- 1 名前：名無しさん [2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu]
- ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18
「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。
両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。
ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21
ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。
ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。
- 199 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/11(土) 14:31:32.88 ]
- さて、このスレの趣旨は、「現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしま」う>>1に対して
なぜガロアの原論文が難解なのか、ガロアの見ていた原風景がどんなものだったのかを考えるスレなのだが
もう一つ>>76
”「数学に直感を取り戻そう！」>>25
難しいことをやさしく、複雑なことを本質を抽出して単純化する>>26
複雑なことを図式化し、見える化する>>27
細部に立ち入る前に全体像を把握する
これぞ数学の真髄（こころ）”ということ
矢ケ部 巌は、「足場を見せない数学はあっても、足場を組まない数学はない！」という
確か、高木貞治が書いていたと思うが、ガウスは足場を見せないと
まあ、足場が邪魔というか美観を損ねるということはあるかも
しかし、一般の数学書の定義から始まって、定理を一つ一つ積み上げてという
最後まで辿れれば、高い立場から全体が見えるとしても
途中、なにをしているのかさっぱり（あたかも数メートル先しか見えない霧の山中を手を引かれて案内されているような）
では、その数学理論を作った例えばガロアがその著述の順で考えたかと言えば
おそらくそうではない
もっと直感的な理解をしていたに違いない
その直感的理解の原風景を見るというのも
このスレのテーマではある
- 200 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/11(土) 14:45:09.01 ]
- ”昔、イプシロンデルタが重視された時代があった”>>14
無限は、常識では考えられないことがあるから、ワイエルシュトラス流のイプシロンデルタだと
イプシロンデルタにあらずば、数学にあらずという時代があった
おそらくいまでも多少はあるのだろう（一時ほどではないようだが）
その後、勉強を進めると、ディラックのδ関数からそれを数学化した超関数や佐藤スクールの仕事が出てきた
そして、1990年にウィッテンがフィールズ賞を受賞すると、「なんだこりゃ？」という気になった
かれは、ほとんどの論文で数学的な証明を書いてない。だが、結論は正しい。彼は、物理的直感で数学的に正しい結論を出すということで、それでフィールズ賞をもらっちまったと（下記）
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%89%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%86%E3%83%B3
ブランダイス大学時代は歴史学や言語学を専攻し、
1971年に卒業するとウィスコンシン大学マディソン校大学院で経済学を学ぶがすぐ辞め、プリンストン大学で当初は応用数学を、後に物理学を学び、デビッド・グロスの下で1976年に博士号を取得した。
その後ハーヴァード大学のフェローなどを経て、1980年から1987年までプリンストン大学物理学科の教授を務めた。
1995年に南カリフォルニア大学で開かれたスーパーストリング理論国際会議で、仮説M理論を発表し学会に衝撃を与える。物理学者であるが、数学界のノーベル賞と言われるフィールズ賞を受賞。2008年にクラフォード賞、2010年にローレンツメダルを受賞。
両親も物理学者で父親は著名な相対性理論の研究者。ネーサン・サイバーグとは友人で共同研究者。米制作ドキュメンタリー「美しき大宇宙」（原題：The Elegant Universe）に出演している。
en.wikipedia.org/wiki/Edward_Witten
（こちらの英語版の方が面白いよ）
- 201 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/11(土) 14:47:56.51 ]
- >>200
そのときから、目からウロコというか、数学観が変わった
定理を一つ一つ積み上げるのが数学、それも数学の一面ではあるが
もっと、取り除かれた足場も想像しながら、全体的直感的な理解をするのが良いのではないかと
- 202 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/11(土) 15:01:44.37 ]
- >>200
>かれは、ほとんどの論文で数学的な証明を書いてない。だが、結論は正しい。彼は、物理的直感で数学的に正しい結論を出すということで、それでフィールズ賞をもらっちまったと（下記）
これも高木貞治が書いていたと思うが、オイラーも直感的に級数の収束が分かったのではないかと
オイラーは、おびただしい無限級数の計算をしているが、計算結果は正しいと
>その後、勉強を進めると、ディラックのδ関数からそれを数学化した超関数や佐藤スクールの仕事が出てきた
ディラックのδ関数は、ヘビサイドのY関数を微分したもの
というか、いまやδ関数を積分すればY関数になると言った方が早いか。しかし、歴史的にはヘビサイドのY関数が先
www.geocities.jp/signalintegrityjp/signal-history.htm
19世紀の後半、16才までしか教育を受けず、その後電信技士となっていたイギリス人ヘビサイド(Oliver Heaviside, 1850-1925)は1873年に出されたマクスウエルの本「電気磁気論」に触れてから24才で田舎に引っ込み独学し、
線路を伝わる信号の時間応答を示す、式1の電信方程式をまとめました。
ヘビサイドは微分方程式が簡単な代数に置き換えられる演算子法という方法を考え出しました。現在ラプラス変換として広く使われている方法です。
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E6%B3%95
演算子法
- 203 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/11(土) 15:14:27.91 ]
- >>202
δ関数もY関数も演算子法も、最初は数学的厳密性に欠けると言われた
だが、その結論は正しく、有用であったから、後に数学的基礎付がなされたのだった
そして、数学的基礎付がなされた後、それらの数学理論はさらに発展した
そういう歴史を知ると、”定理を一つ一つ積み上げるのが数学、それも数学の一面ではあるが
”取り除かれた足場も想像しながら、全体的直感的な理解をするのが良いのではないかと”>>201という結論になる
そして、δ関数やY関数や演算子など、新しい視点で全体像を見やすくする
そういうことも大事なのではないか？
”置換群のガロア記法>>30は、現在のコーシー記法より、群の分解の仕方や、置換の相互の関係を見やすくし、内容を直感的に把握するのに優れていると思う”>>77と書いた
そして、抽象的体論の代わりに、直感的なガロア方程式とその因子分解>>191と、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29と、置換群のガロア記法とにより
直感的にガロア理論の全体像を描いていた・・・、ガロアの見ていた原風景をそういうように理解できるのではないだろうか
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