- 1 名前：名無しさん [2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu]
- ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18
「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。
両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。
ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21
ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。
ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。
- 440 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 10:49:23.43 ]
- >>436
話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと
>正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．
>この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．
>正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．
>まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
>次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
>P(12)〜5xA4=A5
P(12)〜5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５
だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！ これかなと
まとめると、
５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと
これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う
で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる
これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ
- 441 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 10:53:30.29 ]
- >>440 訂正スマソ
５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと
↓
・・・組み合わせから成る群だと
しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、
↓
・・・、それはA5に落とせるが、
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