現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

361 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 10:51:56.69 ] ところで、>>29の”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”で少し補足をしておきたい >>325辺りでも使っているが、 ”f(α,β,γ)=（α−β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に） で、（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）がそれ”と つまり、 Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４→式Ｖ４と（α,β）が対応しているという見方が重要だと ここは、ガロア論文の元の記述>>29では見えてこない 現論文>>3のP31の記述だが、ガロアは ガロア分解式（リゾルベント） 　V=Aa+Bb+Cc+・・・ 　a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる>>28 として、 ガロアは、根a,b,c・・・をVの有理式a=φV,b=φ1V,・・・・,am-1=φm-1V (am-1並べた最後の根でm番目の根、m-1は下付き添字) として、 （V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V, （V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V', （V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'', ・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・ （V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*, 注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）>>29 とガロア群（＝根の置換の群）を表す でも、この表現だと、例えばV'に対応する置換φV',φ1V',・・・・,φm-1V',が具体的にどういう根の並びになっているか不明 でも、直感的には例えば、V1=Ab+Ba+Cc+・・・（互換(a,b)）なら、根の並びも b, a, c ・・・（互換(a,b)）が対応するんじゃないかと。それが自然な対応で、そういう自然な対応になっていないと、群の積を考えたときに困るだろうと ここは原論文では詳しく説明されていないが、倉田>>4P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）を考えればそうなる （つづく）

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