現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

407 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/01(木) 07:43:10.97 ] >>393 >でも、この表現だと、例えばV'に対応する置換φV',φ1V',・・・・,φm-1V',が具体的にどういう根の並びになっているか不明 >でも、直感的には例えば、V1=Ab+Ba+Cc+・・・（互換(a,b)）なら、根の並びも b, a, c ・・・（互換(a,b)）が対応するんじゃないかと。それが自然な対応で、そういう自然な対応になっていないと、群の積を考えたときに困るだろうと >倉田>>4の７節「ラグランジュの定理」の証明に使う分母に微分が来る式があるんだが、その筋で直接照明できるね 今日はこれ。>>315>>317倉田>>4§７より （ラグランジュの定理） 体ｋ上のｎ（＞１）次の多項式の根α１、・・・、αｎは重根を持たないとする。 α１、・・・、αｎのｋ上の有理式 β＝φ（α１、・・・、αｎ）、γ＝ψ（α１、・・・、αｎ）において βを不変にするすべての（α１、・・・、αｎ）の置換によって、γが不変ならば、 γはβのｋ上の有理式で表される。 証明は、 デデキント、ラグランジュの論法を使う βを不変にするSn（ｎ次対象群）の部分群をHとし、 Sn＝H＋σ1H＋・・・＋σk-1H とする。 β1＝σ1β、β2＝σ2β、・・・、βk-1＝σk-1β とおけば、 β、β1、β2、・・・、βk-1は、Snの置換によって生じる量の全部である。 γから同様にγ1＝σ1γ、γ2＝σ2γ、・・・、γk-1＝σk-1γを作る。 このとき、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1も、Snの置換によって生じる量の全部である。 但し、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1の中に等しいものはあり得る。 F(ｘ)＝（ｘ−β）（ｘ−β1）・・・（ｘ−βk-1） を作ると、根と係数の関係から、F(ｘ)はｋ上の式。 F(ｘ)（γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））＝G(ｘ) を作ると、G(ｘ)もSnの置換によって不変だから、ｋ上の式。 これから、 γ＝G(β)／F’(β) 即ち、γはβのｋ上の有理式 F’(β)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)

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