- 1 名前：名無しさん [2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu]
- ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18
「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。
両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。
ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21
ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。
ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/25(土) 14:07:13.39 ]
- >>344
まだやるのか？ｗ
肝心なことがわかってないかな。
>７．で、４の最小定義多項式の根を全て添加するとは、Gの分解G=H+s1H+・・・+sk-1Hで、H、s1H、・・・、sk-1Hの共通部分（最大公約部分群などと書いてある本もあ
ここが違う。H、s1H、・・・、sk-1H に共通部分はない。
手短に書くと以下。
F(x)に補助方程式の根を添加して因数分解されたとき、各因子の根の順列は
各々（上の記号を使えば）、
H s_1H ・・・ sk-1H
となる。このとき、各因子のガロア群は、
Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... s_{k-1}*H*s_1^{k-1}
となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_{k-1}で変換したときに
できる群のこと。
そして、すべての補助方程式の根を添加したときのガロア群とは、上のｋ個の
群の共通部分をとってできる根のことだよ。なお、この群はGの正規部分群の性質をもっている。
すでにHが正規部分群のときは、上の共通部分はH自身となる。俺のあげた例では
恒等置換となる。
- 346 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/25(土) 17:06:47.37 ]
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
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- 347 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/25(土) 18:43:47.40 ]
- >>345
おお、ありがとうよ
君は、親切だし、本当にガロア理論を理解しているね
>ここが違う。H、s1H、・・・、sk-1H に共通部分はない。
そうだった。剰余類分解だから、共通部分はない
>Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... s_{k-1}*H*s_1^{k-1}
>となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_{k-1}で変換したときに
うんうん
変換だね
ありがとう
- 348 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/25(土) 19:45:26.61 ]
- >>345
そうそう
>F(x)に補助方程式の根を添加して因数分解されたとき、各因子の根の順列は
>各々（上の記号を使えば）、
>
>H s_1H ・・・ sk-1H
>
>となる。このとき、各因子のガロア群は、
>
>Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... (s_k-1)*H*(s_k-1)^{-1}
>
>となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_k-1で変換したときに
>できる群のこと。
ここ、流石だね。（蛇足だが、s_1^{-1}・・・(s_k-1)^{-1}は、s_1・・・(s_k-1)の逆元だね）
”各因子の根の順列は各々（上の記号を使えば）、H s_1H ・・・ sk-1H”については、
”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”>>29と関連するけれど、普通に使われる順列を上下２行並べてするコーシーの記法（>>28）で
H s_1H ・・・ sk-1Hで、コーシーの記法の下の順列だけを取るとガロア記法になる
ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略されるから、H s_1H ・・・ sk-1Hで、下の順列だけを取るとガロア記法が即
Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... (s_k-1)*H*(s_k-1)^{-1}、つまりのＨを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_k-1で変換した群を表すんだよね
この見方は、ガロアの原論文>>3を読むときに常に意識しておくべき点だ
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