- 412 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/01(木) 23:27:49.76 ]
- >>411 つづき
で、分かりやすく一般５次方程式で根５つ a,b,c,d,eで考える。
１．ある置換σがあって、根aがbに置換されたとする
そのとき、ガロアリゾルベントVの値が変わるがその式をVbと名づけよう
Vb＝Ab＋・・・（後の・・・は根b以外の項）
F(ｘ)（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））＝G(ｘ) （k=5!）
で、この式の両辺に置換σを施す
この式全体は、ｋ上の有理式だから、左右両辺は全体としては変わらず等号は成り立つ
ただ、（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））の並びが変わる
φ(V)／（ｘ−V）は、φ(Vb)／（ｘ−Vb）に変わる
φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)
ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)
２．逆にある置換σでaが不変なら、上記の論法でφ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)は、aのまま
３．同じことが、aがc、ｄ、eに変わるときにも言える。つまり、ある置換σとそれに対応するガロアリゾルベントでのaの変化は完全に対応している
４．上記の論法（φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)）で、同じことは他の根（b,c,d,e）の全てに言えて、ある置換σにおける根の入れ替わりと、その置換に対応するガロアリゾルベントでの根の入れ替わりは同じ
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