　　　　　　川　　ヽ.ヾヾ.　　　　.|βよ！　金玉　去って 　　　　　　　　　　　　　　　リ　　　　ヽ.v|｝　　 　.| 　　　　　　　　　　　　　彡ｲ＿＿ 　 rｪ'v'　 　 　 | マンコ見せて 　　　　　　　　　　　彡彡〃二二､＿＞'卞》,　　 | 　　　　　　　 　 ,xイ　,.ｘ≦《ｔッ=　〕f‐〔テ.}　》　　|パンツ下げて 　　　　　　　　_,,ｘ≦三ﾆ≡《＿＿》"　　ヽrく　 　 ＼ 　　　　＿_ｘﾁ'＜, 　　　　　 ￣￣ f⌒ ,,..　}:.　,　　　/／￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　　ｌ´⌒>’`ゝ:;;ゝ　 　 　 　　　 f ゝ-'´`く:.:. i　　 /' 　　　{　　仆i 　 　　　　　　　　　 ,　:.　,xｪｭ,:　| 　.　 ∧　 ゝﾑ 　 　 　 　 　　　 　',:. r''ﾆ二え | 　∨ 　ゝ、＿ >,　　　　　　　　　　`　 :::　　 ､.| 677 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/17(土) 23:12:26.74 ] そういえば仙谷由人を最近見ないな。 678 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/18(日) 00:18:25.65 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/18(日) 00:20:11.51 ] やらせA 就活中 (p)livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/3/1/31a6f8e6.jpg やらせB 就職後 (p)livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/2/b/2b790359.jpg 世論調査もこんな感じで捏造してます 　東京にある6つのキー局の内、製作から財務まで一貫して朝鮮人が行ってるテレビ局が1つ 　中国共産党から毎年大量の反日工作費が流れているテレビ局が2つ 　もろに北朝鮮と繋がっているテレビ局が1つ　　 年寄はまだまだテレビという外国人に騙され続ける オレオレ詐欺なんて年寄がどれだけ騙されやすいかという社会実験でしかない 馬鹿はいつまでも騙される 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:いや [2012/03/18(日) 00:51:05.19 ] 彡　　　　　　　　ミ{､{v､⌒ヽ､　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　 xイ　　　　　　　　　　　　�_ｲヽ、　ヽ.　　　　　| 　〃　　　　　　　　　　　　　川　　ヽ.ヾヾ.　　　　.|βよ！　金玉　去って 　　　　　　　　　　　　　　　リ　　　　ヽ.v|｝　　 　.| ガロワ拡大して 　　　　　　　　　　　　　彡ｲ＿＿ 　 rｪ'v'　 　 　 | マンコ見せて 　　　　　　　　　　　彡彡〃二二､＿＞'卞》,　　 |　　最小拡大タイ 　　　　　　　 　 ,xイ　,.ｘ≦《ｔッ=　〕f‐〔テ.}　》　　|パンツ下げて 　　　　　　　　_,,ｘ≦三ﾆ≡《＿＿》"　　ヽrく　 　 ＼ 　　　　＿_ｘﾁ'＜, 　　　　　 ￣￣ f⌒ ,,..　}:.　,　　　/／￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　　ｌ´⌒>’`ゝ:;;ゝ　 　 　 　　　 f ゝ-'´`く:.:. i　　 /' 　　　{　　仆i 　 　　　　　　　　　 ,　:.　,xｪｭ,:　| 　.　 ∧　 ゝﾑ 　 　 　 　 　　　 　',:. r''ﾆ二え | 　∨ 　ゝ、＿ >,　　　　　　　　　　`　 :::　　 ､.| 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/18(日) 02:03:25.12 ] >>672 お前も５０近いオッサンだろｗ　十分キモいぞｗｗ 682 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/18(日) 02:52:00.34 ] 日本では何故、同じ行為でもおっさんがすれば キモいになり年齢をそこまで気にするのかが不思議だ。 若く見られたいという幼児願望も強い。 きっと精神年齢が幼いのであろう。 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:いや [2012/03/18(日) 14:12:05.14 ] 彡　　　　　　　　ミ{､{v､⌒ヽ､　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　 xイ　　　　　　　　　　　　�_ｲヽ、　ヽ.　　　　　| 　〃　　　　　　　　　　　　　川　　ヽ.ヾヾ.　　　　.|金玉　去って 　　　　　　　　　　　　　　　リ　　　　ヽ.v|｝　　 　.| 　　　　　　　　　　　　　彡ｲ＿＿ 　 rｪ'v'　 　 　 | マンコ見せて 　　　　　　　　　　　彡彡〃二二､＿＞'卞》,　　 | 　　　　　　　 　 ,xイ　,.ｘ≦《ｔッ=　〕f‐〔テ.}　》　　|パンツ下げて 　　　　　　　　_,,ｘ≦三ﾆ≡《＿＿》"　　ヽrく　 　 ＼ 　　　　＿_ｘﾁ'＜, 　　　　　 ￣￣ f⌒ ,,..　}:.　,　　　/／￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　　ｌ´⌒>’`ゝ:;;ゝ　 　 　 　　　 f ゝ-'´`く:.:. i　　 /' 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　βはきっと精神年齢が幼いのであろう。 　　　{　　仆i 　 　　　　　　　　　 ,　:.　,xｪｭ,:　| 　.　 ∧　 ゝﾑ 　 　 　 　 　　　 　',:. r''ﾆ二え | 　∨ 　ゝ、＿ >,　　　　　　　　　　`　 :::　　 ､.| 　　＼ 　{　　　　: 　 　 　 　 　 　　　　 ､.::.:.:.:.| 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/18(日) 16:14:34.27 ] >>1 u=α+βω+γω＾2 v=α+βω＾2+γω ＾ω＾ この顔があると笑うな 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/19(月) 16:10:38.02 ] 640 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2] 『平清盛』プロデューサー反日朝鮮人　磯智明（反日・天皇制度廃止論者）のプロデュース作品 �@『監査法人 (2008)』反体制・反社会 �A『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会 �B『リミット -刑事の現場２- (2009)』反体制・反社会 日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1 韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員 テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮 あとはもうわかるよな 民主党は、朝鮮人だらけ。 野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は

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